1.4.1 .Định hướng chung
2.1. Kiến thức khoa học về daođộng cơ học
2.1.2. Daođộng điều hoà
Đây là loại dao động có nhiều ứng dụng nên đƣợc nghiên cứu đầy đủ về động học, động lực học và năng lƣợng.
2.1.2.1. Đặc điểm động học của dao động điều hồ
Phƣơng trình vi phân x’’ + ω2 x = 0
Phƣơng trình chuyển động x = A cos (ωt + φ) hoặc x = A sin (ωt + φ) Vận tốc dao động v = x' = - ωA sin (ωt + φ)
Gia tốc dao động a = v' = - ω2 x Trong đó:
- x: là li độ - độ lệch của vật dao động so với vị trí cân bằng; - A: là biên độ dao động - bằng li độ cực đại của vật dao động; - ω: là tần số góc của dao động ;
- (ωt + φ) là pha dao động, xác định trạng thái của vật dao động tại thời điểm t bất kỳ ;
- φ là pha ban đầu của dao động.
Khái quát: trong dao động điều hoà li độ, vận tốc, gia tốc biến thiên điều hồ với cùng một tần số góc.
Chu kỳ dao động T (đo bằng giây ký hiệu s): là khoảng thời gian ngắn nhất để trạng thái chuyển động lặp lại nhƣ cũ.
Tần số dao động f (đo bằng Hec ký hiệu Hz hoặc s-1): là số dao động toàn phần thực hiện trong 1s;
Tần số góc (hay vận tốc góc) ω (đo bằng radian/giây ký hiệu rad/s): là đại lƣợng trung gian cho phép xác định chu kỳ và tần số của dao động,
T f 2 2
.
2.1.2.2. Đặc điểm động lực học của dao động điều hoà
Vật dao động điều hoà nếu chịu tác dụng của lực điều hồ là lực có đặc điểm ln hƣớng về vị trí cân bằng và có độ lớn tỷ lệ với li độ F = - kx
- Lực điều hồ có bản chất lực đàn hồi thì k là độ cứng của vật đàn hồi (lò xo hoặc hệ lò xo trong con lắc lò xo).
- Lực điều hồ khơng có bản chất lực đàn hồi thì k đƣợc xem là "độ cứng tƣơng đƣơng". (Ở con lắc đơn k mg
l , ở con lắc vật lý hd mg k l với lhd
là chiều dài hiệu dụng của con lắc vật lý lhd I md
, I là momen quán tính).
2.1.2.3. Đặc điểm năng lượng của dao động điều hoà
- Động năng của vật dao động điều hoà Wđ = 1 2 2mv - Thế năng của vật dao động điều hoà 1 2
2
t
W kx
- Cơ năng của vật dao động điều hoà W = W đ + Wt = const (hằng số)
Vật dao động điều hoà, động năng và thế năng của vật biến thiên điều hoà với cùng tần số (gấp hai lần tần số của li độ, vận tốc và gia tốc của vật);
khi động năng tăng thì thế năng giảm và ngƣợc lại nhƣng tổng của chúng là cơ năng đƣợc bảo tồn.
2.1.2.4. Mơ hình vật dao động điều hồ
Để nghiên cứu dao động điều hồ thì ngƣời ta thƣờng sử dụng các mơ hình vật dao động điều hồ cụ thể. (xem bảng 2. 1).
Bảng 2.1. Đặc trưng chính của một số hệ dao động
Con lắc lò xo Con lắc đơn Con lắc vật lý Cấu trúc Hòn bi (m) gắn với lò xo (k) Hòn bi (m) treo ở đầu sợi dây Vật rắn (m, I) quay quanh trục nằm ngang Vị trí cân bằng Lị xo khơng giản
(nằm ngang) Dây treo thẳng đứng QG thẳng đứng
Lực tác dụng Lực đàn hồi của lị xo có giá trị F = - kx x: li độ thẳng Trọng lực của hòn bi và lực của dây treo
F = Pt = mg s l s: li độ cong Trọng lực của vật rắn và lực của trục quay có momen M = - mgdsinα α: li độ góc Phƣơng trình động lực học '' 2 0 x x '' 2 0 s s '' 2 0 Tần số góc k m g l mgd I Phƣơng trình dao động x = A cos (ωt + φ) x: trong giới hạn đàn hồi s = so cos (ωt + φ) l So . α = αo cos (ωt + φ)
Cơ năng W=12kA2 12m2A2 W = mgl(1-cos o) 12 o2
g m s
l
Hình 2. 1 Biểu diễn daođộng điều hoà bằng véc tơ quay
O
x = A cos (t + ) x M
2.1.2.5. Những phương pháp biểu diễn dao động điều hoà
Ngoài cách biểu diễn dao động điều hồ bằng những phƣơng trình lƣợng giác dạng sin và cosin, chúng ta cịn có thể dùng hai phƣơng pháp khác: phƣơng pháp hình học và phƣơng pháp số phức.
- Phƣơng pháp hình học: Biểu diễn dao động điều hoà bằng véc tơ quay (véc tơ Frexnen)
- Dao động điều hoà x = A cos (ωt + φ) đƣợc biểu diễn bằng một véc tơ Ar (hình 2.1) Gốc tại gốc tạo độ O của trục ox, hƣớng hợp với 0x một góc bằng pha ban đầu φ, độ dài tỷ lệ với biên độ dao động.
Chính vì vậy mà pha của dao động cũng có khi đƣợc gọi là góc pha, và ω đƣợc gọi là tần số vịng.
- Phƣơng pháp số phức
Theo lý thuyết về số phức, ta biết rằng một số phức a có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng:
a = A. eiα =A (cosα +i. sinα) = Acosα +i. Asinα Trong đó Acosα là phần thực và i. Asinα là phần ảo.
Khi ta cộng hai số phức với nhau, thì phần thực của chúng cộng với nhau và phần ảo của chúng cộng với nhau.
Một dao động điều hoà dạng x = Acos (ωt+φ) có thể đƣợc biểu diễn bằng phần thực của số phức: a = A. ei(ωt +φ) hoặc a = A. e-i(ωt +φ)
Hình 2.1 Biểu diễn dao động điều hịa bằng véc tơ quay
Nếu hai dao động điều hoà đƣợc biểu diễn bằng những phần thực của hai số phức a và b, và nếu số phức c là tổng của a và b, thì phần thực của c sẽ biểu diễn tổng hợp của hai dao động nói trên.
Phƣơng pháp hình học và phƣơng pháp số phức giúp chúng ta tổng hợp những dao động điều hoà một cách đơn giản. Chú ý rằng nếu ta có một dao động dạng sin thì chúng ta cũng có thể chuyển về dạng cosin để áp dụng phƣơng pháp trên.
2.1.2.6. Tổng hợp dao động điều hồ
Bằng phƣơng pháp hình học (sử dụng giản đồ Fre-nen)
Hình 2. 2 Tổng hợp hai dao động điều hồ cùng phương, cùng tần số
Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phƣơng cùng tần số trong cùng một hệ quy chiếu ta đƣợc dao động tổng hợp là một dao động điều hoà cùng của dao động tổng hợp là: A2 = A12 + A22 + 2A1A2cos(φ1 +φ2) tanφ = 1 1 2 2 1 1 2 2 sin sin os os A A A c A c
Trong đó A1, A2, φ1, φ2 là biên độ và pha ban đầu của các dao động thành phần.
Trên đây là nội dung kiến thức khoa học về “dao động cơ học” còn nội dung kiến thức giảng dạy thì cịn phụ thuộc vào tính chất sƣ phạm và trình độ
P P1 P2 x M1 M2 M O
lứa tuổi. Việc xác định mục tiêu cụ thể cần đạt đƣợc khi dạy học các kiến thức chƣơng dao động cơ là rất quan trọng.