Phu.o.ng tr`ınh c´ o hˆ e sˆo´ tuˆa `n ho` an

Trong mu.c n`ay ta x´et phu.o.ng tr`ınh ˙

x(t) =A(t)x(t), x∈Cn, (1.46) v`a

˙

y(t) =B(t)y(t), y∈Rn, (1.47) trong d¯´oA(t), B(t) l`a c´ac ma trˆa.n ph´u.c (thu..c) liˆen tu.c v`a tuˆa`n ho`an theot chu k`yω, t´u.c l`aA(t+ω) =A(t);B(t+ω) =B(t), ∀t∈R.

Ma trˆa.n co. ba’n

D- i.nh l´y 1.14 (Biˆe’u diˆ˜n Floquet)e Mˆo˜i ma trˆa.n co. ba’n Φ(t) cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.46) c´o thˆe’ biˆe’u diˆ˜n d¯u.o.e . c du.´o.i da.ng

Φ(t) =G(t)etR, ∀t∈R, (1.48)

trong d¯´o G : R→ Cn×n l`a kha’ vi, tuˆ` n ho`a an chu k`y ω, R ∈ Cn×n

l`a ma trˆa. n h˘a`ng.

Ch´u.ng minh. X´et ma trˆa.n X(t) := Φ(t+ω). Theo gia’ thiˆe´t, v`ı ˙

Φ(t+ω) = A(t+ω)Φ(t+ω), ∀t∈R

= A(t)Φ(t+ω)

nˆenX(t) c˜ung l`a nghiˆe.m co. ba’n cu’a (1.46). Do d¯´o tˆo`n ta.i ma trˆa.n khˆong suy biˆe´n B sao cho Φ(t+ω) :=X(t) = Φ(t)B. Do B l`a ma trˆa.n khˆong suy biˆe´n ph´u.c nˆen tˆo`n ta.i ma trˆa.nωR=Ln B, sao cho

eωR =B. D- ˘a.t G(t) = Φ(t)e−tR, ta c´o

G(t+ω) = Φ(t+ω)e−(t+ω)R

= Φ(t)Be−tRe−ωR,

= Φ(t)e−tR, v`ıBe−tRe−ωR =Be−ωRe−tR

= G(t).

R˜o r`ang G(t) kha’ vi theo t v`a Φ(t) =G(t)etR. Mˆo.t hˆe. qua’ quan tro.ng l`a kˆe´t qua’ sau.

Hˆe. qua’ 1.2 Phu.o.ng tr`ınh c´o hˆe. sˆo´ tuˆa` n ho`an (1.46) luˆon c´o thˆe’ dˆa˜n vˆe` phu.o.ng tr`ınh c´o hˆe. sˆo´ h˘a`ng sˆo´y˙ =Ry b˘a`ng ph´ep d¯ˆo’i biˆe´n

Ch´u.ng minh. Thˆa.t vˆa.y, v`ı Φ(t) = G(t)etR, nˆen x(t) := Φ(t)x0

l`a nghiˆe.m cu’a phu.o.ng tr`ınh xuˆa´t ph´at. C`ony(t) :=etRx0l`a nghiˆe.m cu’a hˆe. c´o hˆe. sˆo´ h˘a`ng sˆo´ ˙y=Ry. Nˆe´u d`ung c´ach vi phˆan h`ınh th´u.c ta c´ox(t) :=G(t)y(t). Vˆa.y th`ı

A(t)x(t) = x˙(t)

= G˙(t)y(t) +G(t) ˙y(t)

= [ ˙Φ(t)e−tR−Φ(t)e−tRR]y(t)G(t) ˙y(t) = A(t)G(t)y(t)−G(t)Ry(t) +G(t) ˙y(t).

Vˆa.y th`ıG(t) ˙y(t)−G(t)Ry(t) = 0. Nhu.ng v`ıG(t) khˆong suy biˆe´n nˆen ˙y(t) = Ry(t).

Gia’ su.’ Φ(t, s) l`a ma trˆa.n Cauchy cu’a (1.46). Ngu.`o.i ta go.i M := Φ(ω,0) l`a ma trˆa.n monodromy cu’a (1.46). Tru.`o.ng ho..p phu.o.ng tr`ınh trongRnc´o ph´u.c ta.p ho.n. N´oi chung khˆong kh˘a’ng d¯i.nh d¯u.o..c su.. tˆ`n ta.io R thu.. c d¯ˆe’M =eRv´o.i mo.i ma trˆa.n th´u.c khˆong suy biˆe´n cho tru.´o.c M, ch˘a’ng ha.n khi M < 0 trong tru.`o.ng ho.. p mˆo.t chiˆe` u. Tuy vˆa.y ngu.`o.i ta ch´u.ng minh d¯u.o..c r˘a`ng nˆe´u B l`a ma trˆa.n thu. c. khˆong suy biˆe´n th`ı bao gi`o. c˜ung tˆ`n ta.io Rthu.. cR sao choeR=B2. Do vˆa.y thay v`ı x´et su. tˆ. `n ta.i ma trˆa.no G(t) tuˆ` n ho`a an chu k`y ω

nhu. d¯ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh ph´u.c ta x´et ma trˆa.n H(t) tuˆ` n ho`a an chu k´y T = 2ω. Khi d¯´o M2 l`a ma trˆa.n monodromy cu’a phu.o.ng tr`ınh n`ay. Ch´ung tˆoi d`anh cho d¯ˆo.c gia’ ph´at biˆe’u hˆe. qua’ trˆen cho tru.`o.ng ho.. p n`ay.

1.4. NGHIˆE. M GIO´.I N ˆO. I CU’ A PHU.O.NG TR`INH KH ˆONG THU ˆA` N NH ˆA´T

Trong mu.c n`ay ta s˜e x´et su. tˆ. `n ta.i nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i cu’a phu.o.ngo tr`ınh

dx

dt =Ax+f(t), t∈R, (1.49) trong d¯´of l`a h`am liˆen tu.c v`a gi´o.i nˆo.i trˆen R. Tru.´o.c hˆe´t ta x´et su.. tˆ`n ta.i nghiˆe.m tuˆao ` n ho`an chu k`yω nˆe´u biˆe´t tru.´o.cf tuˆ` n ho`a an v´o.i chu k`y ω.

1.4.1. Nghiˆe.m tuˆa` n ho`an

Ta x´et d¯iˆ` u kiˆe.n cˆae ` n v`a d¯u’ d¯ˆe’ (1.49) c´o duy nhˆa´t nghiˆe.m tuˆa` n ho`an.

D- i.nh l´y 1.15 D- iˆe` u kiˆe.n cˆa` n v`a d¯u’ d¯ˆe’ (1.49) c´o duy nhˆa´t mˆo. t nghiˆe.m tuˆa` n ho`an chu k`y ω v´o.i mˆo˜i h`am f liˆen tu. c, tuˆ` n ho`a an chu k`y ω l`a 1∈σ(eωA), hay tu.o.ng d¯u.o.ng, 2πiZ/ω∩σ(A) =.

Ch´u.ng minh. Cˆ` n: gia’ su.a ’ (1.49) c´o duy nhˆa´t nghiˆe.m tuˆa` n ho`an chu k`yω x(t) v´o.i mˆo˜if liˆen tu.c, tuˆa` n ho`an chu k`yω cho tru.´o.c. Ta s˜e ch´u.ng minh 1 ∈σ(eωA). D- ˆe’ l`am d¯iˆe` u d¯´o ta chı’ cˆ` n ch´a u.ng minh r˘a`ng v´o.i mˆo˜iy∈Cn cho tru.´o.c tˆ`n ta.i ´ıt nhˆa´t mˆo.t nghiˆe.mo x∈ Cn

sao cho x−eωAx = y. D- ˘a.t f(t) := α(t)e(t−ω)Ay, trong d¯´o α(t) l`a h`am liˆen tu.c n`ao d¯´o trˆen [0, ω] tho’a m˜an

α(0) =α(ω) = 0; ω

0

α(ξ)dξ = 1.

Khi d¯´o f c´o thˆe’ th´ac triˆe’n th`anh mˆo.t h`am liˆen tu.c tuˆa` n ho`an chu k`y ω trˆen to`an R. Theo gia’ thiˆe´t s˜e tˆ`n ta.i duy nhˆa´t nghiˆe.m tuˆao ` n ho`an x(t) v´o.i chu k`y ω. Theo cˆong th´u.c biˆe´n thiˆen h˘a`ng sˆo´

x(0) = x(ω) = eωAx(0) + ω 0 e(ω−ξ)Af(ξ)dξ. Do d¯´o (I −eωA)x(0) = ω 0 e(ω−ξ)Af(ξ)dξ = ω 0 e(ω−ξ)Ae(ξ−ω)Aα(ξ)ydξ = y.

Vˆa.y 1 ∈ σ(eωA). Theo d¯i.nh l´y ´anh xa. phˆo’ d¯iˆe` u kiˆe.n n`ay tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i 2πiZ/ω∩σ(A) = .

D- u’: Gia’ su.’ ngu.o..c la.i 1 ∈ σ(eωA). Khi d¯´o gia’ su.’ f liˆen tu.c v`a tuˆ` n ho`a an chu k`y ω bˆa´t k`y. Ta d¯˘a.t

x0 = (I −eωA)−1 ω 0 e(ω−ξ)Af(ξ)dξ. X´et h`am sˆo´ x(t) := etAx0+ t 0 e(t−ξ)Af(ξ)dξ, t∈[0, ω] (1.50) D- ˆay l`a mˆo.t nghiˆe.m cu’a (1.49) trˆen [0, ω], c´o t´ınh chˆa´t x(ω) =

˙

y(t) = x˙(t+ω)

= Ax(t+ω) +f(t+ω) = Ay(t) +f(t).

Ho.n n˜u.a, y(0) = x(ω) = x(0). Do t´ınh duy nhˆa´t nghiˆe.m cu’a b`ai

to´an Cauchy

˙

z(t) =Az(t) +f(t)

z(0) = x0

ta suy ra y(t) = x(t), t´u.c l`a x(t+ω) = x(t),∀t. Dˆe˜ thˆa´y d¯ˆo´i v´o.i mˆo˜i nghiˆe.m tuˆa` n ho`an y(t) v´o.i chu k`y ω th`ı

(I−eωA)y(0) = ω

0

e(ω−ξ)Af(ξ)dξ.

Vˆa.y y(0) = x(0) = x. Do t´ınh duy nhˆa´t nghiˆe.m cu’a b`ai to´an Cauchy, y(t) =x(t), t´u.c l`a c´o duy nhˆa´t nghiˆe.m tuˆa` n ho`an chu k`y

ω.

Ch´ung ta d¯˜a x´et phu.o.ng tr`ınh trong Cn. B`ai to´an tu.o.ng tu.. cho phu.o.ng tr`ınh trongRnc´o thˆe’ d¯u.o.. c x´et. Khi d¯´o d¯iˆ` u kiˆe.n 1e ∈σ(eωA) thay b˘a`ng t´ınh kha’ ngu.o..c cu’a ma trˆa.n thu..cI−eωA. D- ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh c´o hˆe. sˆo´ tuˆa` n ho`an, nˆe´u phu.o.ng tr`ınh trongCn th`ı b˘a`ng c´ach d¯u.a vˆ` phu.o.ng tr`ınh c´e o hˆe. sˆo´ h˘a`ng sˆo´ ta d¯u.o..c d¯iˆe`u kiˆe.n cˆa`n v`a d¯u’ l`a 1∈σ(M), trong d¯´o M l`a to´an tu.’ monodromy. D- ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh thu.. c c´o hˆe. sˆo´ tuˆa` n ho`an, c´ach d¯u.a vˆ` phu.o.ng tr`ınh c´e o hˆe. sˆo´ h˘a`ng sˆo´ s˜e l`am r˘a´c rˆo´i thˆem v`ı chı’ biˆe´t tˆo`n ta.i ph´ep dˆa˜n tuˆa` n ho`an chu k`y 2ω. Tuy nhiˆen c´o thˆe’ du.. a theo c´ach l´y luˆa.n trˆen d¯ˆe’ ch´u.ng minh r˘a`ng d¯iˆe` u kiˆe.n cˆa` n v`a d¯u’ l`a ma trˆa.n thu. c. I−M kha’ ngu.o.. c, trong d¯´oM l`a ma trˆa.n monodromy.

1.4.2. Nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i

D- ˆe’ nghiˆen c´u.u d¯iˆ` u kiˆe.n Perron tru.´o.c hˆe´t ta x´et mˆo.t kˆe´t qua’e bˆo’ tro.. sau d¯ˆay.

D- i.nh ngh˜ıa 1.4 Phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhˆa a´t

˙

x(t) =Ax(t), x(t)∈Cn (1.51)

Mˆe.nh d¯ˆe` 1.4 Nˆe´u phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhˆa a´t (1.51) hyperbolic, th`ı tˆ`n ta.i mˆo.t ph´ep chiˆe´uo P : Cn → Cn v`a c´ac h˘a`ng sˆo´ du.o.ng

K, α sao cho

P etAP ≤Ke−αt, ∀t≥0; (I−P)esA(I−P) ≤Keαs, ∀s≤0.

(1.52)

Ch´u.ng minh. Theo D- i.nh l´y ´Anh Xa. Phˆo’ ta thˆa´y σ(eA) khˆong ch´u.a v`ong tr`on d¯o.n vi. v`a do d¯´o nhu. d¯˜a biˆe´t trong D- a.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh c´o thˆe’ chı’ ra ph´ep chiˆe´uP :Cn→Cn sao choCn=I mP ⊕KerP,

P eA=eAP v`a σ(P eAP) ch´ınh l`a phˆ` n phˆa o’ cu’aeA trong h`ınh tr`on d¯o.n vi. c`onσ((I−P)eA(I−P)) l`a phˆ` n cu’aa σ(eA) n˘a`m ngo`ai v`ong tr`on d¯o.n vi.1.

D- i.nh l´y 1.16 (D- i.nh l´y Perron) D- iˆe` u kiˆe.n cˆa` n v`a d¯u’ d¯ˆe’ phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ` n nhˆa a´t (1.49) c´o nghiˆe.m duy nhˆa´t gi´o.i nˆo.i trˆen to`an tru. c v´o.i mˆo˜i f gi´o.i nˆo. i cho tru.´o.c l`a iR∩σ(A) =.

Ch´u.ng minh. Cˆ` n: Gia’ su.a ’ xf l`a nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i duy nhˆa´t v´o.i mˆo˜i f gi´o.i nˆo.i cho tru.´o.c. Gia’ su.’f l`a ω tuˆ` n ho`a an. Khi d¯´o ta s˜e ch´u.ng minh nghiˆe.m duy nhˆa´t xf c˜ung ω-tuˆ` n ho`a an. Thˆa.t vˆa.y, d¯˘a.t

y(t) =xf(t+ω). Ta c´o ˙

y(t) = x˙(t+ω)

= Ax(t+ω) +f(t+ω) = Ay(t) +f(t).

Vˆa.y y(t) c˜ung l`a mˆo.t nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ` n nhˆa a´t (1.49). Do gia’ thuyˆe´t vˆ` t´ınh duy nhˆe a´t nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i v´o.i f cho tru.´o.c nˆeny(t) =xf(t), hay l`axf(t+ω) =xf(t), ∀t, t´u.c l`axf l`aω-tuˆ` n ho`a an. Vˆa.y th`ı theo D- i.nh l´y trˆen 2πiZ/ω∩σ(A) =. Do ω t`uy ´y nˆen suy raiR∩σ(A) = .

D- u’: V´o.i mˆo˜i h`am f cho tru.´o.c ta lˆa.p h`am Gf nhu. sau:

Gf(t) = t −∞ P e(t−ξ)AP f(ξ)dξ− +∞ t (I−P)e(t−ξ)A(I−P)f(ξ)dξ, t∈R. (1.53) 1Ph´ep chiˆe´u P n`ay c´o thˆe’ nhˆa.n d¯u.o..c nh`o. cˆong th´u.c t´ıch phˆan Riesz sau d¯ˆay:P = 1

2πi

γ(λI−eA)−1dλ, trong d¯´o γ ch´ınh l`a d¯u.`o.ng tr`on d¯o.n v i. d¯i.nh hu.´o.ng du.o.ng. T´ıch phˆan n`ay tu.o.ng ´u.ng v´o.iχ(A) trong d¯´o χ(z) l`a h`am d¯˘a.c tru.ng cu’a h`ınh tr`on d¯o.n v i..

Theo mˆe.nh d¯ˆe` trˆen su.. hˆo.i tu. cu’a t´ıch phˆan trong biˆe’u th´u.c l`a r˜o r`ang. Ngo`ai ra vi phˆan tru.. c tiˆe´p ta c´o Gf(·) l`a mˆo.t nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i. T´ınh duy nhˆa´t c´o thˆe’ ch´u.ng minh d¯u.o..c dˆe˜ d`ang b˘a`ng c´ach chı’ ra phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhˆa a´t chı’ c´o duy nhˆa´t nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i l`a nghiˆe.m tˆa` m thu.`o.ng.

Nhˆa.n x´et 1.3 Ta c´o c´ac nhˆa. n x´et sau d¯ˆay:

1. To´an tu.’ G ´u.ng mˆo˜i h`am f gi´o.i nˆo. i v´o.i nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i Gf

d¯u.o.. c go. i l`a to´an tu.’ Green.

2. D- ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh c´o hˆe. sˆo´ tuˆa`n ho`an chu k`y τ, ch´ung ta c´o thˆe’ ph´at biˆe’u mˆo. t d¯iˆ` u kiˆe.n tu.o.ng tu.e . cho to´an tu.’ monodromy (t´u.c l`a ´anh xa. tuyˆe´n t´ınh x´ac d¯i.nh bo’ i ma trˆ. a. n Cauchy X(τ,0)). Khi d¯´o d¯iˆ` u kiˆe.n s˜e l`ae σ(X(τ,0))∩ {z ∈C:

|z|= 1}=.

3. C´o thˆe’ chı’ ra pha’n v´ı du. ch´u.ng to’ r˘a`ng d¯ˆo´i v´o.i phu.o.ng tr`ınh c´o hˆe. sˆo´ tuˆa` n ho`an c´ac gi´a tri. riˆeng cu’a ma trˆa.nA(t), ∀t∈R

khˆong d¯´ong vai tr`o g`ı trong su.. tˆ`n ta.i nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i cu’ao phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ` n nhˆa a´t, c˜ung nhu. t´ınh ˆo’n d¯i.nh cu’a hˆe. thuˆa` n nhˆa´t.

1.4.3. C´ac khˆong gian h`am chˆa´p nhˆa.n d¯u.o..c

Trong ´u.ng du.ng phu.o.ng tr`ınh thuˆa`n nhˆa´t thu.`o.ng mˆo ta’ hˆe. thˆo´ng, c`onf d¯˘a.c tru.ng cho ngoa.i lu..c, thu.`o.ng go.i l`a sˆo´ ha.ng cu.˜o.ng chˆe´ (forcing term), hay “d¯ˆ` u v`a ao” (input). Mˆo.t b`ai to´an quan tro.ng sau d¯ˆay l`a nˆo.i dung ch´ınh cu’a l´y thuyˆe´t c´ac khˆong gian h`am chˆa´p nhˆa.n d¯u.o..c.

B`ai to´an:Gia’ su.’ cho tru.´o.c mˆo. t khˆong gian h`amM. V´o.i d¯iˆ` u kiˆe.ne n`ao d¯˘a. t lˆen A d¯ˆe’ v´o.i mˆo˜i f ∈ M tˆ`n ta.i duy nhˆa´t mˆo.t nghiˆe.mo xf

cu’a phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ` n nhˆa a´t (1.49) ?

1.4.4. Nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i trˆen nu.’a tru.c

C´o thˆe’ d¯˘a.c tru.ng t´ınh hyperbolic cu’a hˆe. tuyˆe´n t´ınh thuˆa`n nhˆa´t qua su.. tˆ`n ta.i (khˆong duy nhˆa´t) nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i trˆen nu.’a tru.co du.o.ng v´o.i mˆo˜i h`am cu.˜o.ng b´ach (forcing term) f cho tru.´o.c trˆen nu.’ a tru.c. Tuy nhiˆen, viˆe.c ch´u.ng minh d¯˘a.c tru.ng n`ay kh´a ph´u.c ta.p so v´o.i ch´u.ng minh d¯i.nh l´y Perron o’ trˆen. Gia’ su.. ’ σ(A)∩iR = .

σ(A|ImP) = {λ∈σ(A) :Reλ < 0}, σ(A|KerP = {λ∈σ(A) :Reλ > 0}.

Ta nh˘a´c la.i r˘a`ngBC(R+,Rn) :={g : [0,+∞)→Rnliˆen tu.c v`a gi´o.i nˆo.i}.

D- i.nh l´y 1.17 V´o.i gia’ thiˆe´t v`a k´y hiˆe.u trˆen, v´o.i mo.if ∈BC(R+,Rn)

c´ac kh˘a’ng d¯i.nh sau d¯ˆay l`a d¯´ung:

1. Phu.o.ng tr`ınh (1.49) c´o ´ıt nhˆa´t mˆo. t nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i trˆen nu.’a tru. c, cho bo’ i cˆ. ong th´u.c:

xf(t) = t 0 e(t−ξ)AP f(ξ)dξ− +∞ t e(t−ξ)A(I−P)f(ξ)dξ, ∀t∈R+, (1.54)

2. Mo. i nghiˆe.m y(t), t∈R+, gi´o.i nˆo. i trˆen nu.’ a tru.c R+, d¯ˆ` u c´e o da. ng

y(t) =etAy0+xf(t), y0 ∈I mP, ∀t∈R+. (1.55)

Ch´u.ng minh. (1) Du.. a v`ao d¯´anh gi´a

etAP x ≤N e−αt, ∀t≥0, esA(I−P) ≤N e−αs, ∀s≤0 v´o.i hai sˆo´ du.o.ng N, α n`ao d¯´o x´ac d¯i.nh t`u.A, ta c´o thˆe’ chı’ ra ngay

xf l`a h`am gi´o.i nˆo.i. Thu’ tru.. . c tiˆe´p suy ra ngay xf l`a nghiˆe.m cu’a (1.49).

(2) D`ung nguyˆen l´y chˆ`ng chˆo a´t nghiˆe.m suy ra hiˆe.u y(t)−xf(t) =

z(t) l`a mˆo.t nghiˆe.m gi´o.i nˆo.i cu’a phu.o.ng tr`ınh thuˆa`n nhˆa´t tu.o.ng ´

u.ng. Vˆa.y th`ız(t) pha’i c´o da.ng z(t) = etA(P z(0) + (I −P)z(0)).

Nˆe´u (I−P)z(0)= 0 th`ı nghiˆe.mz(t) khˆong thˆe’ gi´o.i nˆo.i d¯u.o..c. Vˆa.y ta d¯u.o.. c d¯iˆ` u cˆe ` n ch´a u.ng minh.

1.5. B `AI TO ´AN BIˆEN

1.5.1. B`ai to´an biˆen thuˆ` n nhˆa a´t

X´et phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh ˙

x=P(t)x, (1.56)

trong d¯´o P : (a, b)→Cn×n l`a h`am gi´a tri. ma trˆa.n liˆen tu.c. Ta x´et b`ai to´an sau: T`ım nghiˆe.m x(t) cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.56) tho’a m˜an d¯iˆ` u kiˆe.n biˆen sau d¯ˆay:e

Ax(α) +Bx(β) = 0, (1.57) trong d¯´oA, B∈Rn×n l`a hai ma trˆa.n, v`aα, β ∈(a, b) l`a hai sˆo´ thu.. c cho tru.´o.c.

Gia’ su.’ Φ(t) l`a ma trˆa.n co. ba’n chuˆa’n h´oa (t´u.c l`a Φ(0) =I, ma trˆa.n d¯o.n vi.) cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.56). Ta s˜e t`ım nghiˆe.m trong da.ng sau

x(t) = Φ(t)C, C ∈Cn. (1.58) T`u. d¯iˆ` u kiˆe.n biˆen suy rae

[A+BΦ(β)]C= 0.

Do d¯´o b`ai to´an biˆen (1.56) v`a (1.57) c´o nghiˆe.m khˆong tˆa` m thu.`o.ng khi v`a chı’ khi

∆ := det[A+BΦ(β)] = 0.

Gia’ su.’

Q={(t, s) :α≤t ≤β;α≤s≤β, s=t}.

D- i.nh ngh˜ıa 1.5 Anh xa´ . G : Q → Cn×n d¯u.o.. c go. i l`a h`am Green cu’a b`ai to´an biˆen (1.56) v`a (1.57) nˆe´u n´o tho’a m˜an c´ac d¯iˆ` u kiˆe.ne sau:

1.

dG

dt =P(t)G, ∀t ∈[α, s), t∈(s, β]

2. AG(α, s) +BG(β, s) = 0,

3. G(s+ 0, s)−G(s−0, s) =I , (I l`a to´an tu.’ d¯o.n vi.).

T`u. l´y thuyˆe´t hˆe. phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh ta c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜nG(t, s) du.´o.i da.ng sau:

G(t, s) =

Φ(t)S(s), α ≤t < s,

Φ(t)T(s), s < t≤β.

Theo c´ac d¯iˆ` u kiˆe.n cu’a h`am Green ta c´oe

AS+BΦ(β)T = 0, Φ(S−T) =I .

Do d¯´o

S−T = −Φ−1

S(s) = −[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)Φ−1(s), T(s) = {I−[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)}Φ−1(s).

Vˆa.y th`ıG(t, s) x´ac d¯i.nh mˆo.t c´ach d¯o.n tri. t`u. cˆong th´u.c G(t, s) =    −Φ(t)[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)Φ−1(s), α≤t < s, Φ(t){I−[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)}Φ−1(s), s < t≤β. (1.59) T`u. (1.59) v`a d¯˘a’ng th´u.c dΦ−1 dt =−Φ−1P ta c´o dG ds =−GP(s), G(t, t−0)−G(t, t+ 0) =I .

1.5.2. Phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ` n nhˆa a´t

X´et b`ai to´an biˆen khˆong thuˆ` n nhˆa a´t sau: ˙

x = P(t)x+q(t), t∈(a, b) (1.60)

0 = Ax(α) +Bx(β), (1.61)