CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ VẬT LIỆU TỪ
2.2. PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG MONTE CARLO
2.2.1. Thuật toán Metropolis
(2.9)
(2.10)
[18]
Trong cổ điển, cấu hình của thuật tốn Metropolis được tạo ra từ một trạng thái trước đó sử dụng xác suất chuyển dời cái mà phụ thuộc vào độ lệch năng lượng giữa trạng thái ban đầu và trạng thái cuối. Một chuỗi các trạng thái được tạo ra theo trật tự thời gian, nhưng thời gian trong mô phỏng Monte Carlo là thời gian Monte Carlo và khơng biết trước.
Thuật tốn Metropolis được sử dụng khá phổ biến trong mô phỏng Monte Carlo để tính giá trị trung bình của các đại lượng tuân theo một phân bố thống kê nào đó. A = ∑ n n P A n (2.11)
Với mơ hình spin Ising ngẫu nhiên, sự phụ thuộc theo thời gian được mơ tả bởi phương trình
Trong đó Pn (t ) là xác suất tìm thấy của hệ ở trạng thái
n , và Wn→m là tốc độ chuyển từ trạng thái n sang trạng thái
trạng thái cân bằng ∂P n (t ) ∂t = 0và hai số hạng ở vế phải
là ⌠ τα χ⌠đ
taị thời điểm t
m . Khi hệ đạt
bằng nhau. Khi
P (t )W →= P (t )W →
n n m m m n
(2.13)
Xác suất của trạng thái
Pn (t )
=
n e
xảy ra trong hệ cổ điển cho bởi −E /k T
n B / Z
(2.14)
Trong đó Z là tổng thống kê của hệ. Xác suất này thường khơng được
biết chính xác bởi mẫu số, chúng ta có thể tránh điều này bằng việc tạo ra một chuỗi Markov các trạng thái, cụ thể là tạo ra một trạng thái mới bằng chính trạng thái trước nó. Nếu chúng ta tạo ra trạng thái thứ n từ trạng thái thứ m, xác suất tương quan là tỉ lệ của xác suất cá nhân và sự xóa bỏ mẫu số. Dẫn đến, chỉ có độ lệch năng lượng của hai trạng thái là cần thiết
∆E = En − Em
(2.15)
Tất cả những tốc độ chuyển nào thỏa mãn sự cân bằng chi tiết đều được chấp nhận. Sự lựa chọn đầu tiên của tốc đồ dời thường được sử dụng trong vật lý thống kê là dạng của Metropolis
Khi ∆E > 0 : Wm→n =τ −1 −E /k BT 0 e (2.16) Khi ∆ E <0 : W = τ −1 0 m→n (2.17)
Trong đó τ0 là thời gian yêu cầu để đạt được một spin lật. Thuật tốn
Metropolis được mơ tả theo các bước như sau:
Bước 1: Chọn một trạng thái ban đầu ngẫu nhiên Bước 2: Lật spin
Bước 4: Tạo số ngẫu nhiên r thỏa mãn Bước 5: Nếu r < e−∆E /k BT , spin lật và cấu
0 < r <1
hình được cập nhật
Sau đó lại lặp lại các bước từ bước 3 cho một vị trí nút mạng mới.