4.1 Các mô hình toán về quan hệ giữa ứng suất và biến dạng
4.1.2 Mô hình đàn hồi phi tuyến của Iu.K. Zaretsky
Trên cơ sở biểu thức của Genky, mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng trong trường hợp phi tuyến được viết như sau:
σij = 2àeij + δijλ eii (4.4) Trong trường hợp chung, à và λ là những hàm số của ứng suất và biến dạng..
Trong trường hợp biến dạng tuyến tớnh, à và λ là những hằng số Lame và bằng:
à=G2 ; λ=E−32G Ở đây: G – Mô đuyn biến dạng trượt.
E – Mô đuyn biến dạng khối.
Theo các nghiên cứu thực nghiệm trên máy nén ba trục về độ bền và tính biến dạng của vật liệu thì E, G được biểu diễn trong dạng:
σ σ+
= + +
= σ
B C 1 E A
be G a
i i
(4.5) Ở đây::
2 1 3 2 3 2 2 2 1 i
z y x
) (
) (
) 6 (
1 3
σ
− σ + σ
− σ + σ
− σ
= σ
σ + σ +
=σ σ
Các hệ số ei, a, b, A và B được xác định bằng thực nghiệm và phụ thuộc vào dung trọng và độ ẩm:
a, b, A, B = f (γ, w) (4.6)
Mô hình này đã được sử dụng để tính toán cho đập Hòa Bình (bài toán phẳng) và đã công bố trên tạp chí Xây dựng năng lượng (tiếng Nga) số tháng 12 năm 1978.
4.1.3 MÔ HÌNH TRONG PHẠM VI LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG DẺO CỦA KRƯJANOVSKY (Trường MIXI)
- Trong trường hợp biến dạng hình dạng:
i
* i
i 1
1
A B
e σ −σ
+ σ σ
= (2.7) Ở đây A, B là những hệ thực nghiệm phụ thuộc vào σi, ei và thông số Na – đai (thông số biểu diễn dạng của trạng thái ứng suất, ký hiệu λ):
3 1
3 1
2 2
σ
− σ
σ
− σ
−
= σ
λ - Trong trường hợp biến dạng khối:
e = e*(σ) + e** (σ, σi, λ) (4.8) Ở đây e* và e** là biến dạng khối khi nén thủy tĩnh và khi nén lệch tenxơ.
Mô hình này đã được dùng để tính toán ứng suất – biến dạng cho đập Nurek (CH Tajik thuộc SNG ).
4.1.4 MÔ HÌNH PHI TUYẾN CỦA BUGROV A. K.
(Trường đại học Bách khoa Lêningrat)
Theo Bugrov A. K, mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng được biểu diễn:
σi = (1,06σ + 3,78) ei (0,01 + ei)-1 f(α) (4.9) Ở đây : f(α) = 0,7 + 0,75 (α – 1)2
α – Là thông số đặc trưng cho ảnh hưởng của biến dạng hình dạng, xác định bằng thực nghiệm, các đại lượng σi, σi, ei như đã dẫn ở trên.
Mô hình này cũng đã được sử dụng để tính toán cho đập Nurek và đập Canmưc (CHLB NGA ).
4.1.5 MÔ HÌNH TRONG PHẠM VI LÝ THUYẾT LÀM BỀN DẺO
Trên cơ sở lý thuyết làm bền dẻo, D. Druker là người đầu tiên ứng dụng quy luật xấp xỉ chảy của vật thể đàn – dẻo để thiết lập mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng. Tuy nhiên lý thuyết của D. Druker chỉ ứng dụng cho vật liệu thép. V.A.
Ioxelevich và B.I. Dydykh mới là những người đầu tiên ứng dụng lý thuyết tái bền đối với đất đá.
Khái niệm cơ bản đầu tiên của lý thuyết này là mặt chất tải f được coi như là một hàm số của ứng suất. Mặt chất tải f có những tính chất như: trên mặt cong f các vectơ của gia số biến dạng dẻo không phụ thuộc vào hướng của vectơ gia số ứng suất, vuông góc với mặt chất tải,… Từ đó mô hình có dạng:
≤
>
σ =
=
0 f ' d khi 0
0 f ' d 0 f khi f ' d d h fd
deij ij
và
(4.10)
Mô hình này có nhiều ưu điểm, đặc biệt nó phản ánh được sự “di chuyển” của mặt chất tải trong quá trình chất tải. Tuy nhiên do khó khăn về mặt toán học cũng như còn một vài giả thiết chưa được thực nghiệm kiểm chứng nên mô hình này còn chưa được ứng dụng cho thực tế, nhưng lại có nhiều triển vọng cho tương lai.
4.1. 6 MÔ HÌNH CHẢY DẺO
Theo loại mô hình này, người ta cũng giả thiết rằng ứng suất phụ thuộc vào đường chất tải và các phương trình miêu tả các biến dạng dẻo không thể có dạng quan hệ hữu hạn giữa ứng suất và biến dạng, nghĩa là các phương trình đó phải được viết dưới dạng vi phân.
Đối với đất – đá, người ta thường giả thiết là môi trường tái bền đẳng hướng và có phương trình:
dAp = F(T) dT (4.11) Ở đây:
Ap – Là công sinh ra bởi ứng suất trong các biến dạng dẻo.
F(T) – Là hàm tái bền.
Phương trình trên cũng đưa đến một dạng mặt chất tải. Tuy nhiên một số giả thiết của nó về mặt chất tải lại mâu thuẫn với điều kiện thực nghiệm, vì vậy loại mô hình này vẫn chưa được ứng dụng trong thực tế.
4.1. 7 MÔ HÌNH NĂNG LƯỢNG
Khi xây sử dụng phương pháp luận để xây dựng mô hình năng lượng, xét cho cùng, Rasskadov N.L đã dựa trên các ưu điểm của các loại mô hình trên, và vì tính phức tạp của loại mô hình này nên nó chỉ có ý nghĩa khi gắn nó với công cụ máy tính. Nội dung chính của mô hình này như sau:
n
E0
e= 1 σ (4.12)
Ở đây:
Eo – Là mô đuyn biến dạng khối khi σ = 1
n – Chỉ số lũy thừa, được xác định bằng thực nghiệm.
E, σ – Là biến dạng khối và ứng suất trung bình Vi phân phương trình trên ta được:
1 n
0
. E n
1 d
de = σ−
σ
(4.13)
Hay de n
d E10−n
= σ σ
Để xem xét đặc tính của đất khi trạng thái làm việc của nó tiến tới giới hạn, ta đưa vào hệ số bền tương đối K
oõủ oõủ
K 1
K− =K − (4.14)
Ở đây Kođ là hệ số an toàn ổn định, xác định theo điều kiện bền của Rasskadov.
Trong trạng thỏi giới hạn Koõủ = 1 thỡ K = 0. Trong điểm nộn đẳng hướng Kođ →
∞ thì K → 1.
Quan hệ giữa cường độ ứng suất trượt và cường độ biến dạng trượt được biểu diễn dưới dạng vi phân như một hàm số của hệ số an toàn K:
dde f(K)
i i =
σ (4.15)
Ở đây:
2 3 2 2 3 2 2 2 1
2 1 3 2 3 2 2 2 1
) ( ) ( ) 6 (
2
) (
) (
) 6 (
1
e e e e e e ei
i
− +
− +
−
=
− +
− +
−
= σ σ σ σ σ σ
σ
Xuất phát từ giả thiết rằng tại điểm nén đẳng hướng Mô đuyn trượt tỷ lệ vố mô đuyn biến dạng khối, ta có thể viết:
dσi = G0 σ1-nK dei (4.16) Ở đây: G0 – Là mô đuyn trượt khi σ = 1
Và có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng các thành phần biến dạng:
dσij = 2 G0 σ1-n K deij (4.17) Trong mỗi điểm của quỹ đạo chất tải, mô đuyn trượt G có thể xem như bao gồm 2 thành phần: mô đuyn trượt đàn hồi và mô đuyn trượt dẻo, ta có:
= à σ− exp[−b(1−K−)]
E n ) ( f G
n 1 0
y (4.18)
Ở đây: b – Là hệ số thực nghiệm.
Gp – Là Mô đuyn trượt dẻo:
Gp = G0σ1-nK[1 – exp(-b + bK)]
(4.19)
Bây giờ ta có thể viết quan hệ giữa các thành phần ứng suất trượt và thành phần biến dạng trượt như sau:
dσij = 2[Gy + Gp]deij (4.20)