Các giai đoạn của quá trình tư duy

Ví dụ 1.2. Minh họa cách tìm cơng thức cos3x bằng cách thao tác tư duy cơ bản.

Sơ đồ 1.3. Cách tìm cơng thức cos3x bằng các thao tác tư duy cơ bản

a = 2x; b = x 35 13 30 24 11 4 1 4 16 31 19 108 1 0 5 10 15 20 25 30 35 123 456 78910 Số lượng học sinh Điểm số TN ĐC

cos cosa bsin sina b

cos 2 cosx xsin 2 sinx x

cos 2 cosx xsin sin 2x x

2

1 2 sin x 2 sin cosx x

2

1 cos x

2

cosx4 cos sinx x

Tổng hợp Khái qt hóa Phân tích Phân tích Phân tích cos(ab) Phân tích cos 3x 3 4 cos x3cosx Đặc biệt hóa

1.3.2. Hoạt động giải quyết vấn đề của học sinh trong học toán

Hoạt động GQVĐ của học sinh trong học toán là những hoạt động diễn ra khi học sinh đứng trước những vấn đề của mơn Tốn hoặc có liên quan đến mơn Tốn cần phải giải quyết, họ phải tìm hiểu, suy nghĩ để nhận diện vấn đề; tìm cách giải quyết những vấn đề đó: “tự rút ra công thức, tự chứng minh định lí, tìm cách ghi nhớ tích cực những vấn đề cần lĩnh hội, tự tìm ra cách giải hay và gọn những bài tốn lí thuyết hay thực hành,... Kết quả là học sinh lĩnh hội được tri thức toán học và học được cách tự khám phá” (xem [33, tr.19]).

Hoạt động trí tuệ trong giải tốn gồm các thành tố: dự đốn, động viên, tổ chức, phân tích, tổng hợp, nhận biết, nhớ lại, nhóm lại, bổ sung (xem [13]). Theo G. Polya [29], dự đốn chiếm vị trí trung tâm của hoạt động trí tuệ trong khi giải tốn. Hành động dự đoán xuất hiện đầu tiên, ngay sau khi hiểu kĩ bài toán, học sinh dự đốn phạm vi đi tìm hướng giải, phạm vi này có thể cịn mơ hồ, thậm chí chưa thật trúng. Tiếp theo trong tư duy diễn ra các hành động trí tuệ: động viên và tổ chức kiến thức. Động viên kiến thức là huy động từ trí nhớ những yếu tố gồm các kiến thức, kĩ năng có liên quan đến bài toán; tổ chức kiến thức là sắp xếp liên kết các kiến thức, kĩ năng đó lại với nhau. Thực hiện các thao tác tư duy: phân tích và tổng hợp. Phân tích là tách biệt một chi tiết, một bộ phận cụ thể trong cái toàn thể ra khỏi các chi tiết, bộ phận bao quanh nó nhằm tập trung chú ý vào chi tiết, bộ phận đó; tổng hợp là kết hợp, liên kết các chi tiết, bộ phận đã được nghiên cứu lại với nhau trong cái toàn thể. Hành động động viên kiến thức thường bắt đầu từ thao tác nhận biết một số yếu tố nào đó chứa đựng trong bài toán, tiếp nối là thao tác nhớ lại những yếu tố có sẵn liên quan đến các yếu tố vừa nhận biết. Hành động tổ chức kiến thức bao hàm các thao tác nhóm lại và bổ sung. Giữa các thành tố của hoạt động trí tuệ trong giải tốn có mối quan hệ qua lại, sơ đồ biểu thị mối quan hệ đó như sau:

Sơ đồ 1.4. Sơ đồ tổng quát về hoạt động trí tuệ trong giải tốn (xem [13]) Kết hợp Động viên Tổ chức Nhớ lại Nhận biết Nhóm lại Bổ sung DỰ ĐỐN Tách biệt

Tóm lại, tư duy là kết quả của nhận thức đồng thời là sự phát triển cấp cao của nhận thức nhằm để phát triển trí tuệ. Hoạt động học toán bản chất là hoạt động nhận thức nhằm phát triển trí tuệ. “Năng lực tư duy của học sinh được thể hiện ở khả năng thực hiện các thao tác tư duy một cách có kết quả. Năng lực tư duy cịn thể hiện ở khả năng chuyển hóa các dạng tư duy từ hoạt động trực quan đến tư duy hình tượng và tư duy trừu tượng” (xem [5, tr.252]). Hoạt động GQVĐ của học sinh trong học toán là hoạt động chủ yếu của việc học tốn, nên chúng tơi cũng cho rằng: Hoạt động GQVĐ của học sinh trong học tốn là biểu hiện của hoạt động trí tuệ của học sinh trong học tập mơn Tốn.

Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ chú trọng vào nghiên cứu hoạt động GQVĐ của học sinh trong học tốn thơng qua nghiên cứu hoạt động giải toán (về phương trình lượng giác) của học sinh bao gồm q trình phân tích, tìm tịi lời giải bài tốn và phát hiện thêm cách khác để GQVĐ, mở rộng bài tốn đã cho.

1.3.3. Q trình giải quyết vấn đề trong dạy học Toán THPT

Theo tác giả Wu, M. L. (xem [43, tr.35]): “Trong các lĩnh vực tâm lí học và giáo dục tốn học, các nhà nghiên cứu đều xem các giai đoạn GQVĐ như là tính năng quan trọng của phương pháp xử lí thơng tin để GQVĐ”. Dẫn theo [43, tr.35], R. E. Mayer & M. Hegarty cho rằng: “Nói chung các q trình GQVĐ có thể được phân thành hai giai đoạn chính là tìm hiểu vấn đề và tìm kiếm giải pháp”. Ngồi ra R. E. Mayer còn làm rõ thêm: “Tìm hiểu vấn đề liên quan đến kiến thức ngôn ngữ, thực tế và lược đồ, trong khi tìm kiếm giải pháp liên quan đến những hoạt động GQVĐ trong dạy học toán”.

Trong hoạt động GQVĐ, học sinh phải tiến hành một loạt các hoạt động trí tuệ, như tổ chức, huy động, liên tưởng, dự đoán,... bằng những hành động cụ thể là tách biệt, kết hợp, bổ sung, phân nhóm,… và một loạt thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa,... Nghiên cứu hoạt động GQVĐ từ góc độ đánh giá năng lực, chúng tơi định hình cấu trúc q trình GQVĐ có hai giai đoạn.

 Giai đoạn 1. Xác định giải pháp GQVĐ (giai đoạn chủ yếu đối với học sinh);  Giai đoạn 2. Tìm giải pháp khác để GQVĐ và mở rộng vấn đề.

Trong mỗi giai đoạn, mỗi bước của quá trình GQVĐ, học sinh thực hiện các nội dung và thường phải tự trả lời một số câu hỏi (do học sinh tự đặt ra hoặc do giáo viên hỏi).

1.3.3.1. Xác định giải pháp giải quyết vấn đề

- Bước thứ nhất. Tìm hiểu vấn đề là xác định được trạng thái khởi đầu để đạt

được mục tiêu của vấn đề và phát hiện các khó khăn trong hoạt động này. Tìm hiểu vấn đề bao gồm: nhận biết vấn đề, dạng vấn đề, tìm dữ kiện của vấn đề tức là hiểu những thơng tin được cung cấp (hay cịn gọi là giả thiết) và yêu cầu cần giải quyết của vấn đề (còn gọi là kết luận) vẽ hình (nếu cần). Hiểu vấn đề có vai trị rất quan trọng trong quá trình GQVĐ. Nhiều học sinh không giải quyết được vấn đề vì khơng hiểu hoặc hiểu khơng chính xác vấn đề.

Câu hỏi đầu tiên đặt ra là: Đây có phải là vấn đề hay khơng? Tiếp theo là các câu hỏi: Những thông tin nào đã cho/đã có? Vấn đề u cầu chứng minh điều gì? Tìm cái gì? Đâu là điều kiện của vấn đề? Điều kiện có mâu thuẫn khơng? Có thể viết điều kiện thành cơng thức hay khơng?...

- Bước thứ hai. Tìm, thực hiện và kiểm tra giải pháp GQVĐ là phân tích quan hệ giữa dữ kiện và yêu cầu của vấn đề; xuất hiện, sàng lọc các liên tưởng; dự đoán và suy diễn; tái hiện và huy động các kiến thức, kĩ năng có liên quan; thực hiện các thao tác tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự hóa, đặc biệt hóa,…) tách ra được các bộ phận, nhận biết các đặc điểm, nhìn khái quát vấn đề.

Câu hỏi đặt ra: Đã gặp vấn đề này chưa? Hay đã gặp vấn đề này dưới dạng khác? Hãy thử nghĩ tới vấn đề nào có liên quan đã giải quyết và có thể sử dụng phương pháp đó cho vấn đề này không? Đã sử dụng hết các dữ kiện của vấn đề chưa? Các dữ kiện đã đủ để GQVĐ hay chưa? Hình vẽ đúng chưa? Có thể diễn đạt vấn đề bằng hình thức khác không? Những kiến thức, kĩ năng cần sử dụng để GQVĐ, cần huy động thêm kiến thức, kĩ năng nào? Có hướng biến đổi nào khác? ...

Học sinh dự đốn, suy diễn hình thành giải pháp GQVĐ. Nếu nhận thấy khả thi, học sinh thực hiện giải pháp; ngược lại, học sinh quay trở về bước thứ nhất.

Khi thực hiện, học sinh thường xuyên kiểm tra từng phép biến đổi, rà soát kết quả chỉ công nhận những điều thật rõ ràng và đã được tính tốn thật cẩn thận.

Câu hỏi đặt ra: Giải pháp đúng chưa? Việc tính tốn đã đúng chưa? Vì sao? Kết quả có đúng khơng? Đã xét đầy đủ các trường hợp chưa?

- Bước thứ ba. Trình bày giải pháp GQVĐ là sắp xếp trình tự thực hiện, diễn đạt các phép biến đổi tốn học. Phát hiện (có thể bằng trực giác, là “thấy”,...) và tin vào sự đúng đắn của giải pháp này, học sinh trình bày giải pháp GQVĐ. Theo tác

giả G. Polya (xem [30, tr.34]): “Cố gắng hoàn thiện những phần nhỏ và những phần lớn trong cách giải, cuối cùng tìm cách hoàn thiện toàn bộ cách giải, làm cho cách giải sáng sủa một cách trực giác”.

Xác định quy trình để thực hiện giải pháp GQVĐ bao gồm nội dung các công việc cần thực hiện và trình tự để thực hiện các cơng việc đó theo những quy tắc lôgic, rõ ràng. Nếu xác lập được quy trình thực hiện giải pháp GQVĐ đúng đắn thì sẽ đi đúng hướng, khơng bỏ sót cơng việc cần thiết. Nếu khơng xác lập được quy trình thực hiện giải pháp GQVĐ; có thể dẫn đến luẩn quẩn, mất thời gian, không đem lại hiệu quả.

Câu hỏi đặt ra: Lập luận đã chặt chẽ chưa? Trình bày đã khoa học, lơgic chưa?

1.3.3.2. Tìm giải pháp khác để giải quyết vấn đề và mở rộng vấn đề

- Phát hiện giải pháp khác, học sinh tự vấn và trả lời các câu hỏi: Giải pháp, cơng cụ phù hợp hay chưa? Có phải là giải pháp tối ưu hay khơng, cịn hạn chế gì? Cịn giải pháp nào hay hơn? vấn đề này có liên quan đến vấn đề nào khác khơng?

- Mở rộng vấn đề là nêu vấn đề tương tự hoặc vấn đề tổng quát của vấn đề đã giải quyết. Xuất phát từ một bài toán đã giải, học sinh “thử” thay đổi, thêm, bớt một số yếu tố nào đó hay thay đổi một phần cấu trúc của bài tốn để có thể tìm được bài tốn tương tự, có thể tìm thấy bài tốn mới theo các cách: khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa... Hoạt động này trong q trình GQVĐ giúp phát triển năng lực sáng tạo của học sinh.

Qua hoạt động GQVĐ, ở mỗi giai đoạn năng lực GQVĐ của học sinh được bộc lộ. Khi gặp khó khăn, chướng ngại thì các câu hỏi lại xuất hiện để học sinh tìm cách trả lời (học sinh cũng có thể tự đặt ra các câu hỏi cho từng vấn đề cụ thể).

Tóm lại, q trình giải quyết vấn đề (GQVĐ) trong dạy học tốn ở bậc THPT, có thể được mơ tả qua sơ đồ sau.

Sơ đồ 1.5. Quá trình giải quyết vấn đề

GIAI ĐOẠN 1 Giải pháp sai Giải pháp đúng Tìm hiểu vấn đề Tìm, thực hiện, kiểm tra giải pháp GQVĐ Trình bày giải pháp GQVĐ GIAI ĐOẠN 2 Tìm giải pháp khác để GQVĐ; mở rộng vấn đề

Sau đây, chúng ta đi xét quá trình GQVĐ thơng qua một ví dụ minh họa.

Ví dụ 1.3. Giải phương trình sin 2xtan .x (1.1)

 Giai đoạn 1. Xác định giải pháp GQVĐ (giai đoạn chủ yếu đối với học sinh)

 Bước 1. Tìm hiểu vấn đề

- Đây là dạng tốn giải phương trình lượng giác, tức là tìm các giá trị của x

thỏa mãn phương tình đã cho.

- Giả thiết đã cho: sin 2xtan ;x Điều kiện: cos 0 , 2

x   x  k k

. - Kết luận: Tìm các giá trị của ẩn x.

 Bước 2. Tìm, thực hiện và kiểm tra giải pháp GQVĐ

- Kiến thức đã biết là cách giải PTLG cơ bản và thường gặp (PTr bậc nhất, bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác, PTr bậc nhất đối với sinx và cosx, …)

- Kiến thức cần huy động: công thức sin sin 2 2sin cos ; tan

cos

x

x x x x

x

  .

- Giải pháp giải quyết vấn đề: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích, đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản và thường gặp.

 Bước 3. Trình bày giải pháp GQVĐ

Lời giải. Điều kiện: cos 0 , 2

x   x  k k

. Phương trình (1.1) tương đương

với phương trình sau: sin sin 2 sin cos 0 2 sin cos 0

cos cos x x x x x x x x      2 2

2sin cosx x sinx 0 sin (2 cosx x 1) 0

     

sin cos 2x x 0

  sinx0 hoặc cos 2x0.

x k   hoặc , ( ) 4 2 k x   k    .

Biểu diễn điều kiện trên đường tròn lượng giác bởi các điểm đánh dấu sao “* ” và biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác bởi các điểm đánh dấu tròn trắng “ ”. So sánh với điều kiện (hình 1.1), ta thu được các nghiệm của phương trình (1.1) là:

xk ; , ( ) 4 2 k x   k . B y x O M1 M2 M3 M4 A A’ B’ Hình 1.1 * *

Nhận xét: i) Trong trường hợp khác, một số học sinh cũng có thể giải như sau:

2 2

2 cos 1 0 cos

2

x   x  . Cách làm này sẽ tạo ra nhiều họ nghiệm, giáo viên

cần lưu ý cho học sinh nên sử dụng cách chuyển về PTLG cơ bản dạng cos 2xm.

ii) Học sinh có thể kiểm tra điều kiện bằng cách khác như sau: Vì sinx0 nên cosx  1 0 (TMĐK). Vì 2 2

2 cos 1 0 cos 0 2

x   x   (TMĐK).

 Giai đoạn 2. Tìm giải pháp khác để giải quyết vấn đề và mở rộng vấn đề

 Giải pháp khác để GQVĐ trong bài toán này là phương pháp đặt ẩn phụ. Sử

dụng công thức biến đổi từ cơng thức góc nhân đơi.

2 2 2 2 2

2 sin cos 2 sin cos 2 tan sin 2 2 sin cos

sin cos cos (1 tan ) 1 tan

x x x x x

x x x

x x x x x

   

   .

Điều kiện: cosx0. Đặt ttanx, khi đó phương trình (1.1) trở thành:

3 2 2 0 2 0 ( 1) 0 1 1 t t t t t t t t t               

Từ đó, suy ra phương trình (1.1) có các nghiệm là:

xk ; 4 x  k ; , ( ) 4 x   k k .  Mở rộng vấn đề

- Đề xuất một số bài toán tương tự: Giải các phương trình sau

1) sin 4xtan 2x; 2) 3sin 2x2 tanx; 3) cos 2x 1 tanx.

- Đề xuất bài tốn khái qt hóa như sau: Giải các phương trình sau

4) sin 2nxtannx, (n ); 5) msin 2xntan , ( ,x m n ).

1.4. Các thành tố năng lực GQVĐ của học sinh trong học Toán THPT

Năng lực GQVĐ của học sinh trong học toán THPT được phát triển và thể hiện trong các hoạt động của quá trình GQVĐ. Khai thác các bước giải một bài toán của G. Polya và tiếp cận quá trình GQVĐ trong dạy học tốn, chúng tơi cho rằng năng lực GQVĐ của học sinh trong học toán THPT được cấu thành bởi các thành tố sau: “Năng lực hiểu vấn đề, năng lực phát hiện và triển khai giải pháp GQVĐ, năng

lực trình bày giải pháp GQVĐ, năng lực phát hiện giải pháp khác để GQVĐ và năng lực phát hiện vấn đề mới”. Một năng lực thành tố lại bao gồm nhiều năng lực

đoạn của quá trình GQVĐ. Năng lực GQVĐ của học sinh trong học toán xâu chuỗi các hoạt động GQVĐ; giữa các năng lực thành tố, các năng lực thành phần có sự lồng ghép, giao thoa nhau. Do đó, theo chúng tơi việc chia năng lực GQVĐ ra các năng lực thành tố, các năng lực thành phần cũng chỉ mang tính chất tương đối.

1.4.1. Năng lực hiểu vấn đề

Năng lực hiểu vấn đề gồm các năng lực thành phần: nhận diện vấn đề, hiểu ngôn ngữ diễn đạt của vấn đề, tốn học hóa vấn đề.

1.4.1.1. Năng lực nhận diện vấn đề

Nhận diện vấn đề là học sinh nhận ra bài tốn đó đối với mình có phải là vấn đề hay khơng. Nếu là vấn đề thì nó thuộc dạng nào (bài tốn chứng minh, bài tốn tìm tịi, bài tốn tính tốn,...). Sau khi đã nhận dạng học sinh phải nghiên cứu kĩ, nêu được dữ kiện (giả thiết), yêu cầu (kết luận) của vấn đề, vẽ hình, viết điều kiện dưới dạng cơng thức (nếu cần). Biết tóm tắt vấn đề (đơi khi dùng hình vẽ, mơ hình).

Ví dụ 1.3. a) Chứng minh rằng phương trình sau nghiệm đúng mọi số thực x