Thực trạng và khú khăn trong việc dạy và học bài toỏn phõn tớch đa thức

2.2 .Dạy học nội dung phõn tớch đa thức thành nhõn tử ở THCS

2.2.2. Thực trạng và khú khăn trong việc dạy và học bài toỏn phõn tớch đa thức

thành nhõn tử ở trường THCS

Việc dạy và học bài toỏn PTĐTTNT ở THCS đang gặp phải một số khú khăn đối với cả HS và GV:

 GV khụng cú cơ sở “phỏp lý”để đỏnh giỏ kết quả PTĐTTNT của HS.

Mỗi đa thức cú nhiều cỏch phõn tớch thành tớch cỏc nhõn tử, vỡ thế HS lỳng tỳng trong việc lựa chọn sự phõn tớch nào? Chẳng hạn:

Lựa chọn k x( ) ( x21).(3x6)hay k x( ) 3( x21).(x2)? Lựa chọn

2 2

( ) ( 1).( 2)

g x  x  x x  hayg x( ) ( x2  x 1).(x 2)x 2.

Trong hai VD nờu trờn GV sẽ khụng cho điểm tối đa nếu HS lựa chọn cỏch phõn tớch thứ nhất. Mặc dự cả hai cỏch phõn tớch trờn đều phự hợp với định nghĩa. Nếu được hỏi "Vỡ sao lại trừ điểm HS nếu HS chọn cỏch phõn tớch thứ nhất ?" Chỳng ta sẽ nhận được CTL: “HS chưa phõn tớch hết” hoặc “HS chưa phõn tớch đến cựng". Khi bàn về bài toỏn PTĐTTNT với CH đặt ra là: “Khi PTĐTTNT thỡ phõn tớch như thế nào là được?”. Hầu hết cỏc ý kiến đều cho rằng: “PTĐTTNT là phõn tớch đa thức đú thành tớch cỏc đa thức đến khi khụng thể phõn tớch thờm được nữa”. Tất nhiờn, CTL này khụng thuộc phạm vi của định nghĩa núi trờn. Cũn với CH “Thế nào là khụng thể phõn tớch thờm được nữa ?” thỡ khụng cú CTL!

Điều này cho thấyGV khụng cú cơ sở “phỏp lý” để đỏnh giỏ kết quả PTĐTTNT của HS. Nguyờn nhõn là do GV đó lấy yờu cầu của bài toỏn: “phõn tớch đa

thức thành tớch cỏc nhõn tử bất khả qui” ỏp vào bài toỏn: “phõn tớch đa thức thành tớch cỏc nhõn tử”. Vấn đề đặt ra là: tỡm giải phỏp để giỳp GV trỏnh được những sai

lầm như đó núi ở trờn.

 Đối với cỏc đa thức chứa từ 2 biến trở lờn, việc xột xem nú cú là đa thức bất khả qui hay khụng là một bài toỏn khụng nhỏ.

Việc xột xem một đa thức chứa từ 2 biến trở lờn cú là đa thức bất khả qui hay khụng? là mảng kiến thức sinh viờn toỏn ở cỏc trường cao đẳng và đại học sư phạm khụng được học. Nú chỉ cú mặt trong cỏc chuyờn khảo. Mặc dự, về mặt lý thuyết, chỳng ta cú thể xỏc định được tớnh bất khả qui của một đa thức nhiều biến lấy hệ tử trờn một trường. Cụ thể: Để đơn giản, chẳng hạn đối với đa thức của 2 biến f(x,y) với hệ số thực cú bậc lớn hơn một. Giả sử 1    1 1 0 ( , ) ( ). n ( ). n ... ( ). ( ) ( ) n n f x y a x y a  x y   a x y a x k y R x y là biểu diễn của f x y( , )dưới dạng đa thức với hệ tử thuộc R x . Chỳ ý rằng trường cỏc phõn thức đại số R x  là trường cỏc thương của R x và ta cú thể xem f x y( , )k y( ) là đa thức với hệ tử thuộc trường R x . Xảy ra 2 khả năng sau:

 Nếu đa thức d x( )UCLN a x a( ( ),n n1( ),..., ( ), ( ))x a x a x1 0 cú bậc dương, khi đú ta cú biểu diễn f x y( , )d x g x y( ). ( , ) với g x y( , )là một đa thức nào đú cú chứa biến y, do đú f x y( , )khụng bất khả qui trờn R.

 Nếu bậc củad x( )bằng 0, nghĩa là d x( )là một số thực khỏc khụng. Trong trường hợp này và với lưu ý R x( )là trường cỏc thương của miền nguyờn R x , chỳng ta cú thể chứng minh được rằng:k y( ) f x y( , )bất khả qui của trờn trường R x( ) khi và chỉ khi k y( ) f x y( , ) bất khả qui trờn miền nguyờn R x 

.Cũn f x y( , ) bất khả qui trờn miền nguyờn R x  khi và chỉ khi f x y( , )bất khả qui trờn trường R.

qui của đa thức một ẩn k y( ) f x y( , ) trờn trường R x( ). Song khú khăn nằm ở chỗ, đối với đa thức một biến lấy hệ tử trờn một trường cú bậc lớn hơn một, chỳng ta cũng chỉ cú một vài tiờu chuẩn đủ để xỏc định tớnh bất khả qui của nú. Ở một mức độ nào đú sẽ đơn giản hơn nếu bậc của nú bằng 2hoặc bằng 3. Núi như thế để thấy rằng việc xỏc định tớnh bất khả qui trờn một trường của một đa thức cú từ hai biến trở lờn khụng hề đơn giản!