Nhận xét: Dùng Mathematical lập ra một thư viện giúp đỡ giáo viên và học sinh kiểm tra kết quả một cách nhanh chóng.
Hướng dẫn giải bài 2: Lời giải cụ thể:
+ Xét hệ gồm hai viên bi 1 và 2.
+Theo phương ngang : các lực tác dụng lên hệ gồm trọng lực và phản lực cân bằng nhau nên hệ trên là một hệ kín.
- Chọn chiều dương là chiều chuyển động của viên bi thứ nhất trước va chạm. - Động lượng của hệ trước va chạm: p p1 p2 m.v1
- Động lượng của hệ sau va chạm: ' 2 ' 1 ' 2 ' 1 ' . .v mv m p p p - Theo định luật bảo toàn động lượng: '
2 ' 1 p p 2' ' 1 1 . . .v mv mv m 2' ' 1 1 v v v (1)
1. Hai viên bi chuyển động trên cùng một đường thẳng: - Chiếu (1) xuống chiều dương như đã chọn: - Ta có : ' 2 ' 1 1 v v v v v v' 10 5 5m/s 1 1 ' 2
Vậy vận tốc của viên bi thứ hai sau va chạm là 5m/s. 2. Hai viên bi hợp với phương ngang một góc:
a) 0 45 : (hình vẽ) Theo hình vẽ: v v v 7,1m/s 2 2 . 10 cos . 1 ' 2 ' 1 t ' v ' 1 v 1 v O
Vậy vận tốc của hai viên bi sau va chạm là 7,1m/s. b) 0 60 , 0 30 : (n.h.v) Theo hình vẽ: ' 2 ' 1, v v vng góc với nhau. Suy ra: v v 5m/s 2 1 . 10 cos . 1 ' 1 và v v 8,7m/s 2 3 . 10 cos . 1 ' 2
Vậy sau va chạm: Vận tốc của viên bi thứ nhất là 5m/s. Vận tốc của viên bi thứ hai là 8,7m/s.
Dùng Mathematical Thực hiện câu lệnh và kết quả như sau:
(*Bai 2 *)
Clear["Global`*"] (*Cau a- Mo phong*)
sl = {v1 -> 10., v12 -> 5, al1 -> 45. Degree, be1 -> 45. Degree, al2 -> 60. Degree, be2 -> 30. Degree}
sol1 = Solve[m v1 == m v12 + m v22, v22] // Flatten v22 = v22 /. sol1 /. sl;
Print["Van toc cua vien bi 2 sau va cham: ", v22, "m/s"] l = 20;
t1 = Graphics[Line[{{0, 0}, {3 l, 0}}]];
t2 = Graphics[{PointSize[0.03], Hue[0.6], Point[{0, 0}]}]; t3 = Graphics[{PointSize[0.03], Hue[0.4], Point[{l, 0}]}]; t0 = l/v1 /. sl x1[t_] := v1 t /; t <= t0 x1[t_] := l + v12 t /; t > t0 x2[t_] := l /; t <= t0 x2[t_] := l + v22 t /; t > t0 Animate[Show[t1,
Graphics[{PointSize[0.03], Hue[0.6], Point[{x1[t] /. sl, 0}]}, PlotRange -> {{0, 3 l}, {-10, 10}}],
Graphics[{PointSize[0.03], Hue[0.4], Point[{x2[t] /. sl, 0}]}]], {t, 0, 2 t0, t0/20}]
Kết quả:
Van toc cua vien bi 2 sau va cham: 5. m/s
' 1 v 1 v ' 2 v O
Hình 2.11. Mơ phỏng cho bài tập 2a
(*cau b*)
Clear["Global`*"]
sl = {v1 -> 10., al1 -> 45. Degree, be1 -> 45. Degree, al2 -> 60. Degree, be2 -> 30. Degree};
eq1 = m v1^2 == m v12^2 + m v22^2;
eq2 = m v1 == m v12 Cos[al1] + m v22 Cos[be1]; sol2 = Solve[{eq1, eq2}, {v12, v22}] // Flatten; v12 = Round[v12 /. sol2[[1]] /. sl, 0.1];
v22 = Round[v22 /. sol2[[2]] /. sl, 0.1];
Print["Van toc vien bi 1 sau va cham: ", v12, " m/s"] Print["Van toc vien bi 2 sau va cham: ", v22, " m/s"] (*mo phong*) l = 20; t0 = l/v1 /. sl; x1[t_] := v1 t /; t <= t0 x1[t_] := l + v12 t Cos[al1] /; t > t0 y1[t_] := 0 /; t <= t0 y1[t_] := v12 t Sin[al1] /; t > t0 x2[t_] := l; t <= t0 x2[t_] := l + v22 t Cos[be1] /; t > t0 y2[t_] := 0 /; t <= t0 y2[t_] := v22 t Sin[be1] /; t > t0 t1 = Graphics[Line[{{0, 0}, {3 l, 0}}]]; Animate[Show[t1, Graphics[{PointSize[0.03], Hue[0.6], Point[{x1[t] /. sl, y1[t] /. sl}]}, PlotRange -> {{0, 3 l}, {-60, 60}}], Graphics[{PointSize[0.03], Hue[0.4], Point[{x2[t] /. sl, -y2[t] /. sl}]}]], t
{t, 0, 3 t0, t0/20}] Kết quả:
Van toc vien bi 1 sau va cham: 7.1 m/s Van toc vien bi 2 sau va cham: 7.1 m/s
Hình 2.12. Mô phỏng cho bài tập 2b
(*cau c*)
Clear["Global`*"]
sl = {v1 -> 10., al1 -> 45. Degree, be1 -> 45. Degree, al2 -> 60. Degree, be2 -> 30. Degree};
eq1 = m v1^2 == m v12^2 + m v22^2;
eq2 = m v1 == m v12 Cos[al2] + m v22 Cos[be2]; sol2 = Solve[{eq1, eq2}, {v12, v22}] // Flatten; v12 = Round[v12 /. sol2[[1]] /. sl, 0.1];
v22 = Round[v22 /. sol2[[2]] /. sl, 0.1];
Print["Van toc vien bi 1 sau va cham: ", v12, " m/s"] Print["Van toc vien bi 2 sau va cham: ", v22, " m/s"] (*mo phong*) l = 20; t0 = l/v1 /. sl; x1[t_] := v1 t /; t <= t0 x1[t_] := l + v12 t Cos[al2] /; t > t0 y1[t_] := 0 /; t <= t0 y1[t_] := v12 t Sin[al2] /; t > t0 x2[t_] := l; t <= t0 x2[t_] := l + v22 t Cos[be2] /; t > t0 t
y2[t_] := 0 /; t <= t0
y2[t_] := v22 t Sin[be2] /; t > t0
t1 = Graphics[Line[{{0, 0}, {3 l, 0}}]];
Animate[Show[t1, Graphics[{PointSize[0.03], Hue[0.6], Point[{x1[t] /. sl, y1[t] /. sl}]},
PlotRange -> {{0, 3 l}, {-70, 70}}], Graphics[{PointSize[0.03], Hue[0.4],
Point[{x2[t] /. sl, -y2[t] /. sl}]}]], {t, 0, 2 t0, t0/20}] Kết quả:
Van toc vien bi 1 sau va cham: 5. m/s t 2.
Hình 2.13. Mơ phỏng cho bài tập 2c Hướng dẫn giải bài 8: Hướng dẫn giải bài 8:
a. Lời giải cụ thể: Vì xe chuyển động đều nên lực kéo Fk của động cơ bằng lực ma sát của mặt đường:
Fk = Fms = k.N = kmg
Áp dụng cơng thức tính cơng suất : P = Fk.v => Fk= = = 3000(N) Từ đó hệ số ma sát của mặt đường bằng: k = =
. = 0,05 Công của lực ma sát là : Ams= - Fms.s = -3000. 500 = -1500000(J)
b. Gia tốc của xe trên quãng đường 300 m là : a = =
. = 0,16 (m/s2) Áp dụng định luật II Newton ta có:
Fk – Fms = m.a hay Fk = ma+kmg =3960 (N)
Công suất tức thời của động cơ ở cuối quãng đường là: P= Fk. = 3960. 14 = 55440 (W)
Cơng suất tồn phần của động cơ ở cuối quãng đường là:
Ptoàn phần = =
, = 61600 (W)
Vận tốc trung bình của xe trên quãng đường 300m là: = =
( )= = 12 ( )
Cơng suất trung bình của động cơ trên quãng đường 300 m là: = . = 47520 ( )
Dùng Mathematical Thực hiện câu lệnh và kết quả như sau:
(*Bai 8*) Clear["Global`*"] sl = {m -> 6000., l1 -> 500., v1 -> 10., p -> 30. 10^3, l2 -> 300., v2 -> 14., neta -> 0.9, g -> 10.}; (*Cau a*) eq1 = fms == k m g; eq2 = p == fms v1; eq3 = Ams == -fms l1;
sol = Solve[{eq1, eq2, eq3}, {k, fms, Ams}] // Flatten; k = k /. sol /. sl;
fms = fms /. sol /. sl; Ams = Ams /. sol /. sl; Print["He so ma sat= ", k] Print["Luc ma sat = ", fms, " N"]
Print[" Cong cua luc ma sat = ", Ams, " J"] (* Cau b*)
eq4 = a == (v2^2 - v1^2)/(2 l2); eq5 = fk - fms == m a;
eq6 = pt == fk v2;
sol1 = Solve[{eq4, eq5, eq6}, {a, fk, pt}] // Flatten; a = a /. sol1 /. sl;
fk = fk /. sol1 /. sl; pt = pt /. sol1 /. sl;
Print[" Luc keo o to= ", fk, " N"] Print[" Cong suat tuc thoi= ", pt, " J"]
Print[" Cong suat toan phan =", pt/neta /. sl, " J"] eq7 = vtb == l2 a/(v2 - v1);
eq8 = ptb == fk vtb;
sol2 = Solve[{eq7, eq8}, {vtb, ptb}] // Flatten;
Print["Van toc trung binh =", vtb /. sol2 /. sl, "m/s^2"] Print["Cong suat trung binh =", ptb /. sol2 /. sl, " W"] (*Mo phong*) t0 = l1/v1 /. sl x[t_] := v1 t /; t <= t0 x[t_] := l1 + v1 (t - t0) + a (t - t0)^2/2 /; t > t0 h1 = Graphics[Line[{{0, 0}, {1500, 0}}]] Animate[Show[h1,
Graphics[{PointSize[0.03], Hue[0.05], Point[{x[t] /. sl, 0}]}]], {t, 0, 2 t0, t0/50.}]
Kết quả:
He so ma sat= 0.05 Luc ma sat = 3000. N
Cong cua luc ma sat = -1.5×106 J Gia toc a= 0.16 m/s^2
Luc keo o to= 3960. N Cong suat tuc thoi= 55440. J Cong suat toan phan = 61600. J Van toc trung binh = 12. m/s^2 Cong suat trung binh = 47520. W
Hình 2.14. Mơ phỏng cho bài tập 8 Hướng dẫn giải bài 14: Hướng dẫn giải bài 14:
Lời giải cụ thể:
a. Tại vị trí điểm 3, khi h đạt giá trị tới hạn, phản lực N của đường tác dụng vào xe bằng 0, lúc đó ta có:
-N – mg = -ma = -m 0 – mg = -m = gR Mặt khác theo định luật bảo tồn cơ năng, ta có:
mgh = m = 2gh
Từ đó, suy ra: gR = 2gh h = = = 25 ( )
b. Sử dụng định luật bảo toàn cơ năng cho điểm 1 và điểm 4, ta có: mg (h+2R) = = 2 ( ℎ + 2 )
Khi h = thì = 5 = 5.10.0,5 =5 (m/s)
Dùng Mathematical Thực hiện câu lệnh và kết quả như sau:
(*Bai 14*)
Clear["Global`*"]
sl = {m -> 0.2, R -> 0.5, g -> 10.}; eq1 = m g == m v3^2/R;
eq2 = m g h == m v3^2/2;
sol = Solve[{eq1, eq2}, {h, v3}] // Flatten; h = h /. sol /. sl;
Print["Do cao h = ", h, " m"]
sol1 = Solve[m g (h + 2 R) == m v4^2/2, v4] // Flatten v4 = v4 /. sol1[[2]] /. sl;
Print[" Van toc v4 = ", v4, " m/s"] Kết quả:
Do cao h = 0.25 m Van toc v4 = 5. m/s
Hướng dẫn giải bài 15: Lời giải cụ thể:
a. Theo định luật bảo tồn năng lượng, ta có:
b. Cơng của lực ma sát bằng: = kmgs
Công này phải bằng động năng tại B hay bằng thế năng tại A, tức là: kmgs = mgR k = = = 0,333
Dùng Mathematical Thực hiện câu lệnh và kết quả như sau:
(*Bai 15*)
Clear["Global`*"]
sl = {R -> 100., l -> 300., g -> 9.8};
sol = Solve[m g R == m vb^2/2, vb] // Flatten; vb = vb /. sol[[2]] /. sl;
Print["Van toc tai B:", vb /. sol[[2]] /. sl, " m/s"] sol1 = Solve[m g R == k m g l, k] // Flatten; k = k /. sol1 /. sl;
Print["He so ma sat k= ", k /. sol1 /. sl] y[t_] := -g t^2/2 /; t <= 4.752 y[t_] := -100 /; t > 4.752 x[t_] := -Sqrt[R^2 - y[t]^2] /; t <= 4.752 x[t_] := vb (t - 4.752) - k g (t - 4.752)^2/2 /; t > 4.752 t1 = ParametricPlot[{x[t] /. sl, y[t] /. sl}, {t, 0, 20}, PlotRange -> {{-110, 350}, {0, -110}}]; Animate[Show[t1, Graphics[{PointSize[0.03], Hue[0.6], Point[{x[t] /. sl, y[t] /. sl}]}]], {t, 0, 20, 0.0001}] Kết quả:
Van toc tai B: 44.2719 m/s He so ma sat k= 0.333333
Hình 2.15. Mơ phỏng cho bài tập 15
t 100 100 200 300 100 80 60 40 20
Hướng dẫn giải bài 16: Lời giải cụ thể: A P V N O H M
Hình 2.16. Hình cho lời giải bài 16
Chọn gốc tính thế năng tại A.
Giả sử ở thời điểm t vật trượt xuống tới điểm M, được xác định bằng góc α ( như hình ). Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ( bỏ qua ma sát) tại A và tại M ta tìm được vận tốc của vật tại M:
= . => = 2g.AH = 2g.R(1-cosα)
Vật chịu tác dụng của hai lực: trọng lực ⃗ và phản lực ⃗ của mặt cầu. Theo hướng MO vật có gia tốc hướng tâm:
=
Áp dụng định luật II Newton và chiếu lên phương OM ta có: P.cosα – N = .
N = mgcosα - . = mgcosα – m. . ( α) =mg(3cosα-2)
Vật bắt đầu tách khỏi mặt cầu khi phản lực N triệt tiêu. Góc α0 ứng với vị trí đó được xác định bằng phương trình:
N=0 3cosα0-2 =0 cosα0=2/3
Vậy vị trí bắt đầu tách khỏi mặt cầu được xác định bởi góc α0 mà cosα0=2/3, hay bởi độ cao : OH=R. cosα0= . =60 (cm).
Vận tốc v0 của vật tại vị trí đó: = 2g. R(1 − cosα )= = 6
v0 =√6 =2,45 (m/s)
Dùng Mathematical Thực hiện câu lệnh và kết quả như sau:
(*Bai 16*)Clear["Global`*"] sl = {R -> 0.9, g -> 10.};
eq1 = v^2 == 2*g*R*(1 - cosa); eq2 = g*cosa == (v^2)/R;
sol = Solve[{eq1, eq2}, {v, cosa}] // Flatten v = v /. sol[[4]] /. sl;
cosa = cosa /. sol /. sl;
cosa]
Print["van toc cua vat tai vi tri tach khoi mat cau la v = ", v, " \ m/s"]
(*Mo phong*) y[t_] = R - g t^2/2; x[t_] = Sqrt[R^2 - y[t]^2]
sol1 = Solve[y[t] == R cosa, t] // Flatten t0 = t /. sol1[[2]] /. sl h1 = Graphics[Circle[{0, 0}, R /. sl]]; x1[t_] := x[t] /; t <= t0 x1[t_] := x[t0] /; t > t0 Animate[Show[h1, Graphics[{PointSize[0.03], Hue[0.9], Point[{x1[t] /. sl, y[t] /. sl}]}]], {t, 0., 2 t0, t0/40}]
Kết quả: vi tri bat dau tach khoi mat cau duoc xac dinh boi cosa = van toc cua vat tai vi tri tach khoi mat cau la v = 2.44949 m/s
Hình 2.17. Mơ phỏng cho bài 16
Hướng dẫn giải bài 17: Lời giải cụ thể:
a. Tại vị trí cân bằng O, quả cầu chịu tác dụng của trọng lực ⃗ và lực căng ⃗của dây. Hợp lực ⃗ + ⃗ của chúng là lực hướng tâm, có độ lớn , và hướng lên trên.
V0 x o A H M m y
Hình 2.18. Hình cho lời giải bài 17
Áp dụng định luật II Newton và chiếu phương trình lên phương OC, ta được: T-mg = hay T=m(g+ )
Để tìm vận tốc quả cầu tại O, áp dụng định luật bảo toàn cơ năng: = (1 − α) => = 2 (1 − α)
Từ đó: T=m(g+ ) = mg(3- 2 α)
Thay số m=50g=0,05kg; α =600 ; g = 10m/s2 , ta được : T=1 N
b. Sau khi dây đứt quả cầu chuyển động như một vật được ném ngang với vận tốc ban đầu v0 . Có v0 = 2 (1 − α) =√10 m/s
Chọn trục Ox nằm ngang và trục Oy thẳng đứng hướng xuống dưới ( như hình), ta có phương trình chuyển động của quả cầu:
x= v0.t =√10t y= =5.t2 =5(
√ ) = = 0,5. Đây là phương trình cần tìm, quỹ đạo là đường parabol.
c. Theo đề bài O cách mặt đất H=0,8m. Như vậy, quả cầu chạm đất tại M với tọa độ yM = H = 0,8m.
Từ phương trình quỹ đạo ta tìm được : xM = . =√1,6(m) ≈1,26 (m). Để tính vận tốc quả cầu tại M ta áp dụng định luật bảo toàn cơ năng:
.
Dùng Mathematical Thực hiện câu lệnh và kết quả như sau: (*Bai 17*) Clear["Global`*"] sl = {m -> 0.05, l -> 1., g -> 10., h -> 0.8, al -> 60. Degree}; (*Cau a*) eq1 = T - m g == m v0^2/l; eq2 = m g l (1 - Cos[al]) == m v0^2/2; sol = Solve[{eq1, eq2}, {v0, T}] // Flatten; T = T /. sol[[1]] /. sl;
v0 = v0 /. sol[[4]] /. sl
Print["Suc cang day T= ", T, " N"] Print["Van toc v0 = ", v0, " m/s"] (*Cau b*) x[t_] = v0 t; y[t_] = g t^2/2; (*Eliminate[{x==x[t],y==y[t]},t]//Simplify*) Solve[x1 == x[t], t] // Flatten; y1 = y[t] /. %
Print["Phuong trinh quy dao: y1 =", % /. sl] (*Cau c*)
Solve[y[t] == h, t] // Flatten; t1 = t /. %[[2]] /. sl;
Print["Toa do xh tai diem roi= ", x[t1], " m"] Print["Van toc tai diem roi = ",
Sqrt[x'[t1]^2 + (y'[t1] /. sl)^2], " m/s"] (* Mo phong*)
T1 = 2 Pi Sqrt[l/g] /. sl; a[t_] = 60 Cos[2 Pi/T1 t];
x2[t_] := -l Sin[a[t] Degree] /; t <= T1/4 x2[t_] := 0 /; t > T1/4
y2[t_] := -l Cos[a[t] Degree]; t <= T1/4 y2[t_] := 0 /; t > T1/4
x3[t_] := -l Sin[a[t] Degree] /; t <= T1/4 x3[t_] := x[t - T1/4] /; t > T1/4
y3[t_] := -l Cos[a[t] Degree]; t <= T1/4 y3[t_] := -l - y[t - T1/4] /; t > T1/4 h1 = Graphics[Line[{{-1.5 l /. sl, 0}, {1.5 l /. sl, 0}}]]; h2 = Graphics[Line[{{0, 0}, {0, -(l + h) /. sl}}]]; h3 = Graphics[ Line[{{-1.5 l /. sl, -(l + h) /. sl}, {1.5 l /. sl, -(l + h) /. sl}}]]; Animate[Show[h1, h2, h3, Graphics[{PointSize[0.03], Hue[0.6], Point[{x3[t] /. sl, y3[t] /. sl}]}],
Graphics[{Thick, Line[{{0, 0}, {x2[t] /. sl, y2[t] /. sl}}]}] ], {t, 0, T1/4 + t1, T1/60.}]
Kết quả:
Suc cang day T= 1. N Van toc v0 = 3.16228 m/s
Phuong trinh quy dao: y1 = 0.5 x12 Toa do xh tai diem roi= 1.26491 m Van toc tai diem roi = 5.09902 m/s
Hình 2.19. Mơ phỏng cho bài 17
Hướng dẫn giải bài 19: Lời giải cụ thể:
Năng lượng của vật khi ở trên mặt bàn: E1 = mgh + 0 = mg. (0,6)
Năng lượng của vật khi nén lò xo xuống còn 10 cm:
E2 = mg.(0,1) + (0,15) Theo định luật bảo toàn cơ năng, ta có:
E1 = E2 m.9,8.(0,6) = mg.(0,1) + . 2,4. (0,15) m = 5,51 (kg)
Dùng Mathematical Thực hiện câu lệnh và kết quả như sau:
(*Bai 4*)
Clear["Global`*"]
sl = {h -> 0.6, k -> 2.4, l0 -> 0.25, l -> 0.1, g -> 9.8}; eq = m g h == m g l + k (l0 - l)^2/2;
sol = Solve[eq, m] // Flatten; m = m /. sol /. sl;
Print["Khoi luong m = ", m, " kg"] Kết quả:
Khoi luong m = 0.0055102 kg
Hướng dẫn giải bài 20: Lời giải cụ thể:
a. Gọi khối lượng của xe là m , gia tốc là a. Từ trạng thái đứng yên đến khi trượt
được một khoảng s, động năng của xe bằng:
đ = 1
2 =
1
2 (2 ) = . . Thay số vào ta được: đ = 1000 (J)
b. Công thực hiện được là do thế năng = ℎ tạo nên, với h = l.sinα. Từ đó ta tính được = 2450 ( ) .
Lực khác tác dụng vào xe trượt là lực ma sát. Ta gọi cơng đó là . Vì độ biến thiên cơ năng bằng công của lực ma sát, nên ta có:
= đ− = 1000 – 2450 = -1450 (J). Vậy, công bỏ ra để thắng lực ma sát là: 1450 J c. Lực ma sát được xác định bằng công thức: = . => = = = 145 (N)
d. N =mg.cosα ; = . =>k = =
. , . , = 0,342 e. Trên mặt phẳng nằm ngang, lực ma sát bằng : ′ =
Công chống lại lực ma sát trên đoạn đường s’ bằng ′ . ′ = ′ . Công này phải bằng động năng tại chân mặt phẳng nghiêng:
′ = đ => ′ = đ
=
, . . , = 5,97 ( )
Dùng Mathematical Thực hiện câu lệnh và kết quả như sau:
(*Bai 20*) Clear["Global`*"] sl = {m -> 50., al -> 30. Degree, a -> 2., l -> 10., g -> 9.8};