2.1 .Phép thử
3. Đinh nghĩa cổ điển, định nghĩa thống kê của xác suất
3.4. Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
Hệ n các biến cố A1,A2, ...., An được gọi là đầy đủ và xung khắc từng đôi nếu trong phép thử bắt buộc có 1 và chỉ 1 biến cố xảy ra.
Ví dụ: Một hộp có 3 loại màu xanh, đỏ và vàng. Chọn ngẫu nhiên một màu. Gọi A, B, C là biến cố chọn được màu xanh, đỏ, vàng tương ứng thì A, B, C là hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi.
3.4.1. Công thức xác suất đầy đủ
Giả sử A1,A2,...,An. Là hệ đầy đủ các biến cố và P(Ai)>0 với mọi i= 1,2...,n. Khi đó với A là biến cố bất kì với P(A)> 0 ta có:
P(A) = P(A∩ Ω) = P(A∩( Ai)) = P( (A∩Ai)) = P (A∩Ai) Từ đó: P(A) = P(Ai) P(A/Ai)
Ví dụ: Một xí nghiệp có 2 phân xưởng với các tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 1% và 2%. Biết phân xưởng I sản xuất 40% còn phân xưởng II sản xuất 60% sản phẩm. Tìm xác suất để từ kho của xí nghiệp chọn ngẫu nhiên được 1 phế phẩm. Giải:
Gọi A1, A2 là biến cố lấy được 1 sản phẩm của phân xưởng I, II thì A1, A2 là nhóm đầy đủ và xung khắc.
Gọi A: lấy được một phế phẩm
P(A) = P(A1) P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) = 40% .1% + 60%. 2%
= 1,6%
3.4.2. Công thức Bayes
Giả sử A1,A2,...,An. Là hệ đầy đủ các biến cố và P(Ai)>0 với mọi i= 1,2...,n. Khi đó với A là biến cố bất kì với P(A)> 0 ta có:
P(Ai).P(A/Ai) P(Ai).P(A/Ai) P(Ai/A) = =
P(A) P(Ai) P(A/Ai) Ví dụ 1: (tiếp)
Giả sử lấy ra được 1 phế phẩm, tìm xác suất để phế phẩm là của phân xưởng I? Giải:
P( A1/A) = P (A1) P(A/A1)
= 25 %
Ví dụ 2: Có 3 hộp giống nhau: hộp I chứa 20 bi trắng; hộp II chứa 10 bi trắng và 10 bi xanh; hộp III chứa 20 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ đó bốc ngẫu nhiên ra được 1 bi trắng. Tìm xác suất để viên bi đó là của hộp I.
Giải:
Gọi Ak: chọn hộp thứ k ( k = 1,2,3) Suy ra { Ak } đầy đủ và xung khắc. B: bốc được bi trắng.
P ( A1/ B) =
P (A1) P (B/A1)
P (Aj) P ( B/Aj)
= 2/3