(a) trường hợp0.1 (c) trường hợp0.001 (b)trường hợp0.01 (d) trường hợp 0.0001 Hình 2.15: Đồ thị vận tốc góc biến khớp chủ động Với các đồ thị về tọa độ suy rộng và vận tốc suy rộng có thể thấy, biến khớp chủ động của chân thứ nhất có sự thay đổi không được trơn như hai biến khớp còn lại do quỹ đạo của robot được thiết kế để tâm bàn máy động đi qua vị trí kỳ dị một lần trên một chu kỳ chuyển động. Tương ứng với chân thứ nhất duỗi thẳng. Tuy nhiên, mức độ biến động vẫn đảm bảo cho các thông số trong không gian thao tác là các đường cong trơn, điều này có nghĩa là việc di chuyển của robot trong không gian thao tác là trơn tru.
1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 43 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.20 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.20 0.02 0 -0.02 -0.04 0 (c) trường hợp 0.001 (d) trường hợp 0.0001
Hình 2.18: Đồ thị sai lệch bám quỹ đạo
Trong phần này, thuật toán vượt kỳ dị động học đã được đề xuất sử dụng cho robot song song. Qua kết quả mơ phỏng trên mơ hình robot song song phẳng 3RRR cho thấy, mỗi khi bàn máy động di chuyển qua điểm kỳ dị, biến khớp và giá trị đáp ứng của phương trình liên kết có biến động. Đây chính là kết quả của việc thay đổi phương pháp tính tốn khi bàn máy động di chuyển vào vùng lân cận của kỳ dị. Tuy nhiên, sai lệch đáp ứng vẫn đủ nhỏ để đảm bảo hoạt động trơn tru liên tục của robot.
với các giá trị khác nhau của cũng cho thấy, khi giá trị
quá bé thì đường cong vận tốc chuyển tiếp tại các điểm kỳ dị có sự thay đổi lớn. Độ lớn của để khoanh vùng kỳ dị sẽ được người lập trình khảo sát và lựa chọn cho phù hợp với từng loại robot. Với mô phỏng được thực hiện trong luận án giá trị này nên chọn trong khoảng 0.001 0.0001 đã đủ đảm bảo di chuyển trơn tru cho robot.
2.6 Kết luận chương 2
Phân tích động học trên robot giúp chuyển đổi thông tin từ không gian thao tác sang không gian khớp và ngược lại. Trong phần này, bài tốn phân tích động học tổng quát cho robot song song phẳng ba bậc tự do 3RRR dưới dạng giải tích đã được tác giả tập trung nghiên cứu. Với các điểm kỳ dị, xác định kỳ dị và vượt kỳ dị động học bằng thuật toán đề xuất đã được tác giả chứng minh tính hiệu quả thơng qua các kết quả mô phỏng số. Với cơ sở lý thuyết vượt kỳ dị động học này, robot song song có thể dễ dàng đi qua các điểm kỳ dị và vùng lân cận kỳ dị một cách trơn tru, tránh những tác động có hại ảnh hưởng đến robot. Ngoài ra, giải pháp ước lượng động học cũng đã được trình bày nhằm hỗ trợ các trường hợp khi robot khó có thể bố trí cảm biến đo lường các biến khớp phụ thuộc. Các nội dung nghiên cứu đã giải quyết nhiều vấn đề để phục vụ nâng cao chất lượng điều khiển trong các phần sau. Nội dung tiếp theo sẽ nghiên cứu về động lực học robot song song.
Các nội dung trình bày trong chương này đã được tác giả công bố trong các bài báo khoa học số 1, 6, 7, 8 trong “Danh mục các cơng trình đã cơng bố của luận án”.
CHƯƠNG 3:
ĐỘNG LỰC HỌC ROBOT SONG SONG CÓ KỂ ĐẾN HỆ DẪN ĐỘNG
3.1 Mở đầu
Mơ phỏng động lực các hệ nhiều vật có quan hệ chặt chẽ với việc thiết lập các phương trình chuyển động và phương pháp giải các phương trình này. Đối với các cơ hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vòng như cơ cấu hay robot song song, các tọa độ suy rộng dư thường được sử dụng kết hợp với các nhân tử Lagrange cho ta một hệ phương trình vi phân đại số. Việc mô phỏng số các cơ hệ nhiều vật có cấu trúc mạch vịng đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả [14] [98]. Theo đó các đối tượng nghiên cứu được coi như là tổng hợp của nhiều vật rắn liên kết với nhau thành vịng kín. Tuy nhiên, với mỗi bậc tự do của robot song song chúng ta cần sử dụng một nguồn dẫn động độc lập. Sự ảnh hưởng của chúng được mơ tả trong mơ hình động lực học của hệ vẫn chưa được nghiên cứu đầy đủ. Trong phần này trình bày việc mơ hình hóa robot song song có tính đến ảnh hưởng của cơ cấu chấp hành (động cơ điện một chiều) được mơ tả trong mơ hình động lực học của robot song song. Trong đó, phương trình Lagrange dạng nhân tử được sử dụng để thiết lập phương trình vi phân chuyển động cho robot song song. Đối với các bộ truyền động các phương trình được thiết lập từ quan hệ động học và điều kiện cân bằng công suất. Đối với các động cơ DC các phương trình cơ và điện được thiết lập dựa trên định lý mô men động lượng và định luật Kirchhoff về tổng điện áp trong một mạch vịng, trong đó tương tác cơ - điện được đề cập tới.
3.2 Mơ hình động lực học của robot song song có kể đến hệ dẫn động
Với các robot công nghiệp, mỗi khớp đều được dẫn động độc lập bởi động cơ điện. Thơng thường đó là động cơ điện một chiều kết hợp với hộp giảm tốc nhằm khuếch đại mô men dẫn động (Hình 3.1). Việc đưa các đối tượng này vào mơ hình động lực của robot làm cho mơ hình mơ tả sát với thực tế hơn.
Phần này trình bày việc xây dựng mơ hình động lực học cho robot song song dẫn động bằng động cơ điện một chiều (Động cơ DC). Xét robot song song đủ dẫn động n bậc tự do được dẫn động bằng n động cơ. Để thiết lập phương trình động lực cho robot song song, phương pháp tách cấu trúc được kết hợp với phương trình Lagrange dạng nhân tử được áp dụng. Trước hết, robot được tách thành 3 dạng cấu trúc: hệ nhiều vật cấu trúc mạch vòng, các bộ truyền động, và các động cơ dẫn động.
Hình 3.1: Mơ hình dẫn động một khớp của robot
3.2.1 Mơ hình động lực học của hệ dẫn động
Hình 3.2: Mơ hình dẫn động của động cơ điện một chiều
Để thực hiện mơ hình hóa hệ dẫn động, động cơ điện một chiều được biểu diễn bằng mạch điện bao gồm điện trở kết nối với cuộn cảm tạo ra từ trường tác động lên rotor tạo nên chuyển động cho hộp giảm tốc (Hình 3.2). Ngồi ra, hệ này cịn có các thơng số ảnh hưởng khác được thể hiện chi tiết trong Bảng 3.1.
Bảng 3.1: Các tọa độ suy rộng và ký hiệu
TT Ký hiệu 1 q [ 1 , 2 ,..., n ]T :qa 2 y [ 1 , 2 ,..., l ]T 3 x [ x1 , x2 ,..., xn ]T 4 qm [ m1 , m 2 ,..., mn ]T 5 p [ bT , xT ]T 6 q [q T , bT , xT ]T
8 2 [ 2,1 , 2,2 ,..., 2,n ]T 9 1 [ 1,1 , 1,2 ,..., 1,n ]T 10 0 [ 0,1 , 0,2 ,..., 0,n ]T 11 rg rg , i i / m , i ,i 1,2,...,n 12 Jm diag ( J m ,1 , J m ,2 ,..., Jm ,n ) 13 La diag ( La ,1 , La ,2 ,..., La ,n ) 14 Ra diag ( Ra ,1 , Ra ,2 ,..., Ra ,n ) 15 Ke diag ( K e ,1 , K e ,2 ,..., Ke ,n ) 16 Km diag ( K m ,1 , K m ,2 ,..., Km ,n ) 17 u [U 1 , U 2 ,..., Un ]T
18 i [i1 ,i2 ,...,in ]T
19 Dm diag (b1 ,b2 ,...,bn )
Bỏ qua khối lượng và tổn thất công suất của bộ truyền, ta viết được các phương trình liên hệ sau:
rg qa rg q m ,
Động lực học hệ dẫn động (động cơ DC) được mơ tả bằng các phương trình cơ và phương trình điện. Áp dụng định lý mô men động lượng đối với rô to ta được:
I m m Dm m 0
Hình 3.3: Sơ đồ mạch điện tổng quát của động cơ điện một chiều
Áp dụng định luật Kirchhoff đối với điện áp trong động cơ ta được: 48
adt a
Tương tác cơ điện trong động cơ DC được thể hiện bằng mối liên hệ giữa dịng điện và mơ men động cơ; giữa tốc độ động cơ và điện áp phản sức điện động như sau:
0
K i ,
m
Hệ các phương trình vi phân và đại số từ (3.9) đến (3.4) mô tả tương đối đầy đủ động lực học của robot song song dẫn động bởi động cơ DC với đầu vào là điện áp u đặt lên các động cơ và đầu ra là chuyển động của robot q(t ) , trong đó có chuyển động của bàn máy động.
3.2.2 Mơ hình động lực học robot song song có kể đến hệ dẫn động
3.2.2.1 Cơ sở xây dựng mơ hình
Với robot song song, các phương trình vi phân mơ tả động lực học của hệ và các phương trình đại số mô tả các liên kết đặt lên hệ. Khảo sát cơ hệ với n bậc tự do với các tọa độ suy rộng dư. Cần lưu ý rằng, so với việc sử dụng các tọa độ suy rộng tối thiểu các hệ sử dụng các tọa độ suy rộng dư cho phép dễ dàng hơn trong việc thiết lập phương trình vi phân chuyển động, và cũng thuận tiện hơn để mơ phỏng trên máy tính. Gọi q [ q1 , q2 ,..., qm ]T m n là véctơ tọa độ suy rộng dư. Việc thiết lập các phương
trình vi phân chuyển động cho các hệ này đã được trình bày trong rất nhiều các tài liệu tham khảo. Với các nhân tử Lagrange phương trình vi phân chuyển động cho hệ được viết ở dạng:
d dt
f(q ) 0
trong đó T 12 q T M (q )q là động năng hệ, M (q) là ma trận khối lượng có cỡ m m ;
P P(q) là biểu thức thế năng; véctơ Q là lực suy rộng của các lực điều khiển và
các lực không thế; véctơ [ 1 2 ... r ]T với cỡ r 1, r m n , chứa các nhân tử
Lagrange; véctơ f(q ) 0 , với f [f1 f2 ... fr ]T , chứa m n phương trình liên kết; và
J (q ) f / q với cỡ r m là ma trận Jacobi.
Như đã biết phương trình (3.5) có thể được viết lại thành [31]
M (q )q C (q , q )q Dq g (q ) = B 2 J qT (q) (3.6)
trong đó: Ma trận khối lượng M (q) được tính theo 49
n
i 1
Đó là ma trận đối xứng và xác định dương.
Với Q B 2 Dq , B là ma trận liên quan việc bố trí tín hiệu điều khiển và
2 là véctơ lực/ngẫu lực trong các khớp chủ động.
Ma trận ly tâm và Côriôlis C (q , q) được xác định theo công thức Christoffel [99] như sau:
C(q , q ) cij (q , q)
cij (q , q )
Tóm lại, đối với hệ nhiều vật cấu trúc mạch vịng phương trình vi phân chuyển động được viết ở dạng tọa độ suy rộng dư như sau:
M (q )q C (q , q )q Dq g (q ) B 2 J qT (q)
f(q ) 0
Ma trận C(q, q) tính theo (3.8) đảm bảo cho N = M (q ) 2C (q , q) là ma trận
phản đối xứng, một tính chất quan trọng cho thiết kế điều khiển.
Do hằng số thời gian điện nhỏ hơn hằng số thời gian cơ rất nhiều, nên ta có thể sử dụng xấp xỉ La d i / dt 0 khi t 0 , để đơn giản hóa hệ phương trình vi phân mơ tả hệ thống. Với sự xấp xỉ này từ phương trình (3.3) và (3.4) ta giải được các dịng điện
i R 1
a
sau đó thay vào phương trình (3.4) ta nhận được mơ men động cơ do cuộn dây tạo ra tác dụng lên rô-to:
0
K i K R 1
mm a
Thay (3.12) vào (3.2) ta nhận được phương trình vi phân chuyển động của rơ-to
I m m Dm m 0
I m m Dm m K m Ra 1 (u Ke m ) rg 1 2 hay
I m m (Dm K m Ra 1K e ) m K m Ra 1u rg 1 2
Thay m rgqa rg vào ta được phương trình trên ta nhận được
I r2q (D KR1K
m g a mm ae
Chú ý rằng, do ma trận B có dạng sau
B 0En n
m n ,n
nên việc nhân từ trái ma trận phương trình này:
B B
m n
khi đó phương trình (3.15) được viết lại thành
Thực hiện cộng hai phương trình (3.9) và (3.17) ta nhận được
M (q ) rg2 BI m B q C (q , q )qD B (Dm K m Ra 1K e ) rg2B q g (q) BK m Ra 1rg u J qT (q)
Để cho ngắn gọn ta đưa vào các ký hiệu
M s (q ) M (q ) rg2BI m B C s (q , q ) C (q , q)
Phương trình trên được viết lại thành
Cùng với các phương trình ràng buộc
f(q ) 0
Như thế, phương trình vi phân chuyển động của robot song song dẫn động bởi động cơ DC được mơ tả bởi hệ phương trình vi phân đại số (3.19) và (3.20). Các phương trình này sẽ được sử dụng để giải các bài toán động lực học thuận và ngược robot song song.
Do r2BI m B là ma trận hằng, nên việc tính tốn ma trận Côriolis
C s (q , q ) C (q , q) từ ma trận khối lượng M s (q) hay M (q) là như nhau, và tính chất
phản đối xứng của ma trận N M s (q ) 2C s (q , q) vẫn được đảm bảo.
3.2.2.2 Mơ hình động lực của robot song song 3RRR
Khảo sát đối tượng nghiên cứu chính là robot song song đã được thể hiện trong mục 1.5. Trong phần này trình bày về việc xây dựng mơ hình động lực cho robot. Vì loại robot này có ba chân giữ vai trò ngang nhau nên chúng ta có thể xây dựng các phương trình tổng qt bao gồm phương trình liên kết (2.2) và các phương trình sau:
Tọa độ trọng tâm của các khâu tương ứng
xc1, i xo1,i l1, 2i cos( i ) y y o1,i c1, i x x c 2, i o1, i y c 2, i y o1, i
Ma trận quay tương ứng với các khâu của mỗi chân
cos( i )
R
1,i
Ten xơ quán tính I x1,i 0 I y 1,i I C 1, i
Áp dụng các công thức xây dựng mơ hình động lực đã trình bày ở phần trên ta thu được các ma trận trong mơ hình động lực tổng hợp của robot bao gồm:
Ma trận khối lượng
Ma trận khối lượng M ( q) được tính tốn dựa theo cơng thức (3.7), ta thu được kết quả như sau:
m I 11 c1 m I 14 c2 m I 22 c1 m I 25 c2 m I 33 c1 m I 36 c2 m I 41 c2 m52 I c2 14 m2 l22 1 2 m2 l1l2 cos( 2 ) ; m55 I c2 1 4 m2 l22 m63 I c2 1 4 m2 l22 1 2 m2 l1l2 cos( 3 ) ; m66 I c2 1 4 m2 l22 m77 m3 , m88 m3 , m99 Ic3 Các phần tử khác của ma trận bằng không. Ma trận ly tâm và Coriolis
Ma trận ly tâm và Coriolis C (q, q) được tính theo cơng thức (3.8) với kết quả như sau:
c 1 m l l sin( ) ; c 1 m l l sin( ) 1
m l l sin( )
c33 1
2 m2 l1l2 3 sin( 3 ) ; c36 12 m2 l1l2 3 sin( 3 ) 1
2 m2 l1l2 3 sin( 3 )
c41 1
2 m2 l1l2 1 sin( 1 ) ; c52 1 2 m2 l1l2 2 sin( 2 ) ; c63 12 m2 l1l2 3 sin( 3 ) Các phần tử khác của ma trận bằng không.
Ma trận cản nhớt
D diag ([ c, c, c, 0, 0, 0, 0, 0, 0]) trong đó: c là hệ số cản nhớt
Ma trận phân bố tín hiệu điều khiển
có kích thước [9 3] , trong đó có các phần tử B(1,1) 1 ; B(2, 2) 1;
B(3,3) 1, Các phần tử khác của ma trận bằng 0.
Ma trận g(q)
g(1,1) [ 1
m1l1 g cos( 1 ) m2 l1 g cos( 1 ) 1 m2 l2 g cos( 1 1 );
2 2 g(2,1) [ 1
m1l1 g cos( 2 ) m2 l1 g cos( 2 ) 1 m2 l 2 g cos( 2 2 ); 2 2 g(3,1) [ 1 m1l1 g cos( 3 ) m2 l1 g cos( 3 ) 1 m2 l2 g cos( 3 3 ); 2 2 1 2 22 1 1 1 g(5,1) m l g cos( ); 2 22 2 2 1 g(6,1) 2 m2 l 2 g cos( 33 ); g(7,1) 0; g(8,1) m3 g; g(9,1) 0; Ma trận Jacobi
Đạo hàm các phương trình liên kết ta có ma trận J q (q ) f/ q như sau:
J 11 l1 sin 1 l2 sin( 1 1 ) ; J 14 l 2 sin( 1 1 ) ; J 19 b sin(P1 ) ; Ma trận B
J 32 l1 sin 2 l2 sin( 2 2 ) ; J 35 l 2 sin( 2 2 ) ; J 39 b sin(P2 ) ; J 53 l1 sin 3 l2 sin( 3 3 ) ; J 56 l2 sin( 3 3 ) ; J 59 b sin(P3 ) ; J17 1; J28 1; J37 1; J48 1; J57 1; J68 1; Các phần tử khác của ma trận bằng 0.
Véc tơ nhân tử Lagrange
[ 1, 2, 3, 4, 5, 6]T
Như vậy, thay các đại lượng đã biết, ta đã xây dựng được hệ phân đại số mô tả chuyển động của robot 3RRR
M (q )q C (q , q )q Dq g (q ) B 2 J qT (q)
phương trình vi
(3.21)
3.2.2.3 Mơ hình động lực học hưởng của cơ cấu dẫn
của robot song song 3RRR có kể đến ảnh động
Thực hiện tính tốn mơ hình động lực của robot song song phẳng 3RRR có kể đến ảnh hưởng của cơ cấu dẫn động theo công thức (3.18) ta thu được kết quả các ma trận như sau: Ma trận khối lượng Ms [9 9] ms11 rg2 I r Ic1 Ic2 m2 l12 1 4 m1 l12 ; ms12 1 2 m2 l1 l2 cos 1 1 ; ms 21 ms12 ; ms 22 12 m2 l22 ; ms 33 rg2 I r Ic1 14 m1l12 m2 l12 ; ms 34 12 m2 l1 l2 cos 2 2 ; ms 43 ms34 ; ms 44 Ic2 14 m2 l22 ; ms 55 rg2 I r Ic1 14 m1l12 m2 l12 ; ms 56 12 m2 l1 l2 cos 3 3 ; 55
s65 s56
Các phần tử khác của ma trận bằng 0.
Với ma trận khối lượng sau tính tốn, thành phần rg2 Ir chính là phần ảnh hưởng của động lực học cơ cấu dẫn động được thiết lập trong mơ hình tổng thể.
Ma trận ly tâm và Coriolis
Ma trận ly tâm và Coriôlis C s (q , q )[9 9] C (q , q)[9 9]
Ma trận thể hiện sự phân bố tín hiệu điều khiển Bs[9 3]
bs11 bs 22 bs33 rKm Ra
Các phần tử khác của ma trận bằng không
Ma trận cản nhớt
Ma trận cản nhớt Ds có kích thước [9 9], với các phần tử được xác định như sau: d s11 d s 22 ds33 r2 KmKe
, các phần tử khác của ma trận bằng 0