Thực chất của phương pháp này là sử dụng thuật tốn đúng dần để xác định các chuyển vị nút của kết cấu. Quá trình tính tốn gồm nhiều giai đoạn, trong giai đoạn đầu tiên, ta xem rằng kết cấu là một vật thể đàn hồi, vật liệu tuân theo quy luật biến dạng tuyến tính, nghĩa là mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng bên trong vật liệu tuân theo định luật Húc. Tất nhiên quan niệm như vậy chỉ là gần đúng. Trong giai đoạn tính đầu tiên này ta tính kết cấu với sơ đồ khơng biến dạng, tức là ta đã biết vị trí tọa độ của các điểm nút mọi phần tử hữu hạn của hệ. Từ đĩ, trong giai đoạn này ta cĩ thể tìm được các chuyển vị nút của hệ theo đường lối thơng thường của một hệ tuyến tính. Tất nhiên các chuyển vị nút của hệ tìm được trong giai đoạn này chỉ là kết quả gần đúng; bởi vì trong giai đoạn tính này ta đã tính hệ với sơ đồ khơng biến dạng trong khi thực tế chuyển vị của hệ rất lớn ta phải tính kết cấu theo sơ đồ biến dạng mới chính xác.
Do đĩ sau khi tìm được các chuyển vị nùt cûa hệ trong giai đoạn tính thứ nhất, ta chuyển sang tính giai đoạn thứ hai. Trong giai đoạn thứ hai này ta xem rằng sơ đồ của hệ là sơ đồ biến dạng theo vị trí mới của các điểm nút tính được sau giai đoạn tính thứ nhất. Do vị trí của các điểm nút đã thay đổi nên ma trận độ cứng của các phần tử hữu hạn đã thay đổi theo.
Trong giai đoạn tính thứ hai ta vẫn thừa nhận kết cấu đàn hồi tuyến tính nên cĩ thể áp dụng cách tính thơng thường đối với một hệ tuyến tính để tính các chuyển vị nút mới của hệ, với chú ý rằng lúc này ma trận độ cứng của hệ khơng cịn giống như trong giai đoạn tính thứ nhất mà đã thay đổi đi do vị trí của các nút hệ đã thay đổi. Nghĩa là thực chất trong giai đoạn tính thứ hai này ta vẫn xem kết cấu là đàn hồi tuyến tính và tính với sơ đồ biến dạng xác định được do kết quả tính chuyển vị của các nút hệ, đương nhiên những giá trị chuyển vị nút mới này chính xác hơn những giá trị chuyển vị nút mới trong giai đoạn tính được trong giai đoạn tính đầu tiên.
Cứ thế thực hiện quá trình tính tốn nhiều giai đoạn liên tiếp, cho đến khi nào ta được kết quả giá trị các chuyển vị nút của hệ ổn định. Kinh nghiệm tính tốn cho thấy là phương pháp này hội tụ khá nhanh đến kết quả tính chính xác.
Phương pháp tính này cĩ hai nhược điểm. Trước hết phương pháp này chỉ áp dụng được cho một vectơ tải trọng duy nhất trong suốt quá trình tính tốn (hoặc
một vectơ biến dạng duy nhất trong các bài tốn tính hệ chịu tác dụng của sự thay đổi nhiệt độ).
Nhược điểm thứ hai là khối lượng tính tốn của phương pháp này khá lớn vì trong mỗi giai đoạn tính ta phải lặp lại tồn bộ thuật tốn như giai đoạn trước.
2.7. 2. Phương pháp số gia từng bước
Trong quá trình tính tốn ở trên ta nhận thấy rằng, chuyển vị của các điểm nút hệ thay đổi sau mỗi giai đoạn tính, cho nên đối với một hệ tọa độ nhất định chẳng hạn hệ tọa độ chung của tồn kết cấu, ma trận độ cứng của các phần tử hữu hạn (PTHH ) cũng biến đổi sau mỗi giai đoạn tính. Trong trường hợp biến dạng của vật liệu bên trong PTHH khơng lớn, thì ta cĩ thể xem rằng đối với các hệ tọa độ địa phương của mỗi phần tử quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút của phần tử vẫn là quan hệ tuyến tính, do đĩ ma trận độ cứng của từng PTHH trong hệ tọa độ địa phương sẽ khơng thay đổi.
Để minh hoạ điều này ta hãy khảo sát trường hợp PTHH hình tam giác phẳng cĩ các trục tọa độ x’y’ õ là hệ tọa độ chung của tồn kết cấu. Các trục tọa độ x, y là các trục tọa độ địa phương của PTHH hình tam giác trong đĩ ta đã chọn trục x là trục trùng với cạnh i j của PTHH hình tam giác i j m trong giai đoạn tính thứ n và trong giai đoạn tính thứ n + 1. Thừa nhận biến dạng của vật liệu trong PTHH khơng lớn, mối quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị nút của PTHH vẫn là quan hệ tuyến tính cho nên ma trận độ cứng của PTHH đối với các hệ trục tọa địa phương trong các giai đoạn tính thứ n và thứ n + 1 khơng thay đổi. Ta ký hiệu [k} là ma trận độ cứng của PTHH trong hệ tọa độ địa phương x, y.
Muốn biến đổi các thành phần ứng lực nút và chuyển vị nút của PTHH trong hệ tọa độ địa phương x, y sang hệ tọa độ chung x’, y’ ta phải sử dụng ma trận biến đổi tọa độ [T]:
{R} = [T] {R’} {q} = [T] {q’}
Ở đây [T] là ma trận biến đổi tọa độ trong bài tốn phẳng, hồn tồn xác định được theo giá trị gĩc ( tương ứng với từng giai đoạn tính tốn.
Ở trên ta đã biết cách xác định ma trận độ cứng [K’] của pthh trong hệ tọa độ chung theo cơng thức sau:
[K’] = [T]T[K][T]
Ma trận biến đổi tọa độ [T] phụ thuộc vào gĩc ( tuơng ứng với mỗi giai đoạn tính tức là nĩ cũng phụ thuộc vào chuyển vị của các nút của pthh trong từng giai đoạn tính. Trong trường hợp vật liệu cĩ biến dạng nhỏ, sự phụ thuộc của ma trận biến đổi [T] vào các chuyển vị nút {q’} của phần tử là sự phụ thuộc tuyến tính. Trường hợp vật liệu cĩ biến dạng lớn ta cĩ thể sử dụng phương pháp số gia từng bước sau đây để khảo sát.
Xét một giai đoạn n bất kỳ của quá trình tính tốn, do vị trí cân bằng của kết cấu thay đổi sang trạng thái mới nên cũng xảy ra sự thay đổi của tải trọng là
{P’n+1}..Tải trọng thay đổi lại gây ra sự thay đổi chuyển vị là {q’}n+1. Trạng thái cân bằng ban đầu của pthh bị phá vỡ vì 2 nguyên nhân sau đây: Trước hết, do các biến dạng bổ sung phát sinh thêm nên kết quả sẽ tạo ra các ứng lực nút tương ứng của pthh cĩ giá trị sau đây:
n n 1 T n 1 n ' 1 n 1 n [k ] {q'} [T T] [k][T T]{q'} } ' R { + + + + = ∆ = +∆ +∆ ∆ (2.51)
Trong đĩ ta ký hiệu T là số gia của ma trận biến đổi tọa độ do tác dụng của các chuyển vị nút bổ sung gây ra khi chuyển từ giai đoạn tính n sang giai đoạn tính n+1.
Nguyên nhân thứ hai gây ra sự phá vỡ trạng thái cân bằng trong giai đoạn tính thứ n là các lực tác dụng trong trạng thái này khơng cịn giữ nguyên phương tác dụng như lúc nằm trong trạng thái cân bằng trước đĩ. Do các lực nút thay đổi phương như vậy cho nên tạo ra các ứng lực nút bổ sung với giá trị bằng:
n T 1 n n T n n T n 1 n bs} [T T] {R} [T ] {R} [ T] {R} ' R { + = +∆ − = ∆ + ∆ (2.52)
Ở trên ta đã nĩi rằng ma trận [T] là hàm phụ thuộc chuyển vị nút cho nên tương ứng với số gia nhỏ ta cĩ thể viết hệ thức sau đây:
n n 1 T 1 n n [T] {q'} } ' q { ] T [ + ∆ + ∂ ∂ = (2. 53)
Kết hợp hệ thức này với hệ thức (2. 52) ta cĩ thể viết:
∆{R'bs}n+1 =[knbs']∆{q'}n+1 (2. 54) trong đĩ: n n ' n bs [T] {R} } ' q { ] k [ ∂ ∂ = (2. 55)
Ở đây ma trận là ma trận độ cứng tương ứng để tính ứng lực nút bổ sung do sự thay đổi giá trị chuyển vị nút của pthh từ giai đoạn tính n sang giai đoạn tính n+1 (sự thay đổi về hình dạng hình học của sơ đồ tính) gây ra, cho nên ta gọi vắn tắt đĩ là ma trận độ cứng hình học (geometric stiffness) trong giai đoạn tính n. Nếu ma trận [T] là hàm tuyến tính của các chuyển vị nút, thì [Kbs] thực ra là một ma trận hằng số khơng phụ thuộc vào vị trậän hằng số khơng phụ thuộc vào vị trí. Hệ thức (2.51) là một hệ thức phi tuyến cho nên sử dụng nĩ để tính tốn sẽ rất phức tạp. Để đơn giản hĩa tính tốn mà vẫn khơng mắc phải sai số quá lớn ta cĩ thể chia quá trình tính tốn thành nhiều giai đoạn tính với số gia đủ nhỏ, và trong mỗi giai đoạn đĩ ta cĩ thể thay thế ma trận [Tn + T] một cách gần đúng bằng ma trận [Tn ] . Lúc đĩ, tuơng ứng với số gia đủ nhỏ, các ứng lực nút của pthh sẽ biến đổi giá trị tổng cộng bằng: n 1 ' n bs ' n 1 n bs 1 n {R' } {[k ] [k ]} {q'} } ' R { + +∆ + = + ∆ + ∆ (2. 56)
thể giải bài tốn trong giai đoạn tính n bằng đường lối tính thơng thường đối với kết cấu đàn hồi tuyến tính chỉ khác ở chỗ thiết lập giá trị ma trận độ cứng mà thơi. Ta xác định giá trị ma trận độ cứng trong giai đoạn tính n rất dễ dàng theo hệ thức [k’n] + [kn']
bs trong đĩ giá trị [k’n] xác định theo hệ thức (2.56) sau khi đã tính ma trận biến đổi tọa độ [T] trong giai đoạn tính n.
Phương pháp này sử dụng rất hiệu quả để giải các bài tính kết cấu vật liệu biến dạng lớn. Đây là một phương pháp số gia từng bước (step – by – step process) do Argyris đề ra đầu tiên. Ta cĩ thể dễ dàng áp dụng phương pháp này để giải bài tốn kết cấu chịu tác dụng của biến dạng cưỡng bức ban đầu, (như biến dạng do ảnh hưởng của sự thay đổi nhiệt độ, hoặc sự lún cưỡng bức của các liên kết tựa…). Phương pháp này đặc biệt hiệu quả khi dùng để giải các bài tốn tính kết cấu chịu tác dụng của tải trọng tăng dần.
CHƯƠNG III
PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN CỤC BỘ
3.1. GIỚI THIỆU CHUNG
3.1.1 Ðặc diểm của phép tính biến phân
Phép tính biến phân là một trong những phép tính đã được ứng dụng vào cơ học từ khá lâu. Cĩ thể nĩi anh em Bernoulli, Euler và Lagrange là những người sáng lập ra mơn học này. Theo một nghĩa nhất định, phép tính biến phân là phần tiếp tục của giải tích tốn học và nĩi chung nĩ thuộc về lý thuyết tìm cực đại và cực tiểu. Trong đĩ các hàm mà ta cực tiểu cĩ thể là hàm số của điểm, của đường, của mặt v.v… Vì vậy trong phép tính biến phân ta cần quan tâm đến lý thuyết hàm số của hàm số và đặc biệt là lý thuyết phiếm hàm, bởi vì điều này cĩ rất nhiều ứng dụng trong thực tế như giải các bài tốn cơ học, vật lý và gần đây là những bài tốn kỹ thuật của các cơng trình xây dựng. Và cĩ thể nĩi việc ứng dụng các bài tốn biến phân vào các bài tốn cơng trình là một trong những thành tựu quan trọng của phương pháp số.
Phép tính biến phân cĩ 3 đặc điểm:
1.) Một là trong thực tế thường tồn tại nhiều vấn đề được mơ tả bằng khái niệm cực đại và cực tiểu và vì thế nĩ cĩ thể phát hiện trực tiếp dưới dạng các định luật biến phân.
2.) Hai là trong thực tế cũng tồn tại, mặc dầu thoạt đầu cĩ thể phát biểu theo một cách nào đĩ, nhưng sau đĩ cĩ thể dẫn về các định luật biến phân, nhờ đĩ cĩ thể đi sâu hơn vào các vấn đề đang xét.
3.) Ba là các phương pháp biến phân khơng những chỉ giúp ta nghiên cứu tính chất của các nghiệm mà nĩi chung cịn cho ta cách tìm các nghiệm ấy. Một trong những tính ưu việt của phép tính biến phân là đặc điểm bất biến của nĩ và do đĩ là sự độc lập với các hệ tọa độ đưa vào.
Để hiểu rõ hơn bài tốn biến phân, ta hãy xét một bài tốn cụ thể. Nội dung của nĩ là tìm một đường cong mà theo đường cong ấy, sau thời gian ngắn nhất, một chất điểm cĩ thể rơi từ một điểm A nào đĩ xuống một điểm khác B dưới tác dụng của trọng lực. Khi phát biểu tốn học của bài tốn, ta hạn chế trong trường hợp phẳng. Nếu ta vẽ trục x theo phương nằm ngang, đi qua điểm a, và kẻ trục y thẳng xuống dưới. Trong vật lý ta đã biết rằng vận tốc v của điểm p với khối lượng m tại điểm (x,y) của đường cong là:
v= 2mgy (3. 1)
y ds mg v ds ds ds dl dl t t t lt 1/2 0 0 0 2 1 ∫ − = ∫ = ∫ = ∫ = (3.2)
Trong đĩ L là chiều dài của đường cong. Nếu ta chỉ xét đường cong cĩ dạng: Y = y (x), với x1 < x < x2 (3.3) Thì bài tốn tối ưu sẽ dẫn về việc tìm một đường cong trong số các đường cong y = y(x) nằm trên nửa mặt phẳng y>0 và nối 2 điểm a và B, sao cho theo đường cong ấy, tích phân.
[ (1 ' )2] , 1 2 2 1 2 1 0 y y dx t tx x + ∫ = − (3.4) cĩ giá trị nhỏ nhất. Ở đây : dx dy y'=
Sau khi thực hiện bài tốn biến phân ta tìm được lời giải của bài tốn này là đường xiclơih :
x = a – b.(ϕ + sinα)
y = b.(1 + cosα) (3.5) Trong đĩ a, và b được chọn sao cho đường xilơih đi qua 2 điểm A và B. Đĩ là đường cong do một điểm P của đường trịn bán kính b lăn trên trục x vạch ra.
Phép tính biến phân cục bộ là phép tính biến phân được ứng dụng vào những
miền nhỏ, cĩ biên xác định hữu hạn. Vấn đề mấu chốt là ở chỗ một biến x (hay
một hàm y) làm cực tiểu phiếm hàm Φ trong miền cục bộ ω, thì cũng làm cực tiểu
chính phiếm hàm đĩ trong miền chung chung Ω cĩ chứa ω. Vì vậy các lý luận,
các phương trình cơ bản trình bày dưới đây đều đúng cho phép tính biến phân nĩi chung và biến phân cục bộ nĩi riêng.
3. 1. 2 Cơ sở lý luận
Bên cạnh các bài tốn cần thiết phải xác định các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số z = f(x) nào đĩ như ví dụ cụ thể trên, trong nhiều bài tốn vật lý thường cịn phải tìm giá trị cực đại và cực tiểu của một loại đại lượng đặc biệt gọi là các
phiếm hàm..
Người ta gọi là phiếm hàm những đại lượng biến thiên mà các giá trị của nĩ
được xác định phụ thuộc vào một hay một vài hàm số. Chẳng hạn, độ dài l của một
cung của đường cong phẳng (hay khơng gian) nối hai điểm cho trước A(xo;yo) và B(x1; y1) là một phiếm hàm. Đại lượng l cĩ thể tính được nếu cho trước phương trình của đường cong y = y(x); khi đĩ:
l (y (x)( = x∫1
xo
. dx (3 .6)
Diện tích S của một mặt nào đĩ cũng là một phiếm hàm, bởi vì nĩ xác định phụ thuộc vào các mặt, tức là phụ thuộc vào việc chọn các hàm số z(x,y) trong phương trình của mặt z = z( x, y ), như đã biết:
S(z(x,y)( = ∫∫ D 2 2 ( ) ) ( 1 y x x z ∂ ∂ + ∂ ∂ + . Dxdy (3.7)
Ở đây, D là hình chiếu của mặt đang khảo sát lên mặt phẳng XOY.
Mơ men quán tính, mơ men tĩnh học, các tọa độ của trọng tâm của một mặt hay của đường cong, thuần nhất nào đĩ cũng là các phiếm hàm, bởi vì các gía trị của chúng xác định phụ thuộc vào mặt hay đường cong, tức là phụ thuộc hàm số chứa trong phương trình của mặt hay đường cong đĩ.
Trong tất cà các ví dụ trên, chúng ta thấy đặc điểm chung của phiếm hàm là
quan hệ tương ứng giữa hàm số (hay véc tơ hàm) với số; trong khi đĩ hàm số z =
f(x) cho quan hệ tương ứng giữa số với số.
Phép tính biến phân nghiên cứu các phương pháp xác định các giá trị cực đại và cực tiểu của các phiếm hàm. Những bài tốn địi hỏi nghiên cứu các phiếm hàm về mặt cực đại hay cực tiểu được gọi là các bài tốn biến phân. Nếu các bài tốn đĩ nghiên cứu các phiếm hàm về mặt cực đại hay cực tiểu trong giới hạn một miền