2.1 .Phép thử
3. Đinh nghĩa cổ điển, định nghĩa thống kê của xác suất
3.2. Định lý nhân xác suất
Xác suất có điều kiện: Xác suất của biến cố B được tính với điều kiện biến cố A đã xảy ra gọi là xác suất của B với điều kiện A, ký hiệu P(B | A).
Ví dụ 1: Một hộp đựng 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế
phẩm, lấy ra lần lượt hai sản phẩm theo phương thức khơng hồn lại. Tìm xác suất để:
- Lần thứ hai lấy được chính phẩm biết rằng lần thứ nhất lấy được chính phẩm.
- Lần thứ hai lấy được chính phẩm biết rằng lần thứ nhất lấy được phế phẩm. Giải:
Đặt A “lần thứ nhất lấy được chính phẩm” B “lần thứ hai lấy được chính phẩm”
Cần tìm P(B|A) =? P(B | A) = 5/9 = 0,556
Cần tìm P(B | Ā) =?
P(B | Ā) = 6/9 = 0,667 6/10 x 5/9 = 1/3 = 0,333
Định lý 1: Xác suất của tích hai biến cố phụ thuộc bằng tích xác suất của một trong
hai biến cố đó với xác suất có điều kiện của biến cố cịn lại. Nếu A và B là phụ thuộc thì: P(A.B) = P(A).P(B|A)
Ví dụ 2: Một hộp đựng 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế
phẩm. Người ta lần lượt lấy ra 2 sản phẩm theo phương thức khơng hồn lại. Tính xác suất để lấy được 2 chính phẩm.
Giải:
- Gọi C "Lấy được 2 chính phẩm” A "Lấy được chính phẩm ở lần thứ nhất” B "Lấy được chính phẩm ở lần thứ hai" => C = A.B => cần tính P(C)=?
Do phương thức lấy là khơng hồn lại nên A và B là phụ thuộc => P(C) = P(A.B) = P(A).P(B|A) = 6/10 x 5/9 = 1/3 = 0,333
Mở rộng với n biến cố A1, A2,…, An là phụ thuộc thì: P(A 1A2…An) = P(A1).P(A2|A1)…P(An|An–1)
Định lý 2: Xác suất của tích hai biến cố độc lập bằng tích các xác suất thành phần.
Nếu A và B là độc lập thì: P(A.B) = P(A).P(B)
Ví dụ 3: Một hộp đựng 10 sản phẩm trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế
phẩm. Người ta lần lượt lấy ra 2 sản phẩm theo phương thức có hồn lại . Tính xác suất để lấy được 2 chính phẩm.
Giải:
- Gọi C "Lấy được 2 chính phẩm” A "Lấy được chính phẩm ở lần thứ nhất” B "Lấy được chính phẩm ở lần thứ hai" => C = A.B
- Do phương thức lấy là có hồn lại nên A và B là độc lập => P(C) = P(A.B) = P(A).P(B) = 6/10 x 6/10 = 36/100 = 0,36 Mở rộng với n biến cố A1, A2,…, An là độc lập tồn phần thì: P(A 1A 2…An) = P(A1).P(A2)…P(An)
Từ định lý 1 và 2 ta suy ra:
- Nếu P(A) > 0 và P(B) > 0 thì: P(A|B) = P(A.B)/ P(B) và P(B|A) = P(A.B)/ P(A)
- Nếu P(B) = 0 và P(A) = 0 thì P(A | B) và P( B | A) là không xác định. - Nếu A và B độc lập và P(A) > 0 ; P(B) > 0 thì: P(A) = P(A.B) / P(B)
và P(B) = P (A.B) / P(A) • Chú ý:
- A và B độc lập khi và chỉ khi: P(A.B) = P(A).P(B) Hoặc P(B | A) = P(B) và P(A | B) = P(A)
- Nếu A và B là độc lập thì A và B , Ā và B, Ā và B cũng độc lập.