CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ VẬT LIỆU TỪ
2.2. PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG MONTE CARLO
2.2.2. Phương pháp biểu đồ (Histogram)
Ý tưởng sử dụng phương pháp biểu đồ để tăng lượng thông tin thu được từ phương pháp mô phỏng Monte Carlo. Trong khoảng 40 năm trở lại đây, phương pháp này đã và đang được ứng dụng thành công để nghiên cứu những hiện tượng tới hạn.
2.2.2.1. Phương pháp biểu đồ đơn.
Phương pháp Monte Carlo tiến hành ở nhiệt độ = 0 tạo nên các cấu hình của hệ với tần suất tỷ lệ với trọng số Boltzmann exp(−
0 ) với 0 = 1/ 0, và H là Haminton của hệ đang nghiên cứu. Để đơn giản ta xét mơ hình Ising 3 chiều lân cận nhất với Hamiltonnian : = − ∑〈 , 〉 .
(2.18)
Với nhiệt độ mô phỏng tương ứng với hằng số liên kết = ,
0 0
0 trọng số Boltzmann có thể viết dưới dạng exp( 0 ), ở đây E là năng lượng của hệ. Xác suất tìm thấy hệ với năng lượng E và độ từ hóa = ∑
khơng thứ ngun có dạng
( , ) = 1 ( , )exp[ ]. (2.19)
0
0
( 0)
Trong đó ( , ) là số các cấu hình (mật độ trạng thái) với năng lượng E và độ từ hóa M, và ( 0) là hàm chia của hệ. Bởi vì mơ phảng tạo ra các cấu hình tương ứng với phân bố xác suất cân bằng, biểu đồ
H(E,M) của E và M giữ trong suốt q trình mơ phỏng gần đúng với hàm phân bố xác suất cân bằng, càng trở
nên chính xác nếu số lần mơ phỏng tiến đến vơ hạn. Với một mơ phỏng có thời gian hữu hạn,biểu đồ sẽ có sai số thống kê, nhưng đại lượng H(E,M)/N, với N là số lần đo đã thực hiện, vẫn chính xác đối với xác suất
0(E,M) trên khoảng giá trị của E và M được tạo ra trong suốt q trình mơ phỏng. Từ đó ta có thể viết lại
phương trình như sau:
( , ) = ̃ ).
(2.20) ( 0)
22
Với ̃
( , ) là một xấp xỉ của mật độ trạng thái thực W(E,M). Từ sự giống nhau về dạng của
phương trình (2.19) và (2.20), dễ dàng nhận thấy rằng nếu như ta biết được hàm phân bố tại một giá trị nào đó của K là có thể xác định các đại lượng tại các giá trị khác của K. Để thấy rõ điều này, chúng ta viết lại hàm phân bố cho các giá trị bất kỳ của K có dạng giống như (2.19)
( , ) = ( , )exp( ). (2.21)
( 0)
0
Tiếp theo, để ý là vì chúng ta đã biết được hàm phân bố tại nhiệt độ 0
, từ biểu đồ H(E,M), chúng ta có thể viết ngược lại phương trình (2.19) để xác định ̃ ( , )
̃ ( 0)
).
(2.22) ( , ) = ( , )exp(− 0
Nếu bây giờ ta thay ( , ) trong (2.21) bằng biểu thức cho ̃
( , ) trog (2.22), rồi lấy chuẩn hóa hàm phân bố, ta tìm được biểu thức liên hệ giữa biểu đồ đo được tại = 0 và hàm phân bố tại K bất kỳ.
( , ) = ( , )exp( ∆ )
. (2.23)
∑ , ( , )exp(− 0 )
Với ∆ = − 0 . Từ ( , ), giá trị trung bình của bất kỳ hàm nào của E và M,f(E,M) có thể được tính như hàm liên tục của K
( , ) = ∑
〈 〉 , ( , ) ( , ).
(2.24)
Phương trình (2.23) và (2.24) được xem là các phương trình biểu đồ đơn.
Ưu điểm của phương pháp biểu đồ là có thể tính các đại lượng nhiệt động như một hàm liên tục của nhiệt độ K. Từ đó ta dễ dàng xác định được các cực trị của chúng. Sử dụng (2.24) ta cũng có thể tính được đạo hàm bậc nhất hay các bậc cao hơn của các đại lượng nhiệt động theo nhiệt độ. Ví dụ, đạo hàm của | |〈 〉 theo
K có dạng
| |〈 〉
= ( | | ) − | | )〈 〉 〈 〉〈 〉.
(2.25) Và đạo hàm bậc hai của nó là đơn giản
2〈| | 〉
= ( | |〈 2 〉 − | |〈 〉 〈 2 〉 ) − 2 〈 〉 | | 〈 〉
. (2.26)
Các đạo hàm bậc cao hơn cũng có thể tính nếu cần. Khi một hàm, như nhiệt dung riêng, đạt đến giá trị cực đại thì đạo hàm của nó theo nhiệt độ K là bằng 0. Việc xác định các đỉnh này có thể chuyển sang việc tìm nghiệm của một phương trình. Ví dụ, bằng việc sử dụng phương pháp Newton dưới dạng các hàm tương quan giao nhau với năng lượng E như là hàm liên tục của K đã được mơ tả ở trên. Q trình này có thể tự động tìm đỉnh của các hàm một cách nhanh chóng với độ chính xác cao.
2.2.2.2 Phương pháp biểu đồ kép.
Hầu hết phương pháp mô phỏng Monte Carlo đều sử dụng thuật tốn Metropolis để tạo cấu hình Spin mới ở nhiệt độ cho trước. Sau đó người ta tính tốn trung bình nhiệt động của các đại lượng quan sát được. Trong sự phát triển đáng ngạc nhiên gần đây, Ferrenberg và Swendson nhận ra là phương pháp này khơng sử dụng đầy đủ những dữ liệu có sẵn trong hàm phân bố thực của trạng thái đã thử. Họ đã phát triển những biểu đồ đơn của phương pháp Monte Carlo để tận dụng những lợi thế này nhằm thu nhận thêm thơng tin.
Khó khăn trong phương pháp biểu đồ đơn thực ra là do phân bố xác suất năng lượng khá hẹp tại mọi nhiệt độ . Điều này đã được cải thiện bằng phương pháp biểu đồ kép cũng được đưa ra bởi Ferrenberg và Swendson, trong đó dữ liệu thu được tại nhiều điểm nhiệt độ khác nhau kết hợp lại giúp cho hàm phân bố chính xác hơn các đại lượng quan sát được trên khoảng rộng của nhiệt độ.
Để nghiên cứu kỹ về phương pháp biểu đồ kép, chúng ta xét
Hamintonian cho trường hợp tổng quát có dạng : ( ) = 0( ) + ( )
(2.27)
Trong đó ( ) là toán tử năng lượng E hoặc là toán tử độ từ hóa M được xác định trên cấu hình spin{ } của hệ, và K là nhiệt độ. Hàm chia của hệ có thể được viết dưới dạng :
Z(K) = ∑σ exp[H(σ)] = ∑S W(s)[KS]
(2.28)
24
Xét R lần mô phỏng bằng phương pháp Monte- Carlo. Chúng ta thực hiện ℎ mô phỏng tại nhiệt độ rồi lưu lại dưới dạng biểu đồ. { ( )} là tổng số các giá trị { }. Bây giờ ta tính gần đúng của hàm chia:
(K)=∑ ( ) ( − ) ,
(2.29) Hàm chia gần đúng này và hàm chia thực liên hệ với nhau qua biểu thức :
̅̅̅̅̅
̅̅̅ (2.30)
( ) = ( )/ ( )
Ta lại có biểu thức tính năng lượng tự do
̅̅̅̅̅
̅̅̅ (2.31)
( ) − ( ) =( ) −.
Hàm mật độ trạng thái liên hệ đến biểu đồ:
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅ − (2.32)
( ) = ( )/
Trong đó, = ( ) là tham số bằng năng lượng tự do tại , và nó sẽ được tính bằng phương pháp tự hợp. Chúng ta thực hiện mô phỏng trên tập các giá trị{ | = 1, }, chúng ta có thể kết hợp chúng lại thành một biểu thức
dưới dạng tổng quát cho W(S)
W(S) = ∑R p (S)N
n(S)n−1efn−KnS (2.33)
n=1 n n
Với ∑R p (S) = 1 (2.34)
n=1 n
Nếu chúng ta thay thế các biểu đồ vào công thức (2.33) và cực tiểu sai số chúng ta tìm được : − = ∑ − =1 Nếu ta định nghĩa ( , ) = ( )
Ta thu được phương trình biểu đồ kép ∑ ( ) ( , ) = =1 ∑ =1 − ở đây = ∑ ( , ) (2.35) (2.36)
Giá trị trung bình của bất kỳ tốn tử nào của S cũng có thể tính được như là một hàm liên tịc theo K:
( ) ( ) = ∑ ( ) ( , )/ ( )
26 Trong đó
( ) = ∑ ( , )
Giá trị của được tính bằng phương pháp tự hợp của hai phương trình (2.36) và (2.37). Để tăng tốc độ hội tụ trong q trình tính lặp, ta sử dụng đạo hàm của giá trị mới theo giá trị cũ của nó.