Năng lực hiểu vấn đề

1.4. Các thành tố năng lực GQVĐ của học sinh trong học Toán THPT

1.4.1. Năng lực hiểu vấn đề

Năng lực hiểu vấn đề gồm các năng lực thành phần: nhận diện vấn đề, hiểu ngôn ngữ diễn đạt của vấn đề, tốn học hóa vấn đề.

1.4.1.1. Năng lực nhận diện vấn đề

Nhận diện vấn đề là học sinh nhận ra bài tốn đó đối với mình có phải là vấn đề hay khơng. Nếu là vấn đề thì nó thuộc dạng nào (bài tốn chứng minh, bài tốn tìm tịi, bài tốn tính tốn,...). Sau khi đã nhận dạng học sinh phải nghiên cứu kĩ, nêu được dữ kiện (giả thiết), yêu cầu (kết luận) của vấn đề, vẽ hình, viết điều kiện dưới dạng cơng thức (nếu cần). Biết tóm tắt vấn đề (đơi khi dùng hình vẽ, mơ hình).

Ví dụ 1.3. a) Chứng minh rằng phương trình sau nghiệm đúng mọi số thực x

4sin .sin .sin sin 3 .

3 3

x  x  x x

  

   

    (1.2)

Hiển nhiên bài tốn này là một tình huống có vấn đề vì chưa có quy tắc nào có tính chất thuật tốn để chứng minh ngay được bài toán, nhưng nếu học sinh vận dụng một số công thức biến đổi (tích thành tổng, cơng thức cộng, cơng thức góc nhân 3,...) thì sẽ đem lại kết quả.

Việc chứng minh phương trình nghiệm đúng với mọi x, thực chất là việc chỉ ra đẳng thức vế trái (1.2) = vế phải (1.2), với mọi x. Ta có thể chứng minh bằng cách biến đổi vế trái thành vế phải; hoặc biến đổi vế phải thành vế trái; hoặc chứng minh qua trung gian, tức biến đổi vế trái và vế phải về cùng một biểu thức nào đó.

Giáo viên gợi ý để học sinh nên biến đổi biểu thức phức tạp ở vế trái thành vế phải. Ta nhận thấy ở vế trái có công thức cộng sin

3 x         và sin 3 x        . Mặt

khác lại cũng có tích sin .sin

3 x 3 x

 

     

   

    nên có thể có hai hướng biến đổi bài

toán. Hướng thứ nhất: biến đổi các cơng thức cộng để tách ra, sau đó nhân vào phá ngoặc. Hướng thứ hai: biến đổi tích sin .sin

3 x 3 x

 

     

   

b) Do năng lực nhận diện vấn đề của học sinh chưa tốt (bị nhầm lẫn giữa hai đơn vị đo là độ và rađian) nên khi giải phương trình 0 2

sin( 30 ) 2

x  (1.3), có một số

học sinh đã giải sai như sau:

0 0 0 30 2 2 4 sin( 30 ) sin 3 2 4 30 2 . 4 x k x x k                    

1.4.1.2. Năng lực hiểu ngôn ngữ diễn đạt của vấn đề

Ngơn ngữ tốn học là ngôn ngữ khoa học, đáp ứng được các yêu cầu lơgic, chặt chẽ, chính xác. Nó là một hệ thống các thuật ngữ (ngôn ngữ công cụ), các ký hiệu toán học chủ yếu ở dạng ngơn ngữ viết, các kí hiệu này có tính chất quy ước dùng để diễn đạt nội dung tốn học, đảm bảo tính chính xác, lơgic, ngắn gọn. Nếu hiểu theo nghĩa rộng, ngơn ngữ tốn học là hệ thống các thuật ngữ, các kí hiệu tốn học (thường ở dạng ngơn ngữ viết), các hình vẽ, mơ hình, biểu đồ, đồ thị,... có tính chất quy ước nhằm diễn đạt nội dung tốn học một cách chính xác, lơgic và ngắn gọn. Để hiểu vấn đề, học sinh phải hiểu ngôn ngữ diễn đạt vấn đề, qua đó hiểu nội dung vấn đề. Trước hết là hiểu ngôn ngữ, ngơn ngữ tốn học của vấn đề, đặc biệt là sự đan xen giữa ngôn ngữ tự nhiên và ngơn ngữ tốn trong các vấn đề từ thực tiễn.

Ngơn ngữ được xét theo hai khía cạnh là ngữ nghĩa và cú pháp. Ngữ nghĩa là cấu trúc nội dung của đối tượng, quan hệ, quy luật; và cú pháp là các biểu thức hình thức và các qui tắc thiết kế của dạng hình thức đó mơ tả các đối tượng, các quan hệ, các quy luật; học sinh hiểu rõ ngữ nghĩa của vấn đề sẽ phát triển năng lực vận dụng toán học và nắm được cú pháp sẽ có kĩ năng giải tốn trên các biểu thức hình thức.

Tóm lại, hiểu ngơn ngữ tốn học của vấn đề là phải hiểu ngữ nghĩa, phải nắm được cú pháp và mối quan hệ giữa cú pháp và ngữ nghĩa. Hiểu ngôn ngữ diễn đạt của vấn đề mới biết cách khai thác hết mọi khía cạnh biểu hiện tinh vi của bài tốn, mới “gọi” được những điều muốn nói của các con số, của các kí hiệu, các điều kiện chứa đựng trong bài tốn.

Ví dụ 1.4. Cho phương trình sau

cos 3 sin 3 5 sin cos 2 3. 1 2sin 2 x x x x x           (1.4)

Phân tích để hiểu vấn đề: Trước tiên, ta nhận thấy đây là dạng toán giải phương

trình lượng giác có điều kiện ràng buộc, tức là ta phải đi tìm giá trị x thỏa mãn điều kiện (yêu cầu) của bài toán đã cho.

– Giả thiết: 5 sin cos 3 sin 3 cos 2 3 1 2sin 2 x x x x x           .

– Điều kiện: 1 2 sin 2 0 sin 2 1 2

x x

     (*).

– Kết luận: Tìm giá trị x thỏa mãn các yêu cầu sau

+) x là nghiệm của PTr (1.4) (lưu ý là x phải thỏa mãn điều kiện (*)). +) x (  ; ), tức là    x  .

+) x là giá trị thỏa mãn cosx0, (vì ở đây trong bài tốn nói rằng cosin tại nghiệm đó khơng âm, có nghĩa là cosx0; nhiều học sinh có thể hiểu chưa đầy đủ rằng chỉ cần cosx0, mà quên rằng cosx cũng có thể bằng 0).

Chú ý. Nếu khơng có nghiệm nào thỏa mãn u cầu bài tốn thì chúng ta kết

luận bài tốn vơ nghiệm hay khơng có giá trị nào thỏa mãn yêu cầu của bài tốn.

1.4.1.3. Năng lực tốn học hóa vấn đề

Tốn học hóa vấn đề là chuyển đổi ngơn ngữ diễn đạt vấn đề về hình thức, đối tượng, hiện tượng của vấn đề khi vấn đề tiềm ẩn trong một tình huống phi tốn học (vấn đề của mơn học khác, vấn đề thực tiễn) cho phù hợp với nội dung tốn học. Có thể nói cách khác: Tốn học hóa vấn đề là xác định mơ hình tốn học của vấn đề. Tốn học hóa vấn đề đặc biệt có ý nghĩa trong việc gắn kết tốn học với thực tiễn và giải quyết các vấn đề có liên quan đến tốn học do thực tiễn đặt ra, xác nhận giá trị ứng dụng vào thực tiễn của tri thức toán học. “Để GQVĐ, học sinh phải sử dụng qui trình hành động, chiến lược chung là “tốn học hóa thực tiễn”: tìm hiểu vấn đề thực tiễn; tổ chức nó theo các khái niệm tốn học có liên quan; loại bỏ dần yếu tố thực tế, chuyển sang một vấn đề toán học; giải quyết vấn đề; và chuyển ý nghĩa của giải pháp toán học về thực tiễn” (xem [27, tr.23]).

Ví dụ 1.5. Thơng qua dạy học tích hợp liên mơn, giáo viên có thể lồng ghép vào bài

dạy để cho học sinh hiểu được ứng dụng thực tiễn và ý nghĩa của nội dung môn học, nhằm tạo động cơ tích cực, kích thích sự hứng thú, lịng ham hiểu biết của học sinh.

Sau đây chúng ta sẽ xét một ứng dụng của PTLG cơ bản trong việc GQVĐ liên quan tới môn Vật lý: “Đồng hồ con lắc (đồng hồ quả lắc) là một loại đồng hồ

được hoạt động bởi một con lắc và một quả nặng. Sự chuyển động của qua lại của con lắc và quả nặng điều khiển các bánh răng và làm quay các kim giờ, kim phút trên mặt đồng hồ. Được phát minh bởi Christiaan Hygens vào năm 1656 (hình 1.2) và đến năm 1930, đồng hồ con lắc là loại đồng hồ chính xác nhất thời bấy giờ” (xem [40]). Khi nghiên cứu chiếc đồng hồ con lắc, các nhà khoa học đã thấy rằng con lắc đồng hồ dao động điều hịa xung quanh vị trí cân bằng (hình 1.3).

Đồng thời các nhà vật lý bằng lý thuyết kết hợp thực nghiệm, đo đạc và tính tốn, đã chỉ ra rằng li độ dài (hiểu là “độ lệch” của vật so với vị trí cân bằng) của con lắc có phương trình dạng sS0cos( t ).

 Phát biểu bài toán Vật lý: Chọn gốc tọa độ O chính là vị trí cân bằng, chiều

dương của chuyển động ngược chiều kim đồng hồ (Hình 1.3). Khi đó, giả sử rằng li độ dài s (đơn vị cm) của con lắc đồng hồ được biểu diễn qua thời gian t (giây) có phương trình 3cos 5 ( ).

6

s  t   cm

   

  Câu hỏi đặt ra là tìm các thời điểm trong

vòng 2 giây đầu tiên mà con lắc ở vị trí có li độ dài bằng 1,5 (cm).

Từ ngơn ngữ của bài tốn Vật lý như trên, thực chất của vấn đề cần giải quyết này có thể chuyển về ngơn ngữ tốn học, bài tốn chúng ta cần giải quyết như sau:

 Phát biểu bài tốn theo ngơn ngữ tốn học (tốn học hóa vấn đề):

Tìm nghiệm t[0;2] của phương trình 3 3cos 5 . 6 2 t        

Đây chính là phương trình lượng giác cơ bản đối với hàm số cosin (khi giải tìm được nghiệm ta cũng cần lưu ý tới điều kiện của ẩn t[0;2]).

Hình 1.2. Mơ hình đồng hồ con lắc của Christiaan Hygens, 1656 (bên trái) và một Christiaan Hygens, 1656 (bên trái) và một loại đồng hồ con lắc hiện nay (bên phải)

Hình 1.3. Mơ tả chuyển động của con lắc đồng hồ

O là vị trí cân bằng,

l là độ dài dây treo con lắc.

α O α0 sl l