-49 Vf vận tốc theo phƣơng ăn dao của dao phay
3.3. Biểu diễn các bề mặt
Biểu diễn bề mặt là một phần mở rộng của biểu diễn đƣờng cong. Các dạng đƣờng cong tham số và khơng có tham số có thể mở rộng tạo thành bề mặt. Các bề mặt có thể đƣợc mơ tả dƣới dạng tốn học trong khơng gian 3 chiều bởi các phƣơng trình tham số hoặc khơng tham số. Trong cả hai trƣờng hợp, phƣơng trình của bề mặt có dạng: P = T xyz = T y x xyf( , ) (3.1)
Trong đó, P là vector vị trí của một điểm trên bề mặt nhƣ trên hình 3.12. Dạng tự nhiên của hàm số f(x, y) cho bề mặt đi qua tất các các điểm dữ liệu cho trƣớc có dạng: z = f(x, y) = q n n m mn p m y x a 0 0 (3.2)
Trong đó, bề mặt đƣợc mơ tả bởi một bề mặt lƣới XY có (p+1)x(q+1) điểm.
Hình 3.11. Vị trí của điểm P
Tƣơng tự nhƣ với các đƣờng cong, chúng ta sử dụng các phƣơng pháp biểu diễn tham số bằng một hàm vector liên tục P(u, v) gồm hai biến, hay hai tham số u và v. Các biến cho phép thay đổi trong một phạm vi nào đó, bao gồm cả mặt phẳng u-v, khi đó, P(u, v) đƣợc coi là tọa độ của mọi điểm trên bề mặt. Hàm số P(u, v) tại một điểm cố định nào đó với giá trị u và v xác định là một điểm trên bề mặt, điểm đó có tọa độ u và v. Phƣơng án phổ biến nhất để mơ tả một biểu thức có chƣa tham số của một bề mặt 3D trong khơng gian là :
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
-65-
P = (u,v) = [x y z]T = [x(u, v) y(u,v) z(u,v) ]T (3.3)
umin ≤ u ≤ umax , vmin ≤ v ≤ vmax (7.3)
Nhƣ đối với các đƣờng cong, biểu thức (3.3) cho ta các tọa độ của một điểm trên bề mặt nhƣ một thành phần của vector của nó. Các tham số u và v đƣợc giới hạn trong vùng biên bởi các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chúng. Đối với hầu hết các bề mặt, giá trị nội biên này là [0, 1].
Hình 3.12. Biểu diễn tham số của mặt phẳng
Hình 3.13 là một bề mặt gồm 2 patch, giá trị của u và v là [0, 1]. Địa hình học của patch có thể là hình chữ nhật hoặc tam giác nhƣ trên hình 3.14. Patch dạng hình tam giác sẽ làm cho việc mơ hình hóa bề mặt trở nên linh hoạt hơn bởi vì chúng khơng địi hỏi việc nhập các điểm dữ liệu phải tuân theo các rãy điểm chữ nhật nhƣ là đối với các patch hình chữ nhật.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
-66-
Hình 3.13. 2 patch của bề mặt
Phƣơng pháp tensor đƣợc dùng khá phổ biến trong việc thiết lập bề mặt. Các tính chất của tensor bề mặt có thể suy ra từ các tính chất của các đƣờng cong đƣợc sử dụng.
Sự hình thành tensor bề mặt là việc sử dụng các miền có hình chữ nhật mơ tả bởi u và v, với 0≤u≤1; 0≤v≤1; Tensor bề mặt hoàn tồn phù hợp với các patch hình chữ nhật. Hơn nữa, chúng có hƣớng rõ ràng và các thông số đặc biệt phù hợp với các tham số độc lập.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
-67-
Hình 3.15. Điều kiện biên của bề mặt
Có một tập hợp các điều kiện biên tƣơng ứng với các patch hình chữ nhật. Có 16 vector và 4 đƣờng cong biên nhƣ trên hình 3.15. Các vecto là 4 điểm góc, 4 đƣờng cong biên đƣợc mơ tả bởi việc gắn một biến với một giá trị giới hạn, còn lại cho các biến khác thay đổi tự do. Các đƣờng cong sau đó đƣợc xác định bởi phƣơng trình đƣờng cong với u=0, v=1 và v=0.
Để tạo ra các đƣờng cong trên một patch của bề mặt, có thể cố định một tham số, ví dụ u, để nhận đƣợc một đƣờng cong theo biến cịn lại, v. Tiếp tục q trình này cho một tham số, rồi sau đó tiến hành với tham số còn lại sẽ thu đƣợc một họ đƣờng cong với hai tham số thay đổi. Chỉ một đƣờng cong trong một họ tham số có thể đi qua mọi điểm P(u,v) trên bề mặt.