Sở đồ giải bài toán động học ngược này là cơ sở cho việc nghiên cứu tính tốn về robot song song trong các phần sau của luận án.
2.4.1.1 Vấn đề sai số sau khi tích phân
Các giá trị q tính theo (2.5) chỉ thỏa mãn (2.4), sau khi tích phân theo thời gian có thể có những sai số tính tốn, tích lũy nên giá trị q thu được có thể sẽ khơng cịn thỏa mãn (2.1). Để khắc phục nhược điểm này, ta xét hàm sai số
e f(q,x)
trong trường hợp lý tưởng e 0. Đao hàm theo thời gian ta thu được.
e J x (q,x )x J q (q,x )q
Đưa vào hệ thức
e Ke
với K là ma trận xác định dương [84]. Ngoài ra, trong nghiên cứu này K còn được
chọn là ma trận đường chéo, kii i 0. Nghiệm của phương trình vi phân (2.8) có dạng
Như thế, nếu ban đầu ei (0) 0 ei (t ) 0 , còn nếu ei (0) 0 ei (t ) 0 khi thời gian
t đủ lớn.
Kết hợp (2.7) và (2.8) ta được
e J x (q,x )x J q (q,x )q Ke
Sử dụng ma trận nghịch đảo Jq 1 ta giải được véc tơ vận tốc suy rộng
q J q 1 (q,x ) J x (q,x )x Ke J q 1 (q,x ) J x (q,x )x K f(q,x)
Để tính véc tơ gia tốc suy rộng, ta chỉ việc đạo hàm biểu thức (2.10) theo thời gian. Theo cách này, ta sẽ thay phương trình (2.5) bằng phương trình (2.10) trong sơ đồ khối Hình 2.2.
2.4.1.2 Điều kiện đầu trong bài toán động học ngược của robot song song
Để nhận được q(t ) khi tích phân hàm q , ta cần phải có giá trị đầu ứng với vị trí ban đầu của khâu tác động cuối q 0 q( t0 ) . Phương pháp lặp Newton-Raphson có thể được sử dụng để tìm giá trị ban đầu này. Tuy nhiên, khi áp dụng phương pháp lặp này việc chọn giá trị xấp xỉ ban đầu là rất quan trọng. Nếu lựa chọn không tốt nghiệm sẽ hội tụ về một giá trị không mong muốn và có thể nằm ra ngồi giới hạn khớp. Trong luận án, thuật giải di truyền được sử dụng để giải quyết vấn đề này. Bài toán tối ưu được đặt ra như sau:
Tìm biến q0 thỏa mãn phương trình
và hàm bình phương khoảng cách sau đây đạt giá trị nhỏ nhất
S (q0 )
với ci 0 là các trọng số, qiM , qim
q
1
( q q ) là giá trị giữa của các biến khớp.
2
i iM im
Để giải bài toán trên bằng thuật giải di truyền, ta đưa bài tốn về dạng, tìm giá trị cực tiểu của hàm L(q0 ) với các trọng số dương 1 , 2 .
L (q
0
Thuật toán di truyền (GA - Genetic algorithm) là một thuật toán tối ưu hiệu quả đã được phát minh bởi John Holland trong những năm 1960 và được ơng cùng với các học trị và đồng nghiệp tại Đại học Michigan phát triển ở giai đoạn sau đó để giải quyết các bài toán tối ưu. Thuật toán di truyền thuộc lớp các thuật tốn tiến hóa,
trong đó các nghiệm của bài tốn tối ưu được tìm bằng cách sử dụng các kỹ thuật lấy cảm hứng từ sự tiến hóa tự nhiên, chẳng hạn như sinh sản, di truyền, đột biến, và chọn lọc [85]–[88]. Phương pháp này có khả năng giải quyết được một lớp lớn các bài toán tối ưu. Khi áp dụng thuật giải di truyền vào xác định giá trị tối ưu của hàm f (
x) với biến x X , các bước sau được thực hiện:
1. Tạo ngẫu nhiên một quần thể với 4n cá thể thuộc tập X , x i X,
i1, 2,..., 4n .
2. Đánh giá các cá thể thông qua hàm giá trị của nó, f (xi ) .
3. Thực hiện quá trình chọn lọc, chọn ra một nửa số cá thể tốt nhất;
4. Thực hiện quá trình sinh sản, ta cho mỗi cặp bố-mẹ sinh ra hai con, trong quá trình sinh sản này thế hệ con được kế thừa từ các gen từ bố mẹ, đồng thời sự đột biến sẽ xảy ra ở đây với một xác suất cho trước.
5. Sau quá trình sinh sản ta nhận được một quần thể mới với 4n .
6. Lặp lại bước (2) đến khi nhận được giá trị tối ưu chấp nhận được. Các bước trên được thể hiện dưới dạng sơ đồ khối như Hình 2.3
BẮT ĐẦU
Đặt số thế hệ lớn nhất;
Khởi tạo ngẫu nhiên một quần thể; k = 1.
Đánh giá hàm mục tiêu đối với mỗi có thể
Kiểm tra điều kiện dừng? Chọn lọc / Sinh sản Di truyền / Biến dị (Thế hệ mới) k = k + 1 es Đưa ra kết quả: cá thể tốt nhất và giá trị tốt nhất của hàm. KẾT THÚC
Hình 2.3: Sơ đồ khối thuật tốn GA
Trường hợp nếu nghiệm tìm được của bài tốn trên chưa đạt độ chính xác cần thiết, phương pháp lặp Newton-Raphson được sử dụng để thu được nghiệm chính xác hơn [5][89][90]. Quá trình lặp giải hệ phương trình (2.11) được thực hiện như sau:
Bước 1: Giải hệ phương trình đại số tuyến tính
J q (q 0 , x 0 ) q 0 f(q 0 , x0 )
cho ta
q 0 J q 1 (q 0 , x 0 )f(q 0 , x0 ) . Bước 2: Lấy
q 0 : q 0 q0 .
Bước 3: Kiểm tra điều kiện dừng
Nếu f(q 0 , x0 ) , với là sai số cho phép, thì chuyển sang bước 4, trái lại lấy q 0 :
q0 và chuyển về bước 1.
Bước 4: Lấy nghiệm chính xác hơn q 0 : q0 .
Trên đây là phương pháp giải bài toán động học ngược cho robot song song bằng phương pháp số. Đối với robot song song phẳng 3RRR, có thể sử dụng các đặc trưng hình học của robot để xây dựng lời giải bằng giải tích cho bài tốn này.
2.4.2 Giải bài toán động học ngược cho robot song song 3RRR bằng phương pháp giải tích
Bài tốn động học robot đóng vai trị quan trọng trong việc lập trình quỹ đạo và điều khiển chuyển động của robot theo chương trình. Bài tốn này địi hỏi cần được giải với độ chính xác và ổn định cao nhất có thể, đây cũng chính là mục tiêu hướng tới của rất nhiều cơng trình nghiên cứu [91]–[93]. Thơng thường với các robot song song, các bài toán động học được giải dựa trên việc giải trực tiếp hệ phương trình liên kết [23] [87]– [89]. Tuy nhiên, với robot song song phẳng ba bậc tự do 3RRR bài toán động học ngược có thể được giải ngắn gọn dựa trên quy trình chung như sau:
Khảo sát robot song song 3RRR (Hình 2.5) có các đặc điểm sau:
- Gốc ba chân của robot nằm trên ba đỉnh của một tam giác đều có chiều dài cạnh L0 .
- Bàn máy động có dạng tam giác đều, chiều dài cạnh .
- Các chân của robot có hình dáng và kích thước giống nhau với chiều dài các khâu lần lượt là l1 , l2 .
Bước 1: Tính tốn tọa độ của gốc và đỉnh của từng chân robot. Bước 2: Tính tốn góc nghiêng và độ dài của đường nối gốc và đỉnh
mỗi chân.
Bước 3: Tính tốn các biến phụ.
Bước 4: Đưa ra công thức xác định tọa độ suy rộng.
Với các giả thiết trên, ta có thể tính tốn được các thơng số cho nhóm robot bao gồm: tọa độ gốc và đỉnh của mỗi chân. Đây cũng là thông tin chung để thực hiện tính tốn số và mơ phỏng số cho các loại robot song song phẳng ba bậc tự do trong các phần sau.
Tọa độ gốc của từng chân robot:
xO1 0 , yO1 0 , xO2 L0 , yO 2 0 , xO3 L0 / 2 , yO3 3 L0 / 2
Tọa độ đỉnh của các chân được tính tốn dựa theo tọa độ tâm ( xP , yP ) và góc nghiêng của bàn máy động (Hình 2.4):
x Bi x P l Pi cos( i ); y Bi y P l Pi sin( i ) ,i = 1,2,3 (2.18) Robot song song phẳng 3RRR có biến khớp dẫn động q [ 1 , 2 , 3 ]T , các biến khớp phụ trợ b [ 1 , 2 , 3 ]T (Hình 2.4). Với các thơng số tọa gốc và đỉnh của mỗi chân đã biết theo cơng thức (2.17), (2.18), góc nghiêng và khoảng cách giữa đỉnh và gốc của chân robot được xác định dựa theo công thức sau:
ˆ
xOBi atan2( x Bi xOi , y Bi yOi ) , lOBi
Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác ta có:
ˆ Nếu Nếu (2.19) (2.20) (2.21)
Như thế, ứng với một vị trí của điểm Bi ta có hai nghiệm ứng với hai cấu hình của chân robot. Với robot phẳng ba chân ta có tổng số 2 3 8 cấu hình ứng với 8 bộ
nghiệm của bài tốn động học ngược. Vì vậy, ứng với một vị trí của bàn máy động xác định nằm trong không gian làm việc, ta có tám cấu hình khác nhau của robot.
Các cấu hình của robot được ký hiệu bằng chỉ số j 1 , 2 , 3 , trong đó j 1,..,8 , i 1 tương ứng với vị trí của chân robot ở bên trái hoặc bên phải so với
đường nối gốc và đỉnh của chân. Hướng quan sát từ đỉnh của trục zi (Hình 2.5). Mỗi cấu hình của robot có quỹ đạo kỳ dị động học thuận khác nhau. Các công thức giải động học ngược (2.19), (2.20) và (2.21) là cơ sở cho việc phân tích kỳ dị của robot 3RRR ở phần sau.
Oi
x
Hình 2.4: Sơ đồ một chân tổng quát
của robot 3RRR
O1
Hình 2.5: Sơ đồ các cấu hình c ủa robot 3RRR. Cấu hình thể hiện 8 1, 1, 1
2.4.3 Ước lượng động học cho robot song song
Trong luật điều khiển robot song song được trình bày ở các chương sau yêu cầu không chỉ các thông tin bao gồm không chỉ biến khớp chủ động q a , qa mà nó cịn
yêu cầu cả các biến phụ y , y , với q [ q1 , q2 ,..., qm ]T [q a T , yT ] . Để có các biến này cho phản hồi, địi hỏi phải trang bị thêm cho robot nhiều cảm biến khác nữa ngoài các encoder đo biến khớp chủ động. Để tránh sự tốn kém này, trong luận án đề xuất phương án ước lượng các biến cần đo này từ các phương trình liên kết động học. Phần này trình bày việc xây dựng bộ ước lượng đáp ứng yêu cầu trên.
Các phương trình liên kết động học ở mức vị trí được viết lại như sau
f (q ) f(q a , y) 0 .
Từ đây nhận được các phương trình liên kết ở mức vận tốc
Xét trường hợp khơng kỳ dị, từ phương trình trên ta giải được
y J y 1 (q )J qa (q )q a J y 1 (q )J qa (q )qa
Tích phân phương trình (2.24) với điều kiện đầu y(0)
lượng. Các giá trị y(t ) nhận được sau khi tích phân phương trình (2.24) có thể sẽ
khơng cịn thỏa mãn phương trình liên kết (2.22) do những sai số tích lũy khi tính tốn. Do sai số của phương trình liên kết nên hồn tồn có thể dẫn đến sự trơi dạt vị trí và vận tốc trong mơ phỏng số. Để loại bỏ sự trôi dạt này, kỹ thuật phản hồi sai số động học được sử dụng. Ý tưởng của phương pháp là thay vì giải tìm y từ phương
trình (2.23), ta sử dụng phương trình [84]
Khi đó phương trình (2.23) được hiệu chỉnh thành
f (q ) J q (q )q J qa (q a , y )q a J y (q a , y )y
Từ đây giải được
Trong phương trình (2.27) các ký hiệu yˆ
học được sử dụng để phân biệt với các biến trong tọa độ suy rộng của robot là y và
y thông thường nhận được từ phản hồi từ các thiết bị đo trên robot thực.
Tính
theo (2.27) 1/s
Hình 2.6: Sơ đồ bộ ước lượng động học
Lưu ý rằng, phương trình (2.25) tương đương với e Ke 0 , do đó với K có dạng đường chéo xác định dương thì nghiệm của nó có dạng ei (t ) ei (0) exp( kiit) . Hiển
nhiên là các nghiệm này sẽ hội tụ về không, tức là sai số của phương trình liên kết được đảm bảo hội tụ về không. Như thế các liên kết vẫn được đảm bảo mà không bị phá vỡ. Từ các cơ sở lý thuyết trên ta có sơ đồ ước lượng động học cho robot song song (Hình 2.6). Cơ sở về ước lượng động học cho robot song song này sẽ được áp dụng cho các mô phỏng số trong luận án ở các phần sau.
2.5 Phân tích kì dị động học robot song song 3RRR 2.5.1 Phương pháp xác định các cấu hình kỳ dị
Với nhóm robot tổng quát chúng ta có thể viết phương trình liên kết dưới dạng khử các biến phụ dựa trên độ dài khâu thứ hai của mỗi chân l2 . Phương trình liên kết được viết như sau:
Ba phương trình liên kết viết dưới dạng đại số
Ma trận Jacobi thu được bằng cách đạo hàm phương trình liên kết theo thời gian.
Đạo hàm theo thời gian phương trình liên kết (2.29) dưới dạng tổng quát ta nhận được
d dt
2(r
Nhận thấy, với phương pháp xây dựng phương trình liên kết dưới dạng khử biến phụ ta có thể dễ dàng nhận được ma trận Jacobi từ các biểu thức con fi1 và fi2 của phương trình (2.31) như sau: Đặt (r
B i
Thay biểu thức đạo hàm rB
f 2[ u
J x (2.32) (2.33) (2.34) 36
Cơng thức tính ma trận Jacobi Jq phụ thuộc vào các biến khớp chủ động nên sẽ được xác định cho từng trường hợp robot cụ thể.
Như vậy, với một số robot song song phẳng ba bậc tự do chúng ta có thể xác định kỳ dị cho robot theo các bước sau:
Bước 1: Xác định các biến phụ trong robot.
Bước 2: Xây dựng phương trình véc tơ dưới dạng khử biến phụ. Bước 3: Tính tốn ma trận Jacobi tương ứng.
Bước 4: Mô phỏng số xác định quỹ đạo kỳ dị.
Khảo sát robot song song phẳng 3RRR (Hình 2.4) với các biến khớp dẫn động
q [ 1 , 2 , 3 ]T và véc tơ vị trí và hướng của bàn máy động x [xP , yP , ]T . Ma trận Jacobi Jx có thể tính tốn theo cơng thức (2.34) với:
Do robot có l 2
f 2
i 2
Từ đây ta có cơng thức tổng qt của ma trận Jacobi Jq
(2.35)
(2.36)
J
q
Thực hiện mô phỏng số với các thông số của robot: L0
l2 0.623 , b 0.2, l P b 3 / 3]
máy động luôn không đổi 0 . Sử dụng các cơng thức (2.34) và (2.37) ta có thể xây dựng lên bản đồ kỳ dị động học ngược (Hình 2.7) và động học thuận với cấu hình 1 ( 1, 1, 1) (Hình 2.8).
[m
]
Y
Hình 2.7: Bản đồ kỳ dị động học ngược
Hình 2.8: Bản đồ kỳ dị động h ọc thuận tương ứng với cấu hình 1 ( 1, 1, 1)
Trong các hình trên biên giới làm việc là vị trí thuật tốn chỉ ra đó chính là quỹ tích các điểm gây ra kỳ dị động học ngược tương ứng với det(Jq ) 0 , và quỹ
tích các điểm kỳ dị động học thuận tương ứng với det(Jx ) 0 .
2.5.2 Giải pháp vượt kỳ dị trong phân tích động học robot song song
Khi đi vào vùng lân cận các điểm kỳ dị, robot song song gặp nhiều yếu tố bất lợi và đặc biệt là bộ điều khiển không được cung cấp thông tin đầy đủ do không thể nhận được dữ liệu từ lời giải động học do det(Jqa ) 0 . Do đó, để làm việc được trơn tru, robot song song cần một giải pháp vượt kỳ dị động học.
Phần này đề cấp đến trường hợp robot đi vào lân cận của vùng
tìm giá trị qa trực tiếp từ đạo
hàm của các phương trình liên kết.
Kết quả lời giải của các bài toán động học rất nhạy cảm với thay đổi nhỏ của ma trận Jacobi và nó khơng thể xác định tại vùng kỳ dị. Một giải pháp đưa ra để tìm được véc tơ qa là dựa trên
giá trị của thông số:
d det(Jqa )
Khi d tương ứng với việc robot đi vào vùng kỳ dị, trong trường hợp này chúng ta khơng thể tìm được véc tơ vận tốc khớp tương ứng với véc tơ vận tốc của bàn kẹp trong không gian thao tác. Để giải quyết vấn đề này, tại vùng kỳ dị bài toán động học ngược được chuyển sang dạng bài toán tối ưu. Trong đó, hàm mục tiêu được thiết lập tương ứng với việc tìm giá trị qa có chuẩn nhỏ và đồng thời sai lệch về vận tốc của khâu thao tác so với vận tốc yêu cầu cũng là nhỏ nhất:
38
min L(q a ) min (J qaq a b ) T (J qaq a b ) q a T
q a
Hình 2.9: Mơ tả các phân vùng khảo sát kỳ dị
Hàm cần cực tiểu hóa ở đây có hai thành phần: Thành phần thứ nhất là chuẩn của sai số giữa vận tốc khâu cuối cần thiết và tính tốn; Thành phần thứ hai là chuẩn của véc tơ vận tốc khớp; là trọng số thể hiện mối tương quan giữa sai số và chuẩn của véc tơ vận tốc khớp.
Thực hiện đạo hàm phương trình (2.39) theo biến qa thu được
L
Giải phương trình trên thu được
q a (J qaTJ qa E ) 1 J qaTb (J qaT J qa E ) 1J qaTJ x x (2. 40 ) (2. 41 )
Kết hợp với phản hồi sai số động học, lời giải của phương trình (2.40) trở
thành
q
a
Tham số được lựa chọn như sau:
- 0 tại điểm kỳ dị, d 0 ;
- 0 khi robot di chuyển xa vùng kỳ dị, d;
- 00 khi robot di chuyển trong vùng kỳ dị,d.
0
0 d
Hình 2.10: Biểu đồ thể hiện liên hệ tham số phụ thuộc vào d
Nhằm đảm bảo véc tơ qa thay đổi trơn tru trong vùng lân cận kỳ dị, tham số được chọn như là hàm của d điều này có nghĩa là ( d) . Trong nghiên cứu này, được chọn như sau: