chim đã phát hiện ra rằng một số loài thường tránh bay xuyên qua một vùng nước rộng lớn vì khơng khí thường bay từ đất liền ra vùng nước rộng vào ban ngày nên khi bay sẽ tốn nhiều sức hơn. Một con chim ở vị trí điểm A trên 1 hòn đảo cách điểm B trên đất liền 5 dặm (điểm gần nhất từ đất liền tới hòn đảo). Con chim bay tới điểm C trên bờ biển vào sau đó bay dọc từ bờ biển tới chỗ làm tổ ở D như chỉ ra ở hình phía dưới. Nó sử dụng 10 kcal/ dặm để bay trên bờ biển vào 14 kcal/ dặm để bay trên mặt biển. Hỏi:
a) Giả sử con chim bay 10 dặm trên biển, tính lượng kcal mà con chim đó phải sử dụng đến chỗ làm tổ?
b) Giải sử con chim có 170kcal năng lượng dự trữ. Con chim có đủ năng lượng dự trữ nếu bay thẳng từ A đến D khơng?
c) Điểm C ở vị trí nào thì con chim sử dụng vừa hết 170 kcal năng lượng dự trữ?
1 dặm (mile) = 1,609344 km
3. Học sinh thực hiện mơ hình hóa bài tốn thực tiễn
Mơ hình hóa ở đây chính là chuyển tất cả các dữ kiện của bài toán tương ứng với Sơ đồ hình vẽ giống đề bài.
Để giải quyết nội dung bài tốn thì phải tính được qng đường chim bay trên biển chính là đoạn AC và quãng đường chim bay trên đất liền chính là đoạn CD.
5. Học sinh giải quyết vấn đề của bài toán thực tiễn:
Lời giải:
a) Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABC :
Từ đó ta có:
Số năng lượng con chim cần để bay đến điểm D là:
b)Theo định lý Pytago, khoảng cách AD= dặm. Năng lượng con chim cần
tiêu thụ là: . Do đó con chim sẽ khơng đủ năng
lượng dự trữ để bay thẳng từ A đến D
c) Đặt Ta có hệ phương trình
Từ đó có , thay vào được phương trình bậc hai
Từ đó kết hợp với điều kiện ta có . Từ đó ta có: Vậy điểm C ở vị trí cách gần B 11,45 dặm.
6. Học sinh giải quyết vấn đề của bài toán thực tiễn
a) Lượng kcal mà con chim đó bay đến chỗ làm tổ
b) Con chim sẽ không đủ năng lượng dự trữ để bay thẳng từ A đến D c) Điểm C ở vị trí cách B 11,45 dặm
7. Giáo viên và học sinh đánh giá bài học
Đây là bài toán tổng hợp kết hợp giữa Đại số và Hình học và vận dụng các kiến thức của học sinh lớp 10 sau khi học xong phần giải phương trình hoặc hệ phương trình. Bài tốn này có thể hỏi thêm một câu hỏi khó hơn dành cho học sinh lớp 12 sau khi học xong phần khảo sát hàm số.
d) Tìm vị trí của điểm C trên đất liền sau cho lồi chim đó bay từ điểm A đến điểm D qua điểm C sao cho lồi chim đó tốn ít lượng kcal nhất ?
2.3.2. Một số bài toán thực tiễn
Nhiều vấn đề trong khoa học, kinh tế, tài chính, y tế và nhiều ngành khác có thể dùng đại số là một trong những cơng cụ hữu ích để giải. Sau đây là các bài tốn, mà tơi dùng phương trình như các mơ hình tốn học để giải quyết một số các vấn đề thực tế trong cuộc sống.
Trong một số lời giải ở đây: đã gộp một số thao tác quy trình ở trên.
Tiếp theo chúng tơi xin đưa ra một số bài toán tương tự và trong một số bài tốn có lời giải ở dưới đây: đã gộp một số thao tác quy trình ở trên.
Bài 2.3.2.1. Một nhà sản xuất nước giải khát quảng cáo “Nước cam hương vị
tự nhiên”, mặc dù trong đó chỉ chứa 5% nước cam nguyên chất. Một quy định mới của chính phủ để nước uống gọi là “tự nhiên” thì thức uống đó chứa ít nhất 10% nước ép trái cây. Hỏi nhà máy nước giải khát phải thêm vào bao nhiêu gallon nước cam nguyên chất vào 900 gallon “Nước cam hương vị tự nhiên” để phù hợp với quy định mới của chính phủ?
Lời giải:
Bây giờ chúng ta sẽ dịch ra theo ngơn ngữ tốn học đại số:
In Words In Algebra Lƣợng nƣớc cam nguyên chất đƣợc thêm vào
Lƣợng nƣớc nƣớc cam nguyên chất trong thùng đầu tiên (hình vẽ)
Lƣợng nƣớc nƣớc cam nguyên chất trong thùng thứ hai (hình vẽ)
Lƣợng nƣớc nƣớc cam nguyên chất trong thùng thứ ba (hỗn hợp) (hình vẽ) + =
Vậy nhà máy cần đổ thêm 50 gallon nước cam nguyên chất để thỏa mãn.
Bài 2.3.2.2. Đánh thuế thu nhập
Thuế là thu lợi ích cho xã hội, nhờ có nguồn thu nhập thuế mà người dân được hưởng nhiều lợi ích: khám chữa bệnh miễn phí; xây cơ sở hạ tầng như bệnh viện, cơng viên đường xá, cầu cống… Sau đây là mức thuế thu nhập cá nhân trính trên một người trong một năm. Một người có mức lương khơng lớn hơn 10 000$ / năm sẽ không bị đánh thuế thu nhập cá nhân. Một người có mức lương lớn hơn 10 000$ và không vượt quá 20 000$ sẽ bị đánh thuế thu
Lượng nước cam nguyên chất ở thùng thứ nhất Lượng nước cam nguyên chất ở thùng thứ hai Lượng nước cam nguyên chất ở thùng thứ ba
nhập 8% số lương của họ. Trên 20 000$ thì sẽ bị đánh thuế 15% lương và thu thêm 1600$ tiền phúc lợi xã hội.
a) Bạn An kiếm được một tháng 5000$/ năm, bạn Bình kiếm được 12 000$/ năm, bạn Cường kiếm được 25 000$/ năm, hỏi tiền thuế của các bạn đó là bao nhiêu?
b) Lập công thức hàm thuế với là số tiền. Vẽ biểu đồ biểu thị tiền
thuế thu nhập cá nhân tương ứng với hàm .
c) Xét mức lương của các bạn sau đây biết tiền thuế của họ:
Tên Đào Mai Trúc
Tiền thuế ($) 0 1000 2000
Từ đó em có nhận xét gì về mối quan hệ giữa tiền lương và mức thu nhập của một cá nhân tính theo một năm?
Lời giải:
a) Bạn An mới mức lương 5000$ < 10 000$/ năm nên ko phải đóng thuế Bạn Bình kiếm được: 12 000$/ năm, 10 000$ < 12 000$ < 20 000$ nên
thuế bạn Bình phải đóng là:
Bạn Cường kiếm được 25 000$/ năm, 25 000$ > 20 000$ nên số tiền thuế
bạn Cường phải đóng là: $
b) Cơng thức hàm thuế với là số tiền:
c) Dựa vào đồ thị ta thấy:
Xét mức lương của các bạn sau đây biết tiền thuế của họ:
Tên Đào Mai Trúc
Tiền thuế ($) 0 1000 2000 Mức lƣơng ($) Từ 0 đến 10 000$ 1000: 0.08 = 12 500 Khơng thể có giá trị này
Tiếp theo là một số bài toán liên quan nhiều đến đồ thị
Bài 2.3.2.3. Speeding Tickets In a certain state the maximum speed permitted
on freeways is 65 mi/h and the minimum is 40. The fine F for violating these limits is $15 for every mile above the maximum or below the minimum.
(a) Complete the expressions in the following piecewise defined function, where x is the speed at which you are driving.
(b) Find F(30), F(50),and F(75).
Ở một số vùng, vận tốc cao nhất trên đường là 65 km/h và thấp nhất là 40 km/h. Số tiền phạt F do vi phạm tốc độ là 15$ cho mỗi km vượt quá vận tốc tối đa hoặc vận tốc tối thiểu.
a) Hoàn thiện hàm số sau
b) Tìm giá trị F(30), F(75)
c) Câu trả lời ở phần b nói lên điều gì?
Lời giải:
a) Hoàn thiện hàm số sau
b)
c) Câu trả lời ở phần b) cho chúng ta thấy khi cùng đi với vận tốc 75km/h và 40km/h thì ta thấy mức phạt là như nhau. Và vận tốc càng tăng thì mức phạt càng đắt.
Bài 2.3.2.4. Thi chạy 100m. Ba người thi chạy hòan thành 100 m đua. Biểu
đồ ở dưới minh họa quãng đường chạy được của mỗi người là một hàm số của thời gian t. Diễn tả bằng lời đồ thị? Ai thắng trong cuộc thi? Điều gì đã xảy ra với người B?
Lời giải:
Biểu đồ trên cho ta thấy đây là cuộc thi đấu chạy đua quãng đường với độ dài 100 m. Cả ba người xuất phát cùng một lúc, cùng hướng về một điểm. Nhìn biểu đồ ta thấy người A chạy về đích đầu tiên và lùa người thắng cuộc vì thời gian ít nhất, người C về đích muộn nhất vì thời gian chạy lâu nhất mất hơn 20 giây.
Người B lúc đầu chạy rất nhanh nhưng đoạn sau thì lại bị trùng xuống cuối cùng người B bứt tốc nhưng vẫn không theo đuổi kịp người A, nên phải chấp nhận về vị trí thứ hai.
2.4. Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài tốn thực trong mơn Lƣợng giác giác
2.4.1: Luyện tập đồ thị hàm số
1. Giáo viên xác định những mục tiêu và năng lực cần đạt ở bài dạy
a. Về kiến thức:
- Nắm định nghĩa hàm số lượng giác
- Nắm tính tuần hồn và chu kỳ các hàm số lượng giác
b. Về kỹ năng:
- Tìm tập xác định, tập giá trị của của các hàm số lượng giác - Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác
2. Giáo viên thiết kết bài toán thực tiễn phục vụ cho mục tiêu ở trên là xét với bài toán với đồ thị hàm số
Bài 2.4.1: The beam from a lighthouse completes one rotation every two minutes. At time , the distance shown in the figure on the next page is
Where is measured in minutes and in
a) Find and
b) Sketch a graph of the function for
c) What happens to the distance as approaches ?
Bài 2.4.1. Một ngọn hải đăng hồn thành một vịng quay trong mỗi hai phút.
Tại thời điểm . Với khoảng cách như hình vẽ và tính bởi cơng thức:
Ở đó đo bởi đơn vị phút và đo bởi đơn vị
a) Tìm khoảng cách tại thời điểm 9 giây, 15 giây, 27 giây?
b) Trong khoảng bắt đầu từ 0 giây đến 30 giây khoảng cách sẽ thay đổi như thế nào? Minh họa?
c) Khoảng cách bằng bao nhiêu khi dần tới giá trị giây?
3. Học sinh thực hiện mơ hình hóa bài tốn thực tiễn
Sử dụng hình vẽ và kết hợp với đề bài để tìm ra cách tính khoảng cách
a) Để tính được khoảng cách thì ta thay các giá trị cụ thể của vào công thức
b) c) Dựa vào cách vẽ đồ thị hàm số ta sẽ nhận thấy được rõ nhất sự thay đổi của
5. Học sinh giải quyết bài toán:
Lời giải:
a) Đổi: ; ; ;
t (phút) 0,15 0,25 0,45
d(t) (m)
Vậy trong khoảng từ 0 đến 30 giây (1/2 phút) thì khoảng tăng lên rất nhanh
c) Khi dần đến giá trị 30 giây (1/2 phút) thì khoảng cách tiến dần đến giá trị
6. Học sinh giải quyết vấn đề của thực tiễn
a) Học sinh đã tính được các khoảng cách chiều dài tương ứng với mỗi thời gian tại các thời điểm như đề bài.
b) Để biết được khoảng cách thay đổi như thế nào thì đây chính là bài tốn chuyển về ý nghĩa của đồ thị trong thực tế.
c) Khi thời gian gần thời điểm đến lúc 30 giây (1/2 phút) thì khoảng cách tiến dần đến giá trị có nghĩa là chiều dài của vùng ánh sáng được chiếu đi rất xa vị trí ban đầu
7. Giáo viên và học sinh đánh giá bài học
Qua bài học này cho chúng ta luyện tập được về đồ thị hàm số , về cách vẽ đồ thị và nhìn vào đồ thị ta thấy sau mỗi khoảng thời gian là 30 giây (1/2 phút) thì đồ thị được lặp lại giống nhau, tức là chu kỳ ở đây là . Trên mỗi khoảng bằng chu kỳ thì thì khoảng lại bằng nhau có nghĩa là vị trí của đèn biển chiếu tại những vị trí đó giống nhau.
2.4.2. Luyện tập đồ thị hàm số
1. Giáo viên xác định những mục tiêu và năng lực cần đạt ở bài dạy
a. Về kiến thức:
- Nắm định nghĩa hàm số lượng giác
- Nắm tính tuần hồn và chu kỳ các hàm số lượng giác - Biết cách vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
b. Về kỹ năng:
- Tìm tập xác định, tập giá trị của của các hàm số lượng giác
2. Giáo viên thiết kết bài toán thực tiễn phục vụ cho mục tiêu ở trên là xét với bài toán với đồ thị hàm số
Bài 2.4.2: Length of a Shadow: On a day when the sun passes directly
overhead at noon, a six – foot – tall man casts a shadow of length
Where is measured in feet and is the number of hours since 6 a.m a) Find the length of the shadow at 8:00 a.m, noon, 2:00 p.m, and 5:45 p.m b) Sketch a graph of the function for .
c) From the graph determine the values of t at which the length of the shadow equals the man‟s height. To what time of day does each of these values correspond?
d) Explain what happens to the shadow as the time approaches 6 p.m (that, as )
Bài 2.4.2: Chiều dài bóng người: Trong một ngày, khi mặt trời đã quá đỉnh đầu vào buổi trưa, bóng của một người đàn ơng cao có chiều dài là:
Trong đó được tính theo đơn vị và là thời gian bắt đầu từ lúc 6:00 giờ sáng
a) Tìm chiều dài bóng của người đàn ông này tại thời điểm 8:00, 14:00, 17:45 b) Khi thời gian thay đổi trong khoảng 12 tiếng thì chiều dài bóng nắng của người đàn ông này sẽ thay đổi như thế nào? Minh họa bằng đồ thị?
c) Từ đồ thị của câu b) hãy xác định các giá trị của mà tại đó chiều dài của bóng bằng chiều cao của người đàn ông? Tương ứng với nó là các khoảng thời gian nào trong ngày?
d) Em hãy dự đốn điều gì xảy ra đối với bóng của người đàn ông tại thời điểm gần đến lúc 18:00
3. Học sinh thực hiện mơ hình hóa tốn học bài tốn thực tiễn
Từ nhìn hình vẽ và kết hợp với cơng thức tính chiều dài của bóng nắng , tại các thời điểm tương ứng như trong đề bài ta sẽ có được khoảng cách
4. Học sinh xây dựng chiến lƣợc giải dựa vào sự định hƣớng của giáo viên
a) Tính tại các thời điểm như trong đề bài.
b) Vẽ đồ thị để nhận thấy rõ nhất sự thay đổi chiều dài bóng của người đàn ông này.
c) Sử dụng đồ thị của câu b) tìm hồnh độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng
d) Sử dụng đồ thị dự đốn người bóng của người đàn ơng này tại thời điểm gần đến lúc 18:00
5. Học sinh giải quyết bài toán
a)
Thời điểm trong ngày 8:00 14:00 17:45
(giờ) 2 8 11,75
(m) b) Vẽ đồ thị
Ở đây chúng tôi sử dụng phần mềm Geometer‟s Sketchpad 5.0 Để biểu diễn đồ thị chính là hàm
Khi thời gian thay đổi từ ( ).
Từ lúc 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa thì chiều dài bóng nắng giảm dần Từ lúc 12 giờ trưa đến 18 giờ chiều thì chiều dài bóng nắng càng ngày càng tăng dần minh họa rõ nhất bằng đồ thị như ở trên
c) Từ đồ thị ta thấy đường thẳng chiều cao của người đàn ông là được biểu diễn bởi đường thẳng , cắt ở hai điểm là và
.
Vậy tại thời điểm 9 giờ sáng và 15 giờ chiều thì chiều dài bóng của người đàn ơng bằng chiều cao của người đàn ơng đó.
d) Khi gần đến 18 giờ chiều thì bóng của người đàn ơng đó có chiều dài tăng lên rất nhanh và tiến đến .
6. Học sinh giải quyết vấn đề của bài toán
c) Tại thời điểm 9 giờ sáng và 15 giờ chiều thì chiều dài bóng của người đàn ơng bằng chiều cao của người đàn ơng đó.
d) Chiều dài bóng của người đàn ơng đó rất dài.
7. Giáo viên và học sinh đánh giá bài học
Qua bài học này cho chúng ta thấy được mối quan hệ về chiều dài bóng nắng và hàm số , quan hệ giữa thời gian và chiều dài của bóng người đàn ơng này.