Quá trình giải quyết vấn đề trong dạy học Toán THPT

1.3. Hoạt động giải quyết vấn đề trong dạy học Toán THPT

1.3.3. Quá trình giải quyết vấn đề trong dạy học Toán THPT

Theo tác giả Wu, M. L. (xem [43, tr.35]): “Trong các lĩnh vực tâm lí học và giáo dục toán học, các nhà nghiên cứu đều xem các giai đoạn GQVĐ như là tính năng quan trọng của phương pháp xử lí thơng tin để GQVĐ”. Dẫn theo [43, tr.35], R. E. Mayer & M. Hegarty cho rằng: “Nói chung các q trình GQVĐ có thể được phân thành hai giai đoạn chính là tìm hiểu vấn đề và tìm kiếm giải pháp”. Ngồi ra R. E. Mayer cịn làm rõ thêm: “Tìm hiểu vấn đề liên quan đến kiến thức ngôn ngữ, thực tế và lược đồ, trong khi tìm kiếm giải pháp liên quan đến những hoạt động GQVĐ trong dạy học toán”.

Trong hoạt động GQVĐ, học sinh phải tiến hành một loạt các hoạt động trí tuệ, như tổ chức, huy động, liên tưởng, dự đoán,... bằng những hành động cụ thể là tách biệt, kết hợp, bổ sung, phân nhóm,… và một loạt thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa,... Nghiên cứu hoạt động GQVĐ từ góc độ đánh giá năng lực, chúng tơi định hình cấu trúc q trình GQVĐ có hai giai đoạn.

 Giai đoạn 1. Xác định giải pháp GQVĐ (giai đoạn chủ yếu đối với học sinh);  Giai đoạn 2. Tìm giải pháp khác để GQVĐ và mở rộng vấn đề.

Trong mỗi giai đoạn, mỗi bước của quá trình GQVĐ, học sinh thực hiện các nội dung và thường phải tự trả lời một số câu hỏi (do học sinh tự đặt ra hoặc do giáo viên hỏi).

1.3.3.1. Xác định giải pháp giải quyết vấn đề

- Bước thứ nhất. Tìm hiểu vấn đề là xác định được trạng thái khởi đầu để đạt

được mục tiêu của vấn đề và phát hiện các khó khăn trong hoạt động này. Tìm hiểu vấn đề bao gồm: nhận biết vấn đề, dạng vấn đề, tìm dữ kiện của vấn đề tức là hiểu những thơng tin được cung cấp (hay cịn gọi là giả thiết) và yêu cầu cần giải quyết của vấn đề (cịn gọi là kết luận) vẽ hình (nếu cần). Hiểu vấn đề có vai trị rất quan trọng trong quá trình GQVĐ. Nhiều học sinh không giải quyết được vấn đề vì khơng hiểu hoặc hiểu khơng chính xác vấn đề.

Câu hỏi đầu tiên đặt ra là: Đây có phải là vấn đề hay không? Tiếp theo là các câu hỏi: Những thơng tin nào đã cho/đã có? Vấn đề u cầu chứng minh điều gì? Tìm cái gì? Đâu là điều kiện của vấn đề? Điều kiện có mâu thuẫn khơng? Có thể viết điều kiện thành cơng thức hay khơng?...

- Bước thứ hai. Tìm, thực hiện và kiểm tra giải pháp GQVĐ là phân tích quan hệ giữa dữ kiện và yêu cầu của vấn đề; xuất hiện, sàng lọc các liên tưởng; dự đoán và suy diễn; tái hiện và huy động các kiến thức, kĩ năng có liên quan; thực hiện các thao tác tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái qt hóa, tương tự hóa, đặc biệt hóa,…) tách ra được các bộ phận, nhận biết các đặc điểm, nhìn khái quát vấn đề.

Câu hỏi đặt ra: Đã gặp vấn đề này chưa? Hay đã gặp vấn đề này dưới dạng khác? Hãy thử nghĩ tới vấn đề nào có liên quan đã giải quyết và có thể sử dụng phương pháp đó cho vấn đề này không? Đã sử dụng hết các dữ kiện của vấn đề chưa? Các dữ kiện đã đủ để GQVĐ hay chưa? Hình vẽ đúng chưa? Có thể diễn đạt vấn đề bằng hình thức khác không? Những kiến thức, kĩ năng cần sử dụng để GQVĐ, cần huy động thêm kiến thức, kĩ năng nào? Có hướng biến đổi nào khác? ...

Học sinh dự đốn, suy diễn hình thành giải pháp GQVĐ. Nếu nhận thấy khả thi, học sinh thực hiện giải pháp; ngược lại, học sinh quay trở về bước thứ nhất.

Khi thực hiện, học sinh thường xuyên kiểm tra từng phép biến đổi, rà sốt kết quả chỉ cơng nhận những điều thật rõ ràng và đã được tính tốn thật cẩn thận.

Câu hỏi đặt ra: Giải pháp đúng chưa? Việc tính tốn đã đúng chưa? Vì sao? Kết quả có đúng không? Đã xét đầy đủ các trường hợp chưa?

- Bước thứ ba. Trình bày giải pháp GQVĐ là sắp xếp trình tự thực hiện, diễn đạt các phép biến đổi tốn học. Phát hiện (có thể bằng trực giác, là “thấy”,...) và tin vào sự đúng đắn của giải pháp này, học sinh trình bày giải pháp GQVĐ. Theo tác

giả G. Polya (xem [30, tr.34]): “Cố gắng hoàn thiện những phần nhỏ và những phần lớn trong cách giải, cuối cùng tìm cách hồn thiện tồn bộ cách giải, làm cho cách giải sáng sủa một cách trực giác”.

Xác định quy trình để thực hiện giải pháp GQVĐ bao gồm nội dung các công việc cần thực hiện và trình tự để thực hiện các cơng việc đó theo những quy tắc lôgic, rõ ràng. Nếu xác lập được quy trình thực hiện giải pháp GQVĐ đúng đắn thì sẽ đi đúng hướng, khơng bỏ sót cơng việc cần thiết. Nếu khơng xác lập được quy trình thực hiện giải pháp GQVĐ; có thể dẫn đến luẩn quẩn, mất thời gian, không đem lại hiệu quả.

Câu hỏi đặt ra: Lập luận đã chặt chẽ chưa? Trình bày đã khoa học, lơgic chưa?

1.3.3.2. Tìm giải pháp khác để giải quyết vấn đề và mở rộng vấn đề

- Phát hiện giải pháp khác, học sinh tự vấn và trả lời các câu hỏi: Giải pháp, công cụ phù hợp hay chưa? Có phải là giải pháp tối ưu hay khơng, cịn hạn chế gì? Cịn giải pháp nào hay hơn? vấn đề này có liên quan đến vấn đề nào khác khơng?

- Mở rộng vấn đề là nêu vấn đề tương tự hoặc vấn đề tổng quát của vấn đề đã giải quyết. Xuất phát từ một bài toán đã giải, học sinh “thử” thay đổi, thêm, bớt một số yếu tố nào đó hay thay đổi một phần cấu trúc của bài tốn để có thể tìm được bài tốn tương tự, có thể tìm thấy bài tốn mới theo các cách: khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa... Hoạt động này trong quá trình GQVĐ giúp phát triển năng lực sáng tạo của học sinh.

Qua hoạt động GQVĐ, ở mỗi giai đoạn năng lực GQVĐ của học sinh được bộc lộ. Khi gặp khó khăn, chướng ngại thì các câu hỏi lại xuất hiện để học sinh tìm cách trả lời (học sinh cũng có thể tự đặt ra các câu hỏi cho từng vấn đề cụ thể).

Tóm lại, q trình giải quyết vấn đề (GQVĐ) trong dạy học tốn ở bậc THPT, có thể được mô tả qua sơ đồ sau.

Sơ đồ 1.5. Quá trình giải quyết vấn đề

GIAI ĐOẠN 1 Giải pháp sai Giải pháp đúng Tìm hiểu vấn đề Tìm, thực hiện, kiểm tra giải pháp GQVĐ Trình bày giải pháp GQVĐ GIAI ĐOẠN 2 Tìm giải pháp khác để GQVĐ; mở rộng vấn đề

Sau đây, chúng ta đi xét q trình GQVĐ thơng qua một ví dụ minh họa.

Ví dụ 1.3. Giải phương trình sin 2xtan .x (1.1)

 Giai đoạn 1. Xác định giải pháp GQVĐ (giai đoạn chủ yếu đối với học sinh)

 Bước 1. Tìm hiểu vấn đề

- Đây là dạng tốn giải phương trình lượng giác, tức là tìm các giá trị của x

thỏa mãn phương tình đã cho.

- Giả thiết đã cho: sin 2xtan ;x Điều kiện: cos 0 , 2

x   x  k k

. - Kết luận: Tìm các giá trị của ẩn x.

 Bước 2. Tìm, thực hiện và kiểm tra giải pháp GQVĐ

- Kiến thức đã biết là cách giải PTLG cơ bản và thường gặp (PTr bậc nhất, bậc hai đối với 1 hàm số lượng giác, PTr bậc nhất đối với sinx và cosx, …)

- Kiến thức cần huy động: công thức sin sin 2 2sin cos ; tan

cos

x

x x x x

x

  .

- Giải pháp giải quyết vấn đề: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích, đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản và thường gặp.

 Bước 3. Trình bày giải pháp GQVĐ

Lời giải. Điều kiện: cos 0 , 2

x   x  k k

. Phương trình (1.1) tương đương

với phương trình sau: sin sin 2 sin cos 0 2 sin cos 0

cos cos x x x x x x x x      2 2

2sin cosx x sinx 0 sin (2 cosx x 1) 0

     

sin cos 2x x 0

  sinx0 hoặc cos 2x0.

x k   hoặc , ( ) 4 2 k x   k    .

Biểu diễn điều kiện trên đường tròn lượng giác bởi các điểm đánh dấu sao “* ” và biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác bởi các điểm đánh dấu tròn trắng “ ”. So sánh với điều kiện (hình 1.1), ta thu được các nghiệm của phương trình (1.1) là:

xk ; , ( ) 4 2 k x   k . B y x O M1 M2 M3 M4 A A’ B’ Hình 1.1 * *

Nhận xét: i) Trong trường hợp khác, một số học sinh cũng có thể giải như sau:

2 2

2 cos 1 0 cos

2

x   x  . Cách làm này sẽ tạo ra nhiều họ nghiệm, giáo viên

cần lưu ý cho học sinh nên sử dụng cách chuyển về PTLG cơ bản dạng cos 2xm.

ii) Học sinh có thể kiểm tra điều kiện bằng cách khác như sau: Vì sinx0 nên cosx  1 0 (TMĐK). Vì 2 2

2 cos 1 0 cos 0 2

x   x   (TMĐK).

 Giai đoạn 2. Tìm giải pháp khác để giải quyết vấn đề và mở rộng vấn đề

 Giải pháp khác để GQVĐ trong bài toán này là phương pháp đặt ẩn phụ. Sử

dụng cơng thức biến đổi từ cơng thức góc nhân đơi.

2 2 2 2 2

2 sin cos 2 sin cos 2 tan sin 2 2 sin cos

sin cos cos (1 tan ) 1 tan

x x x x x

x x x

x x x x x

   

   .

Điều kiện: cosx0. Đặt ttanx, khi đó phương trình (1.1) trở thành:

3 2 2 0 2 0 ( 1) 0 1 1 t t t t t t t t t               

Từ đó, suy ra phương trình (1.1) có các nghiệm là:

xk ; 4 x  k ; , ( ) 4 x   k k .  Mở rộng vấn đề

- Đề xuất một số bài tốn tương tự: Giải các phương trình sau

1) sin 4xtan 2x; 2) 3sin 2x2 tanx; 3) cos 2x 1 tanx.

- Đề xuất bài tốn khái qt hóa như sau: Giải các phương trình sau

4) sin 2nxtannx, (n ); 5) msin 2xntan , ( ,x m n ).