CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ VẬT LIỆU TỪ
2.2. PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG MONTE CARLO
2.2.3. Phương pháp Wang Landau
Như chúng ta đã biết hầu hết các thuật tốn trong mơ phỏng Monte Carlo đều được thực hiện tại một nhiệt độ xác định. Bởi vậy, các phương pháp trước đây, hoặc là kém chính xác (phương pháp cổ điển), hoặc là chỉ có hiệu quả cao trong việc tính tốn các hiệu ứng kích thước hữu hạn (phương pháp biểu đồ đơn và kép). Các phương pháp này được ứng dụng rộng rãi và khá hiệu quả đối với chuyển pha loại II, nhưng lại rất khó khăn khi nghiên cứu chuyển pha loại I. Việc xác định đỉnh kép trong hàm phân bố năng lượng cũng như xác định độ rộng tatent giữa hai đỉnh kép đó địi hỏi phải thực hiện mơ phỏng tại nhiệt độ rất gần điểm chuyển pha, tức là phải tiến hành mô phỏng tại rất nhiều điểm nhiệt độ quanh điểm chuyển pha với độ chính xác cao.
Mới đây, Wang và Landau đã đề xuất một thuật toán mới gọi là thuật tốn biểu đồ “phẳng”, cịn gọi là phương pháp Wang - Landau. Khác với các thuật tốn mơ phỏng Monte Carlo trước đây, phương pháp Wang -Landau mô phỏng trên không gian năng lượng nhằm xác định hàm mật độ trạng thái. Từ đó, ta có thể xác định các định các đại lượng vật lý như là hàm liên tục theo nhiệt độ tương tự như trong phương pháp giản đồ đơn (kép). Tiếp theo đây, chúng ta có thể tìm hiểu chi tiết thuật tốn này.
Thuật toán này dựa trên quan sát thấy rằng, nếu như ta thực hiện một bước đi ngẫu nhiên trong không gian năng lượng với xác suất tỷ lệ nghịch với nghịch đảo mật độ trạng thái 1/g(E), lúc đó biểu đồ phẳng được tạo ra từ phân bố năng lượng. Quá trình này được thực hiện bằng cách điều chỉnh mật độ trạng thái ước định theo theo phương pháp có hệ thống, nhằm thu được biểu đồ phẳng trên tồn bộ vùng năng lượng cho phép và đồng thời làm cho mật độ trạng thái hội tụ tiến dần đến giá trị đúng của nó. Ban đầu, giá trị của mật độ trạng thái chưa được xác định, vì vậy ta có thể đặt g(E)=1 cho tất cả các năng
lượng E. Sau khi đặt giá trị ban đầu cho mật độ trạng thái, ta thực hiện mô phỏng theo bước đi ngẫu nhiên. Trong trường hợp tổng quát , nếu như năng lượng trước và sau khi lật spin tương ứng là 1 sang 2 có dạng :
( ) = min ( ( 1) ). (2.38)
1→ 2
( 2)
Đây cũng chính là xác suất lật spin. Mỗi lần ta tìm thấy trạng thái của hệ có năng lượng E, ta làm mới mật độ trạng thái ứng với năng lượng đó bằng cách nhân mật độ trạng thái bởi hệ số điều chỉnh f>1, nghĩa là :
( ) → ( ) .
Hệ số điều chỉnh ban đầu được chọn khá lớn = 0 = 1 = 2.71828 . Nó cho phép chúng ta tìm đến một cách
nhanh chóng tất cả các mức năng lượng có thể cho dù hệ đang xét có kích thước lớn chúng ta tiếp tục thực hiện các bước ngẫu nhiên trong không gian năng lượng và điều chỉnh mật độ trạng thái cho đến khi biểu đồ chồng chất phẳng H(E). Lúc này, mật độ trạng thái hội tụ đến giá trị thực tỷ lệ chính xác với . Sau đó ta điều chỉnh dần hệ số điều chỉnh theo cách 1 =
√ 0 đồng thời điều chỉnh lại biểu đồ H(E)=0. Bước tiếp theo,ta tiếp tục mô phỏng với giá trị hệ số điều chỉnh bé hơn 1.
Tiếp tục làm như vậy cho đến khi
biểu đồ lại phẳng, ta lại tiếp tục điều chỉnh +1 = √ . Rõ ràng là số bước Monte- Carlo càng ngày càng lớn khi ta giảm hệ số điều chỉnh. Quá
trình mơ phỏng sẽ kết thúc khi hệ số điều chỉnh bé hơn một giá trị cuối cùng cho trước nào đó (ví dụ : final = exp(10−8) ~1,000 000 01).
Rõ ràng là một hệ số điều chỉnh f trong các bước ngẫu nhiên đóng vai trị là tham số điều chỉnh độ chính xác của mật độ trạng thái trong suốt q trình mơ phỏng và nó cũng quyết định thời gian mơ phỏng, nghĩa là tổng số các bước lật spin trong tồn bộ q trình mơ phỏng.
Trên thực tế, chúng ta khơng thể đạt được biểu đồ tuyệt đối phẳng, ý nghĩa “phẳng ”ở đây khi mà biểu đồ
H(E) cho tất cả các mức năng lượng có thể có các giá trị lớn hơn % so với giá trị tring bình ( )〈 〉 nghĩa là
( ) ≥ % ( )〈 〉, với % được chọn trong khoảng từ 80% đến 95%. Vì mật độ trạng thái được điều chỉnh mỗi
28
Theo lý thuyết thống kê thì hàm chia có thể viết dưới dạng tổng các trạng thái,đồng thời cũng có thể viết dưới dạng tổng các năng lượng :
= ∑ exp(− / ) ≡ ∑ ( )exp(− / ). (2.39)
Sau khi chúng ta tìm được mật độ trạng thái g(E), các đại lượng Vật lý như năng lượng, độ từ hóa, nhiệt dung riêng, độ cảm từ… có thể tính được một cách dễ dàng như là một hàm liên tục theo nhiệt độ:
( ) =
〈 〉 ∑ ( )
− / . (2.40)
Trong đó, Z là hàm chia
= ∑ ( ) − / (2.41) Để có thể áp dụng thuật tốn Wang-Landau một cách dễ dàng, ta viết lại một cách ngắn gọn quy trình mơ phỏng hệ spin Ising theo các bước sau :
1.Đặt g(E)=1 , H(E)=0; chọn hệ số điều chỉnh 0 = 1 2. Chọn một trạng thái ban đầu.
3.Chọn một nút mạng bất kỳ, tính năng lượng 1 4.Thử lật spin và tính năng lượng mới 2.
5.Tính tỷ số = ( 1)/ ( 2)
6. Tạo ra một số ngẫu nhiên theo phân bố đều nằm trong khoảng 0 <
< 1
7. Xét điều kiện, nếu > , cho phép lật spin 8. Làm mới các giá trị ( ) = ( ) ; ( ) = ( ) + 1
9. Nếu biểu đồ chưa phẳng ta quay lại bước (3)
10. Nếu biểu đồ phẳng ta đặt lại ( ) = 0 và giảm +1 = √
11. Lặp lại các bước từ (3) đến (10) cho đến khi → 1
CHƯƠNG 3: TÍNH CHẤT TỪ CỦA VẬT LIỆU CĨ PHÂN BỐ NHIỆT KHƠNG ĐỀU.