đồ ở dưới minh họa quãng đường chạy được của mỗi người là một hàm số của thời gian t. Diễn tả bằng lời đồ thị? Ai thắng trong cuộc thi? Điều gì đã xảy ra với người B?
Lời giải:
Biểu đồ trên cho ta thấy đây là cuộc thi đấu chạy đua quãng đường với độ dài 100 m. Cả ba người xuất phát cùng một lúc, cùng hướng về một điểm. Nhìn biểu đồ ta thấy người A chạy về đích đầu tiên và lùa người thắng cuộc vì thời gian ít nhất, người C về đích muộn nhất vì thời gian chạy lâu nhất mất hơn 20 giây.
Người B lúc đầu chạy rất nhanh nhưng đoạn sau thì lại bị trùng xuống cuối cùng người B bứt tốc nhưng vẫn không theo đuổi kịp người A, nên phải chấp nhận về vị trí thứ hai.
2.4. Thiết kế và tổ chức dạy học với các bài tốn thực trong mơn Lƣợng giác giác
2.4.1: Luyện tập đồ thị hàm số
1. Giáo viên xác định những mục tiêu và năng lực cần đạt ở bài dạy
a. Về kiến thức:
- Nắm định nghĩa hàm số lượng giác
- Nắm tính tuần hồn và chu kỳ các hàm số lượng giác
b. Về kỹ năng:
- Tìm tập xác định, tập giá trị của của các hàm số lượng giác - Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác
2. Giáo viên thiết kết bài toán thực tiễn phục vụ cho mục tiêu ở trên là xét với bài toán với đồ thị hàm số
Bài 2.4.1: The beam from a lighthouse completes one rotation every two minutes. At time , the distance shown in the figure on the next page is
Where is measured in minutes and in
a) Find and
b) Sketch a graph of the function for
c) What happens to the distance as approaches ?
Bài 2.4.1. Một ngọn hải đăng hồn thành một vịng quay trong mỗi hai phút.
Tại thời điểm . Với khoảng cách như hình vẽ và tính bởi cơng thức:
Ở đó đo bởi đơn vị phút và đo bởi đơn vị
a) Tìm khoảng cách tại thời điểm 9 giây, 15 giây, 27 giây?
b) Trong khoảng bắt đầu từ 0 giây đến 30 giây khoảng cách sẽ thay đổi như thế nào? Minh họa?
c) Khoảng cách bằng bao nhiêu khi dần tới giá trị giây?
3. Học sinh thực hiện mơ hình hóa bài tốn thực tiễn
Sử dụng hình vẽ và kết hợp với đề bài để tìm ra cách tính khoảng cách
a) Để tính được khoảng cách thì ta thay các giá trị cụ thể của vào công thức
b) c) Dựa vào cách vẽ đồ thị hàm số ta sẽ nhận thấy được rõ nhất sự thay đổi của
5. Học sinh giải quyết bài toán:
Lời giải:
a) Đổi: ; ; ;
t (phút) 0,15 0,25 0,45
d(t) (m)
Vậy trong khoảng từ 0 đến 30 giây (1/2 phút) thì khoảng tăng lên rất nhanh
c) Khi dần đến giá trị 30 giây (1/2 phút) thì khoảng cách tiến dần đến giá trị
6. Học sinh giải quyết vấn đề của thực tiễn
a) Học sinh đã tính được các khoảng cách chiều dài tương ứng với mỗi thời gian tại các thời điểm như đề bài.
b) Để biết được khoảng cách thay đổi như thế nào thì đây chính là bài toán chuyển về ý nghĩa của đồ thị trong thực tế.
c) Khi thời gian gần thời điểm đến lúc 30 giây (1/2 phút) thì khoảng cách tiến dần đến giá trị có nghĩa là chiều dài của vùng ánh sáng được chiếu đi rất xa vị trí ban đầu
7. Giáo viên và học sinh đánh giá bài học
Qua bài học này cho chúng ta luyện tập được về đồ thị hàm số , về cách vẽ đồ thị và nhìn vào đồ thị ta thấy sau mỗi khoảng thời gian là 30 giây (1/2 phút) thì đồ thị được lặp lại giống nhau, tức là chu kỳ ở đây là . Trên mỗi khoảng bằng chu kỳ thì thì khoảng lại bằng nhau có nghĩa là vị trí của đèn biển chiếu tại những vị trí đó giống nhau.
2.4.2. Luyện tập đồ thị hàm số
1. Giáo viên xác định những mục tiêu và năng lực cần đạt ở bài dạy
a. Về kiến thức:
- Nắm định nghĩa hàm số lượng giác
- Nắm tính tuần hồn và chu kỳ các hàm số lượng giác - Biết cách vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
b. Về kỹ năng:
- Tìm tập xác định, tập giá trị của của các hàm số lượng giác
2. Giáo viên thiết kết bài toán thực tiễn phục vụ cho mục tiêu ở trên là xét với bài toán với đồ thị hàm số
Bài 2.4.2: Length of a Shadow: On a day when the sun passes directly
overhead at noon, a six – foot – tall man casts a shadow of length
Where is measured in feet and is the number of hours since 6 a.m a) Find the length of the shadow at 8:00 a.m, noon, 2:00 p.m, and 5:45 p.m b) Sketch a graph of the function for .
c) From the graph determine the values of t at which the length of the shadow equals the man‟s height. To what time of day does each of these values correspond?
d) Explain what happens to the shadow as the time approaches 6 p.m (that, as )
Bài 2.4.2: Chiều dài bóng người: Trong một ngày, khi mặt trời đã quá đỉnh đầu vào buổi trưa, bóng của một người đàn ơng cao có chiều dài là:
Trong đó được tính theo đơn vị và là thời gian bắt đầu từ lúc 6:00 giờ sáng
a) Tìm chiều dài bóng của người đàn ông này tại thời điểm 8:00, 14:00, 17:45 b) Khi thời gian thay đổi trong khoảng 12 tiếng thì chiều dài bóng nắng của người đàn ông này sẽ thay đổi như thế nào? Minh họa bằng đồ thị?
c) Từ đồ thị của câu b) hãy xác định các giá trị của mà tại đó chiều dài của bóng bằng chiều cao của người đàn ông? Tương ứng với nó là các khoảng thời gian nào trong ngày?
d) Em hãy dự đốn điều gì xảy ra đối với bóng của người đàn ông tại thời điểm gần đến lúc 18:00
3. Học sinh thực hiện mơ hình hóa tốn học bài tốn thực tiễn
Từ nhìn hình vẽ và kết hợp với cơng thức tính chiều dài của bóng nắng , tại các thời điểm tương ứng như trong đề bài ta sẽ có được khoảng cách
4. Học sinh xây dựng chiến lƣợc giải dựa vào sự định hƣớng của giáo viên
a) Tính tại các thời điểm như trong đề bài.
b) Vẽ đồ thị để nhận thấy rõ nhất sự thay đổi chiều dài bóng của người đàn ông này.
c) Sử dụng đồ thị của câu b) tìm hồnh độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng
d) Sử dụng đồ thị dự đốn người bóng của người đàn ơng này tại thời điểm gần đến lúc 18:00
5. Học sinh giải quyết bài toán
a)
Thời điểm trong ngày 8:00 14:00 17:45
(giờ) 2 8 11,75
(m) b) Vẽ đồ thị
Ở đây chúng tôi sử dụng phần mềm Geometer‟s Sketchpad 5.0 Để biểu diễn đồ thị chính là hàm
Khi thời gian thay đổi từ ( ).
Từ lúc 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa thì chiều dài bóng nắng giảm dần Từ lúc 12 giờ trưa đến 18 giờ chiều thì chiều dài bóng nắng càng ngày càng tăng dần minh họa rõ nhất bằng đồ thị như ở trên
c) Từ đồ thị ta thấy đường thẳng chiều cao của người đàn ông là được biểu diễn bởi đường thẳng , cắt ở hai điểm là và
.
Vậy tại thời điểm 9 giờ sáng và 15 giờ chiều thì chiều dài bóng của người đàn ơng bằng chiều cao của người đàn ơng đó.
d) Khi gần đến 18 giờ chiều thì bóng của người đàn ơng đó có chiều dài tăng lên rất nhanh và tiến đến .
6. Học sinh giải quyết vấn đề của bài toán
c) Tại thời điểm 9 giờ sáng và 15 giờ chiều thì chiều dài bóng của người đàn ơng bằng chiều cao của người đàn ơng đó.
d) Chiều dài bóng của người đàn ơng đó rất dài.
7. Giáo viên và học sinh đánh giá bài học
Qua bài học này cho chúng ta thấy được mối quan hệ về chiều dài bóng nắng và hàm số , quan hệ giữa thời gian và chiều dài của bóng người đàn ơng này.
Chiều dài bóng nắng của người đàn ơng này đối xứng nhau qua các thời điểm 12:00 giờ trưa ( ) được thể hiện bằng đồ thị.
Trong câu hỏi c) để tìm các thời điểm để chiều dài bóng người đàn ơng này bằng chiều cao của người đàn ơng đó thì ta có thể giải phương trình:
( )
Giải ra ta được hoặc .
2.5. Một số bài toán thực tiễn luyện tập
2.5.1. Fencing a Field
Consider the following problem: A farmer has 2400 ft of fencing and wants to fence off a rectangular field that borders a straight river. He does not need a fence along the river (see the figure). What are the dimensions of the field of largest area that he can fence?
(a) Experiment with the problem by drawing several diagrams illustrating the situation. Calculate the area of each configuration, and use your results to estimate the dimensions of the largest possible field.
(b) Find a function that models the area of the field in terms of one of its sides.
(c) Use your model to solve the problem, and compare with your answer to part (a).
Bài 2.5.1. Lập hàng rào nông trại.
Bạn hãy xem xét vấn đề sau: Một nông dân có 2400 ft hàng rào và muốn rào một mảnh đất hình chữ nhật kề với 1 dịng sơng. Ơng ta khơng cần xây rào dọc theo sơng (hình vẽ). Tính các số đo của mảnh vườn có diện tích lớn nhất mà ơng ta có thể xây rào.
a. Làm các thí nghiệm bằng cách vẽ nhiều giản đồ biểu diễn trường hợp. Tính diện tích mỗi trường hợp và dùng kết quả đó để ước lượng các kích thước của mảnh vườn lớn nhất có thể.
b. Dùng 1 hàm số để biểu diễn diện tích của mảnh vườn theo 1 cạnh. c. Dùng mơ hình để giải quyết vấn đề, so sánh kết quả với phần a.
2.5.2. Fencing a Garden Plot
A property owner wants to fence a garden plot adjacent to a road, as shown in the figure. The fencing next to the road must be sturdier and costs $5 per foot, but the other fencing costs just $3 per foot. The garden is to have an area of .
(a) Find a function that models the cost of fencing the garden. (b) Find the garden dimensions that minimize the cost of fencing.
(c) If the owner has at most $600 to spend on fencing, find the range of lengths he can fence along the road.
Bài 2.5.2. Lập hàng rào khu vườn
Một người chủ muốn xây rào quanh khu vườn bên đường (hình vẽ). Hàng rào ngăn với đường phải dày hơn và tốn $5/foot, nhưng phần rào cịn lại chỉ tốn $3/foot. Khu vườn có diện tích 1200 .
a. Tìm hàm số biểu diễn giá tiền để xây rào cho khu vườn. b. Tìm các kích thước của khu vườn để tốn ít tiền xây rào nhất.
c. Nếu người chủ có tối đa 600$ để xây rào, hãy tìm khoảng giá trị của chiều dài hàng rào ngăn với đường.
2.5.3. Light from a Window
A Norman window has the shape of a rectangle surmounted by a semicircle, as shown in the figure. A Norman window with perimeter 30 ft is to be constructed.
(a) Find a function that models the area of the window.
(b) Find the dimensions of the window that admits the greatest amount of light.
Bài 2.5.3. Ánh sáng từ cửa sổ.
Một cửa sổ nhà Norman có hình dạng một hình chữ nhật xếp dưới nửa hình trịn (hình vẽ). Phải xây một của sổ nhà Norman có chu vi 30 ft.
a. Tìm hàm số biểu diễn diện tích của cửa sổ.
2.5.4. Biodiversity
Some biologists model the number of species S in a fixed area A (such
as an island) by the Species-Area relationship
where c and k are positive constants that depend on the type of species and habitat.
(a) Solve the equation for S.
(b) Use part (a) to show that if k = 3 then doubling the area increases
Bài 2.5.4. Đa dang sinh học
Một số nhà sinh vật học biểu diễn số lượng loài là trên một diện tích là (ví dụ như một hịn đảo) bằng mối quan hệ Số lượng - Diện tích
Ở đó và là những hằng số dương tùy thuộc vào lồi sinh vật và loại mơi trường.
a. Giải phương trình
b. Sử dụng câu (a) để chứng tỏ rằng nếu thì khi diện tích nhân đơi sẽ tăng số lượng lồi lên 8 lần.
2.5.5. Transparency of a Lake
Logarithmic equations are used in determining the amount of light that reaches various depths in a lake. (This information helps biologists determine the types of life a lake can support.) As light passes through water (or other transparent materials such as glass or lastic), some of the light is absorbed. It‟s easy to see that the murkier the water the more light is absorbed. The exact relationship between light absorption and the distance light travels in a material is described in the next example.
If and I denote the intensity of light before and after going through a material and x is the distance (in feet) the light travels in the material, then according to the Beer-Lambert Law
where k is a constant depending on the type of material. (a) Solve the equation for I.
(b) For a certain lake and the light intensity is lumens (lm). Find the light intensity at a depth of 20 ft.
Bài 2.5.5. Phương trình Logarith được dùng để xác định lượng ánh sáng ở
những độ sâu khác nhau dưới một cái hồ. (Điều này giúp các nhà sinh vật học xác định được những loại hình sinh tồn mà hồ hỗ trợ). Khi ánh sáng đi xuyên qua nước (hoặc một vật liệu trong suốt nào đó như thủy tinh hoặc lastic) một phần bị hấp thụ. Dễ dàng thấy rằng nước càng đục thì càng nhiều ánh sáng bị hấp thụ. Mối tương quan giữa sự hấp thụ ánh sáng và quãng đường ánh sáng xuyên qua một mơi trường vật chất được minh họa qua ví dụ sau.
Nếu và I là kí hiệu cường độ ánh sáng trước và sau khi đi qua môi
trường vật chất và x là quãng đường (tính theo feet) ánh sáng đi qua mơi trường vật chất thì theo luật Beer-Lambert
Trong đó k khơng đổi (chỉ phụ thuộc bản chất mỗi mơi trường). a. Giải phương trình theo I
b. Một hồ có k=0.025 và cường độ ánh sáng là lumens (lm). Tìm cường độ ánh sáng ở độ sâu 20 ft.
Kết luận chƣơng 2
Trong chương 2 này, chúng tôi đã xây dựng nên một số bài toán thực tiễn về các chủ đề Đại số, Hình học, Lượng giác theo các quy trình: Giáo viên xác định mục tiêu và năng lực cần đạt được ở bài dạy, giáo viên thiết kế các bài toán tương ứng, học sinh thực hiện mơ hình hóa Tốn học bài toán thực tiễn, học sinh xây dựng chiến lược giải quyết bài toán, học sinh giải quyết bài toán và chuyển về lời giải của bài toán thực tiễn, giáo viên và học sinh đánh giá bài học. Đối với các bài tốn, chúng tơi thiết kế bài giảng và tổ chức dạy học với các bài toán theo định hướng phát triển năng lực của học sinh.
Trong chương này, chúng tôi đã thiết kết 2 bài giảng: Hệ thức lượng trong tam giác – Định lý hàm số cos – Định lý hàm số sin và 8 bài toán thực tiễn, và 5 bài toán thực tiễn luyện tập với tiêu chí rèn luyện và phát triển năng lực giải quyết vẫn đề của thực tiễn. Các bài toán này gần gũi với cuộc sống thực tiễn và gắn liền với bài giảng trên lớp.
CHƢƠNG 3
THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1. Mục đích thực nghiệm
Đánh giá năng lực giải quyết vấn đề của các bài toán thực tiễn cho học sinh, từ đó cần chú trọng phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn
3.2. Nội dung thực nghiệm
Bài toán lớp 12 Anh 1 trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam
1. Giáo viên xác định những mục tiêu và năng lực cần đạt đƣợc ở bài dạy
a) Về kiến thức: Giúp học sinh :
Nắm vững định nghĩa về mặt trụ, hình trụ, khối trụ.
Nắm được cơng thức tính diện tích xung quanh của hình trụ, thể tích khối trụ.
Hình ảnh thực thế của hình trụ ngồi đời sống thật.
b) Về kĩ năng: Giúp học sinh
Biết cách vẽ hình