Phân tích nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong các SGK ở

CHƢƠNG l : CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

2.1.Phân tích nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong các SGK ở

các SGK ở nƣớc ta hiện nay

Trong khuôn khổ luận văn chúng tôi chỉ phân tích nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong các SGK hiện đang đƣợc sử dụng ở các trƣờng THPT hiện nay. Bao gồm các SGK Giải tích 12 - sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000, SGK [1], SGK Giải tích 12 - nâng cao, năm 2008, SGK [4], SGK Giải tích 12 - cơ bản - năm 2008, SGK [7]. Trong đó chúng tơi chú trọng phân tích nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của bộ SGK [7].

2.1.1. Nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong SGK Giải tích 12- sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000, SGK [1]

Trong SGK [1], nội dung nguyên hàm, tích phân đƣợc trình bày theo trình tự ngun hàm, tích phân, các phƣơng pháp tính tích phân và ứng dụng của tích phân.

Để định nghĩa nguyên hàm, SGK [1] đã nêu ra một tình huống có vấn đề nhƣ sau: Tìm phƣơng trình chuyển động của một chất điểm đƣợc xác định theo thời gian t: s = f(t) khi biết vận tốc tức thời tại thời điểm t là: v(t) = f’(t). Tức là tìm hàm số s = f(t) khi biết đạo hàm f'(t) của nó. Một cách tổng qt, bài tốn đặt ra nhƣ sau: Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a, b), tìm tất cả các hàm số F(x) sao cho trên khoảng đó: F'(x) = f(x). Nhƣ vậy hàm số F(x) đƣợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu x (a;b) ta có: F'(x) = f(x).

Với nội dung ngun hàm, ngồi việc giải các bài tốn nguyên hàm chỉ dựa vào các tính chất của nguyên hàm, bảng các nguyên hàm cơ bản thì việc tính nguyên hàm bằng phƣơng pháp đổi biến số cũng đƣợc đề cập đến.

Với khái niệm tích phân, SGK [1] xuất phát từ bài tốn tìm diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đƣờng cong. Việc giải bài toán trên đƣợc đƣa về bài tốn tính diện tích của hình thang cong (hay tam giác cong). Các tính chất của tích phân đƣợc trình bày có hệ thống, trong đó có tính chất bất đẳng thức tích phân.

Việc tính tích phân đƣợc thực hiện bởi công thức Newton - Leibniz. Tuy nhiên, trong nhiều trƣờng hợp ta phải sử dụng các phƣơng pháp khác (PP đổi biến số, PP lấy tích phân từng phần).

Ứng dụng của tích phân đƣợc thể hiện qua bài tốn về tính diện tích của hình phẳng và thể tích khối trịn xoay.

Nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng đƣợc trình bày trong chƣơng III và đƣợc phân phối thời lƣợng 23 tiết với nội dung sau:

Bảng 2.1. CT nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng, SGK [1]

§1. Nguyên hàm (3tiết) - Bài tập (2 tiết) §2. Tích phân (3tiết) - Bài tập (2 tiết)

§3. Các phƣơng pháp tính tích phân (2 tiết) - Bài tập (2 tiết)

§4. Ứng dụng hình học và vật lý của tích phân (3 tiết) - Bài tập (3 tiết) Ôn tập - Kiểm tra (3 tiết )

2.1.2. Nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong SGK Giải tích 12 - nâng cao năm 2008, SGK [4]

Nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng đƣợc trình bày trong chƣơng III. Trong bộ sách này, các tác giả trình bày theo trình tự và nội dung về cơ bản giống bộ SGK [1]. Để tìm ngun hàm, ngồi sử dụng định nghĩa và các tính chất, tác giả đề cập đến hai phƣơng pháp là: PP đổi biến số và PP lấy nguyên hàm từng phần.

Khái niệm tích phân đƣợc trình bày thơng qua hai bài tốn: Tính diện tích hình thang cong và tính qng đƣờng đi đƣợc của một vật. Các tính chất của tích phân đƣợc trình bày có hệ thống nhƣng đã loại bỏ đi tính chất bất đẳng thức tích phân, tính chất này chỉ đƣợc đề cập đến dƣới dạng một bài tập.

Các ứng dụng hình học của tích phân đƣợc trình bày thơng qua hai bài tốn là: Tính diện tích hình phẳng và tính thể tích của vật thể. Ứng dụng vật lý của tích phân chỉ đƣợc đề cập đến qua một số bài tập vận dụng.

Nhƣ vậy với nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng so với bộ SGK [1] thì bộ SGK [4] đƣợc các tác giả trình bày theo hƣớng tinh giản, hiện đại hơn nhƣng vẫn đảm bảo đầy đủ nội dung yêu cầu đề ra.

Nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của bộ SGK [4] đƣợc phân phối thời lƣợng 20 tiết, cụ thể nhƣ sau:

Bảng 2.2. CT nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng, SGK [4]

§1 Nguyên hàm (2tiết)

§2. Một số phƣơng pháp tìm nguyên hàm - Luyện tập (3 tiết) §3. Tích phân (3tiết)

§4. Một số phƣơng pháp tính tích phân - Luyện tập (4 tiết) §5 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng (2 tiết) §6. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể -Luyện tập (4 tiết) Ôn tập và kiểm tra (2 tiết)

2.1.3. Nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong SGK giải tích 12 - cơ bản - năm 2008, SGK [7]

Trong SGK [7] nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng đƣợc trình bày ở chƣơng III. Về trình tự và nội dung, cơ bản giống nhƣ SGK [4]. Tuy nhiên, khái niệm nguyên hàm đƣợc xuất phát từ bài tốn tìm một hàm số khi biết đạo hàm của nó trên một khoảng, nửa khoảng hay một đoạn. Cụ thể, cho hàm số f(x) xác định trên K (với K là khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn). Hàm số F(x) dƣợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x),

x  K . Các tính chất (có 3 tính chất) và các phƣơng pháp cơ bản tính nguyên hàm (PP đổi biến, PP lấy nguyên hàm từng phần) đƣợc đề cập đầy đủ. Khái niệm tích phân đƣợc xây dựng thơng qua bài tốn tính diện tích hình thang cong. Để tính tích phân, ngồi việc sử dụng định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân (có 3 tính chất cơ bản) thì PP đổi biến số và PP lấy tích phân từng phần đƣợc sử dụng trong nhiều bài tốn tính tích phân.

Ứng dụng hình học của tích phân đƣợc trình bày cụ thể và chi tiết qua hai bài tốn: tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể. Phần ứng dụng vật lý của tích phân khơng đƣợc đề cập đến.

Nhƣ vậy, so với bộ SGK [4] thì bộ sách này đƣợc các tác giả biên soạn theo hƣớng tinh giản hơn để phù hợp với trình độ, kỹ năng của học sinh ban cơ bản nhƣng vẫn đảm bảo đầy đủ nội dung kiến thức trọng tâm.

Trong bộ SGK [1], kí hiệu  f(x) dx dùng để chỉ họ tất cả các nguyên

hàm của f(x), còn trong bộ SGK [4] và SGK [7] thì kí hiệu  f (x) dx còn dùng để chỉ một nguyên hàm bất kỳ của hàm số f(x), tức là  f ( x) dx là một (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

hàm số thông thƣờng chứ khơng phải là một tập hợp nữa. Nói cách khác, ta coi hai hàm số sai khác nhau một hằng số là một hàm số. Khi đó nguyên hàm của f là duy nhất và đƣợc ký hiệu bởi  f(x)dx . Với cách hiểu nhƣ trên cho

ta thấy mối liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm thông qua công thức Newton-Leibniz: ( ) ( ) b b a a f x dxF x

 . Nhƣ vậy tích phân đƣợc định nghĩa thông qua nguyên hàm nhờ công thức Newton- Leibniz. Tuy nhiên, về mặt lịch sử khơng đƣợc chính xác, vì khái niệm tích phân đƣợc định nghĩa thơng qua giới hạn của tổng tích phân và độc lập với khái niệm nguyên hàm. Việc không đƣa vào tổng tích phân làm cho HS không thấy đƣợc bản chất đích thực của phép tính tích phân từ đó phải thừa nhận hàng loạt những ứng dụng của tích phân nhƣ tính diện tích của hình phẳng, thể tích của vật thể, quãng đƣờng đi đƣợc của một vật, ... Đồng thời cũng khó cho GV giải thích cho HS khi dùng các kí hiệu ( ) , ( )

b

a

f x dx f x dx

  để chỉ các nguyên hàm và tích phân trong khi nếu khái niệm tích phân đƣợc định nghĩa bằng tổng tích phân thì các kí hiệu ngun hàm và tích phân xuất hiện rất tự nhiên.

Sự khác nhau giữa SGK [4] và SGK [7] chủ yếu ở phần kỹ năng, SGK [4] yêu cầu HS có kỹ năng tìm ngun hàm, tích phân của các hàm số khơng q phức tạp, tính diện tích các hình và thể tích các vật thể có hình dạng khơng phức tạp thì SGK [7] chỉ u cầu HS có kỹ năng tìm ngun hàm, tính tích phân của các hàm số đơn giản, tính diện tích các hình và thể tích các vật thể có hình dạng khá đơn giản.

Nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của bộ SGK [7] đƣợc phân phối thời lƣợng 16 tiết, cụ thể nhƣ sau:

Bảng 2.3 CT nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng, SGK [7]

§1: Ngun hàm (4 tiết) §2: Tích phân ( 6tiết)

§3: Ứng dụng tích phân trong hình học (4 tiết) Ôn tập - kiểm tra (2 tiết)

Nhƣ vây, qua phân tích các bộ SGK trên cho thấy nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng đƣợc trình bày trong chƣơng III - SGK Giải tích 12. Nội dung này bao gồm ba phần và đƣợc tóm tắt trong bảng sau:

Bảng 2.4. Tóm tắt nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng trong các bộ SGK hiện nay

Ng uyên hàm Nguyên hàm - Định nghĩa - Tính chất - Bảng nguyên hàm của một số hàm số thƣờng gặp Các phƣơng pháp tính nguyên hàm

- Phƣơng pháp đổi biến số

- Phƣơng pháp lấy nguyên hàm từng phần Tíc h phân Tích phân - Định nghĩa - Tính chất Các phƣơng pháp tính tích phân

- Phƣơng pháp đổi biến số

- Phƣơng pháp lấy tích phân từng phần Ứn g dụng Ứng dụng hình học - Tính diện tích hình phẳng - Tính thể tích vật thể

Ứng dụng vật lí

Tính quãng đƣờng và vận tốc chuyển động