toán thực tế qua cài đặt sai lầm trong nội dung bài tốn hoặc lựa chọn bài tốn có thể dẫn đến lời giải sai lầm
Việc cài đặt sai lầm vào các bài toán nhằm tạo cho người học "phát triển óc phê phán, khả năng khơng những chỉ là tái tạo các lược đồ lơgíc xác định, mà còn phê phán mỗi giai đoạn của lý luận tương ứng với các nguyên tắc đã tiếp thu được về tư duy tốn học và về thực hành tính tốn” [17, tr.12]. Trong
dạy học tốn, việc cài đặt một số sai lầm có dụng ý sư phạm như sai lầm trong ngôn ngữ diễn đạt, sai lầm trong suy luận, sai lầm trong xét trường hợp ngoại lệ, sai lầm vì trực giác tốn học,..được ghi nhận là rất có tác dụng đối với người học khi họ kiểm nghiệm khả năng diễn đạt kiến thức, kiểm nghiệm những hiểu biết của bản thân về sự chính xác của kiến thức và cơ sở lơgíc của chúng [17]. Đối với tốn học ứng dụng nói chung, chủ đề XSTK nói riêng, một trong những đặc trưng cơ bản là nó sử dụng các khái niệm hợp lý (khái niệm khơng có định nghĩa hình thức hoặc định nghĩa khơng hồn tồn chặt chẽ về mặt hình thức) và các khẳng định hợp lý (những khẳng định có bao hàm khái niệm hợp lý) để đảm bảo được tính đúng đắn của vấn đề là thực tiễn chấp nhận được và thoả mãn tính tối
suy luận tốn học [2]. Hơn nữa, cơ sở trực giác của người mới tiếp cận chủ đề XSTK hường hạn chế, do đó càng dễ dẫn họ đến những sai lầm trong nhận thức, trong vận dụng lý thuyết vào giải bài tập. Trong dạy học, ngoài việc lưu ý một số nội dung kiến thức (các khái niệm, khẳng định, suy luận,..) dễ gây nên sai lầm trong nhận thức, trong vận dụng kiến thức môn học vào thực tế cho HS, GV cần lưu ý những sai lầm mà HS phổ thông dễ mắc khi tiếp cận các môn học này và cài đặt các sai lầm đó trong q trình giải các bài tốn thực tế.
Ví dụ 2.23. (Cài đặt sai lầm về phát hiện, phát biểu quy luật thống kê ):
Tỷ lệ tử vong của bệnh nhân mắc một loại bệnh được điều trị tại bệnh viện A là 90%. Năm 2010 đã có 9 bệnh nhân mắc loại bệnh này đến chữa bệnh tại bệnh viện và cả 9 người đã tử vong. Tính xác suất khơng tử vong của bệnh nhân thứ 10 cũng mắc loại bệnh này đến chữa bệnh tại bệnh viện A trong năm đó. (HS phổ thơng có thể sai lầm cho rằng xác suất để người thứ 10 khơng tử vong là 1).
Ví dụ 2.24. Sai lầm khi khơng xét đến tính chấp nhận được về số liệu, nội dung
bài toán .
Điểm khác nhau trong việc giải một bài toán của nhà toán học thuần tuý và nhà toán học ứng dụng là: Nhà toán học thuần t thường chú ý đến cơng cụ tốn học được dùng để giải bài tốn đó độc lập với cách biểu thị thực tế của nó. Họ quá nghiêng về khả năng khái quát điều kiện của bài tốn mà khơng cần biết sự mở rộng đó có ý nghĩa trong thực tế đời sống hay khơng. Do đó, đơi khi để có được một lời giải đẹp ở mức hồn tồn suy diễn thì lợi ích thực tế của bài toán đã bị giảm đi rất nhiều hoặc thậm chí là bị bỏ qua. Đối với nhà tốn học ứng dụng, cái mà họ quan tâm là đảm bảo được tính đúng đắn của lời giải mà thực
tiễn chấp nhận được, cịn những khái qt hình thức thì khơng có giá trị đặc biệt
[15, tr.61-62]. GV cần lưu ý điểm khác nhau căn bản này để tránh những sai lầm trong phát biểu hay khái qt một bài tốn mà có thể dẫn tới kết quả thực tế không thể chấp nhận được.
Chẳng hạn như bài toán: Dựa vào bảng thống kê số cơn bão diễn ra tại Việt Nam 10 năm trở lại đây tính xem trung bình mỗi năm ở Việt Nam diễn ra bao nhiêu cơn bão và cho dự đoán về số cơn bão diễn ra trong năm nay, mà trong bảng số liệu năm 2009 có tới 25 cơn bão thì số liệu này khơng chấp nhận được vì từ trước tới giờ Việt Nam chưa bao giờ có tới 25 cơn bão một năm.
Xét bài toán: Xác suất để một xạ thủ bắn trúng điểm 10 là 0,1; trúng điểm 9 là 0,2; trúng điểm 8 là 0,25 và ít hơn điểm 8 là 0,45. Xác suất để xạ thủ được ít nhất 9 điểm khi bắn 1 viên đạn là lớn hay nhỏ ?
Ví dụ 2.26. (Dựa theo nghịch lí chia giải thưởng cho hai đấu thủ)
Trường THPT Hiền Đa có 2 đội bóng chuyền thi đấu. Họ thoả thuận với nhau rằng đội nào đầu tiên thắng 5 séc thì được nhận tồn bộ giải thưởng. Đang thi đấu thì trời mưa nên trận đấu phải dừng lại khi đội thứ nhất thắng 4 ván, đội thứ hai thắng 3 ván. Vậy cần phải chia giải thế nào thì hợp lí?
(Sai lầm thường gặp: Nhiều người cho rằng cần chia giải thưởng theo tỉ lệ 4:3,
cũng có người cho rằng cần chia theo tỉ lệ 3:2 (với lập luận đội 1 thắng nhiều hơn 1 ván bằng 1
5 của 5 nên đội 1 nhận 1
5 giải, phần cịn lại chia đơi mỗi người một nửa).
Tất cả các ý kiến trên đều sai. Thật ra nếu tiếp tục chơi thêm 2 ván “giả tạo” nữa thì xác suất chiến thắng của đội 2 (nhận tồn bộ giải) là: 1 1. 1