Để khảo sát tác động của hạn mức sử dụng nợ đến khả năng sinh lời của doanh nghiệp, nghiên cứu này sử dụng mơ hình hồi quy ngưỡng. Theo Hansen (1999; 2000), mơ hình hồi quy ngưỡng (Panel Threshold Regression Model) được xây dựng dựa trên bộ dữ liệu bảng cân bằng {𝑦𝑖𝑡, 𝑞𝑖𝑡, 𝑥𝑖𝑡: 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇}, trong đó 𝑖 là chỉ số mẫu, 𝑡 là chỉ số theo thời kỳ, 𝑦𝑖𝑡 là biến phụ thuộc, 𝑞𝑖𝑡 là biến phân ngưỡng và 𝑥𝑖𝑡 là vector của các biến độc lập.
Mơ hình có thể được thể hiện như sau:
𝒚𝒊𝒕= 𝝁𝒊+ 𝜷𝟏′𝒙𝒊𝒕𝑰(𝒒𝒊𝒕 ≤ 𝜸) + 𝜷𝟐′𝒙𝒊𝒕𝑰(𝒒𝒊𝒕 > 𝛾) + 𝒆𝒊𝒕 (3.1)
Với 𝐼 là hàm mục tiêu, phương trình (3.1) có thể được viết lại: 𝒚𝒊𝒕 = {𝝁𝒊+ 𝜷𝟏
′𝒙𝒊𝒕+ 𝒆𝒊𝒕 𝒏ế𝒖 𝒒𝒊𝒕 ≤ 𝜸 𝝁𝒊+ 𝜷𝟐′𝒙𝒊𝒕+ 𝒆𝒊𝒕 𝒏ế𝒖 𝒒𝒊𝒕 > 𝛾 Đặt 𝛽 = (𝛽1′, 𝛽2′)′, phương trình (3.1) tương đương:
𝒚𝒊𝒕= 𝝁𝒊+ 𝜷′𝒙𝒊𝒕(𝜸) + 𝒆𝒊𝒕 (3.2)
Trong trường hợp này, giá trị ngưỡng 𝛾 phân chia tập mẫu thành 2 nhóm, tương ứng với biến phân ngưỡng 𝑞𝑡 lớn hơn và nhỏ hơn hoặc bằng 𝛾. Hai nhóm này có thể được biểu thị bằng các ma trận hệ số khác nhau 𝛽1 và 𝛽2. 𝑒𝑖𝑡 là sai số có phân phối chuẩn với trung bình 0 và phương sai 𝜎2.
3.1.1. Phương pháp ước lượng ngưỡng và hệ số cho mơ hình
Theo Hansen (1999), giá trị ngưỡng 𝛾 và hệ số 𝛽 của mơ hình được ước lượng bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS). Để thực hiện ước lượng, cần xác định trung bình của phương trình (3.1) thông qua chỉ số theo thời kỳ 𝑡:
29 𝒚𝒊= 𝝁𝒊+ 𝜷′𝒙𝒊(𝜸) + 𝒆𝒊 (3.3) Với: 𝑦𝑖 = 𝑇−1∑𝑇 𝑦𝑖𝑡 𝑡=1 𝑒𝑖 = 𝑇−1∑𝑇𝑡=1𝑒𝑖𝑡 𝑥𝑖(𝛾) = 𝑇−1∑𝑇𝑡=1𝑥𝑖𝑡(𝛾)
Lấy hiệu của 2 phương trình (3.2) và (3.3), phương trình mới được thể hiện:
𝒚𝒊∗ = 𝜷′𝒙𝒊∗(𝜸) + 𝒆𝒊∗ (3.4)
Với: 𝑦𝑖∗ = 𝑦𝑖𝑡− 𝑦𝑖 𝑒𝑖∗ = 𝑒𝑖𝑡− 𝑒𝑖
𝑥𝑖∗(𝛾) = 𝑥𝑖𝑡(𝛾) − 𝑥𝑖(𝛾)
Tạo các ma trận dựa trên các giá trị đã tính được:
𝑦𝑖∗ = [ 𝑦𝑖1∗ ⋮ 𝑦𝑖𝑇∗ ] 𝑥𝑖∗(𝛾) = [ 𝑥𝑖1∗ (𝛾) ⋮ 𝑥𝑖𝑇∗ (𝛾) ] 𝑒𝑖∗ = [ 𝑒𝑖1∗ ⋮ 𝑒𝑖𝑇∗ ] 𝑌∗ = [ 𝑦1∗ ⋮ 𝑦𝑖∗ ⋮ 𝑦𝑛∗] 𝑋∗(𝛾) = [ 𝑥1∗(𝛾) ⋮ 𝑥𝑖∗(𝛾) ⋮ 𝑥𝑛∗(𝛾)] 𝑒∗ = [ 𝑒1∗ ⋮ 𝑒𝑖∗ ⋮ 𝑒𝑛∗] Phương trình (3.4) tương đương:
𝒀∗ = 𝑿∗(𝜸)𝜷 + 𝒆∗ (3.5)
Với mỗi giá trị ngưỡng 𝛾, hệ số 𝛽 có thể được ước lượng theo OLS. 𝜷̂(𝜸) = (𝑿∗(𝜸)′𝑿∗(𝜸))−𝟏𝑿∗(𝜸)′𝒀∗
Vector phần dư được xác định:
𝑒̂∗(𝛾) = 𝑌∗ − 𝑋∗(𝛾)𝛽̂(𝛾) Tổng bình phương phần dư:
30
Theo Chan (1993) và Hansen (1999), ước lượng của giá trị ngưỡng 𝛾 xác định được bằng cách tối thiểu hóa giá trị 𝑆1(𝛾) ở phương trình (3.6)
𝛾̂ = 𝑎𝑟𝑔𝑚𝑖𝑛𝛾 𝑆1(𝛾) (3.7)
Khi giá trị 𝛾̂ được xác định, 𝛽̂ = 𝛽̂(𝛾̂) và 𝑒̂∗ = 𝑒̂∗(𝛾̂). Phương sai của phần dư (residual variance):
𝜎̂2 = 1
𝑛(𝑇 − 1)𝑆1(𝛾̂)
3.1.2. Kiểm định ngưỡng của mơ hình
Khi đã xác định được giá trị phân ngưỡng γ, vấn đề đặt ra là xác định ý nghĩa thống kê của γ. Đối với mơ hình đã khảo sát ở phương trình (3.1), giả thuyết được đưa ra để kiểm định tác động ngưỡng của mơ hình:
𝑯𝟎: 𝛽1 = 𝛽2
Nếu 𝐻0 xảy ra, có thể kết luận tác động ngưỡng giữa các biến 𝑥𝑖𝑡 và 𝑦𝑖𝑡 của phương trình (3.1) khơng tồn tại, đồng nghĩa với giá trị ngưỡng không xác định được. Trong trường hợp này, các kiểm định cổ điển sẽ có phân phối phi chuẩn (Hansen, 1999). Vấn đề này đã được Davies (1977) nghiên cứu và Hansen (1996) tiếp tục phát triển. Để kiểm định giả thuyết trên, Hansen (1996) đề xuất sử dụng phương pháp bootstrap để mô phỏng LRT (Likelihood Ratio Test - kiểm định dựa trên tỷ số khả năng) có phân phối tiệm cận với phân phối chuẩn.
Khi không có tác động ngưỡng, phương trình (3.1) tương đương:
𝑦𝑖𝑡 = 𝜇𝑖 + 𝛽1′𝑥𝑖𝑡+ 𝑒𝑖𝑡 (3.8)
Biến đổi (3.8) theo các bước trong phương pháp xác định ngưỡng, (3.9) được xác định:
𝑦𝑖∗ = 𝛽1′𝑥𝑖∗(𝛾) + 𝑒𝑖∗ (3.9) Từ phương trình (3.9), giá trị ước lượng của 𝛽1 (𝛽̂1), vector phần dư (𝑒̂𝑖𝑡∗) và tổng bình phương phần dư (𝑆0 = 𝑒̂𝑖𝑡∗′𝑒̂𝑖𝑡∗) được xác định.
31
Tỷ số khả năng (likelihood ratio) 𝐹1 được tính theo cơng thức: 𝐹1= 𝑆0 − 𝑆1(𝛾̂)
𝜎̂2
Sau khi thực hiện bootstrap trên tập mẫu, giá trị p-value cũng được xác định. Hansen (1996) cho rằng giá trị p-value này có vai trị quan trọng trong kết luận chấp nhận hay bác bỏ giả thuyết 𝐻0. Nếu p-value nhỏ hơn các giá trị tới hạn (critical values) thì giả thuyết 𝐻0 bị bác bỏ.
3.1.3. Mơ hình đa ngưỡng (Multiple Thresholds Model)
Nếu tồn tại hai giá trị ngưỡng γ1 và γ2, với giả định γ1 < γ2thì phương trình trên có thể biểu diễn lại như sau:
𝒚𝒊𝒕 = 𝝁𝒊+ 𝜷𝟏𝒙𝒊𝒕𝑰(𝒒𝒊𝒕 ≤ 𝜸𝟏) + 𝜷𝟐𝒙𝒊𝒕𝑰(𝜸𝟏 < 𝑞𝒊𝒕 ≤ 𝜸𝟐) + 𝜷𝟑𝒙𝒊𝒕𝑰(𝒒𝒊𝒕 > 𝜸𝟐) + 𝒆𝒊𝒕 Tương đương: 𝒚𝒊𝒕 = { 𝝁𝒊+ 𝜷𝟏𝒙𝒊𝒕+ 𝒆𝒊𝒕 𝒏ế𝒖 𝒒𝒊𝒕 ≤ 𝜸𝟏 𝝁𝒊+ 𝜷𝟐𝒙𝒊𝒕+ 𝒆𝒊𝒕 𝒏ế𝒖 𝜸𝟏< 𝑞𝒊𝒕 ≤ 𝜸𝟐 𝝁𝒊+ 𝜷𝟑𝒙𝒊𝒕+ 𝒆𝒊𝒕 𝒏ế𝒖 𝒒𝒊𝒕 > 𝜸𝟐 (3.10)
Tương tự cho các giá trị ngưỡng tăng dần từ (γ1, … , γn).