Để giải bài toán tối ưu đa mục tiêu, thơng thường người ta tìm cách đưa nó về bài toán đơn mục tiêu và giải theo các phương pháp tối ưu thông thường. Một số phương pháp cho phép đưa bài toán tối ưu đa mục tiêu về bài toán tối ưu đơn mục tiêu như: phương pháp ràng buộc, phương pháp tổng trọng số, phương pháp tổng trọng số chấp nhận được…[10], [11], [49], [53].
Phương pháp ràng buộc giải bài toán tối ưu đa mục tiêu là phương pháp tiến hành cực tiểu một hàm mục tiêu trong số các hàm mục tiêu, trong khi các mục tiêu khác được chuyển thành ràng buộc. Khi đó, bài tốn cực tiểu các hàm mục tiêu:
1 2 3
min( ( ), ( ), ( ),..., M( ))
x R x x x x
(1.6) được đưa về cực tiểu hàm mục tiêu j( )x nào đó.
min( ( )) ( ) , 1,2,..., , j x R k k x x k M k j (1.7)
Phương pháp tổng trọng số đưa bài toán tối ưu đa mục tiêu về bài toán đơn mục tiêu bằng cách nhân mỗi hàm mục tiêu với một giá trị được gọi là trọng số ciR c, i 0 với i1,2,...,M. Hàm mục tiêu tổng quan được xây dựng theo biểu thức sau:
1 ( ) ( ) M i i i x c x (1.8) Việc giải bài toán tối ưu đa mục tiêu được đưa về giải bài toán đơn mục tiêu với hàm mục tiêu là ( )x . Các trọng số tương ứng với mỗi hàm mục tiêu được chọn phụ thuộc vào độ ưu tiên của mỗi hàm mục tiêu trong bài toán và thường được chuẩn hóa về dạng
1 1 M i i c .
Có nhiều thuật tốn, phương pháp tối ưu khác nhau có thể được sử dụng để giải bài toán tối ưu đa mục tiêu biên dạng khí động KCB, như: các phương pháp dựa trên mô tả các quy luật tự nhiên, các phương pháp tối ưu dựa trên cơ sở đạo hàm, phương pháp Monte-Carlo...
1.1.2.1. Các phương pháp dựa trên mô tả các quy luật tự nhiên
Nhóm các phương pháp dựa trên việc mơ tả các q trình tự nhiên dựa trên việc xác định các hàm mục tiêu và ràng buộc khơng địi hỏi quan hệ tường minh theo các biến thiết kế. Trong nhóm này có các phương pháp chính là: thuật tốn tiến hóa vi phân, thuật tốn di truyền, tối ưu bầy đàn, thuật toán đàn kiến, thuật tốn mơ phỏng luyện kim... Dưới đây chỉ xét một số phương pháp chính.
ra bởi Holland [24] vào những năm 1960 và nó đã được mô tả và phát triển bởi Goldberg vào năm 1989. Thuật toán di truyền cũng như các thuật tốn tiến hóa nói chung, hình thành dựa trên quan niệm cho rằng q trình tiến hóa tự nhiên là q trình hồn hảo nhất, hợp lý nhất và tự bản thân nó đã mang tính tối ưu. Q trình tiến hóa tối ưu ở chỗ thế hệ sau bao giờ cũng tốt hơn thế hệ trước. Tiến hóa tự nhiên được duy trì nhờ hai q trình cơ bản là sinh sản và chọn lọc tự nhiên. Xuyên suốt quá trình tiến hóa tự nhiên, các thế hệ mới ln được sinh ra để bổ sung thay thế thế hệ cũ. Cá thể nào phát triển tốt hơn, thích ứng hơn với mơi trường sẽ tồn tại. Cá thể nào khơng thích ứng được với mơi trường sẽ bị đào thải. Các cá thể mới sinh ra trong q trình tiến hóa nhờ sự lai ghép ở thế hệ cha mẹ. Một cá thể mới có thể mang những tính trạng của cha mẹ (di truyền), cũng có thể mang những tính trạng hồn toàn mới (đột biến). Di truyền và đột biến là hai cơ chế có vai trị quan trọng như nhau trong q trình tiến hóa. Các thuật tốn tiến hóa tuy có những điểm khác biệt nhưng đều mơ phỏng bốn q trình cơ bản: lai ghép, đột biến, sinh sản và chọn lọc tự nhiên. Sơ đồ tối ưu theo GA được thể hiện như trên Hình 1.1.
Điểm khác biệt quan trọng giữa GA với các phương pháp tìm kiếm tối ưu khác là nó ln duy trì và xử lý một tập hợp các lời giải, trong khi các phương pháp khác chỉ xử lý một điểm trong khơng gian tìm kiếm. Chính vì vậy mà GA mạnh hơn và hiệu quả hơn các phương pháp khác [14]. Một số phương pháp được phát triển cho phép tìm kiếm tập nghiệm Pareto một cách trực tiếp sử dụng GA như MOGA, SPEA, NSGA, NSGA-II… [11], [22], [32].
Phương pháp tối ưu bầy đàn (Particle swarm optimization - PSO) là một trong những thuật toán xây dựng dựa trên khái niệm trí tuệ bầy đàn để tìm kiếm lời giải cho các bài toán tối ưu. Thuật toán phương pháp PSO [25] được khởi tạo bằng một nhóm cá thể ngẫu nhiên và sau đó tìm nghiệm tối ưu bằng cách cập nhật các thế hệ. Trong mỗi thế hệ, mỗi cá thể được cập nhật theo hai
vị trí tốt nhất. Thứ nhất là vị trí tốt nhất mà nó đã từng đạt được cho đến thời điểm hiện tại. Thứ hai là vị trí tốt nhất trong tất cả q trình tìm kiếm của cả quần thể từ trước đến thời điểm hiện tại. Nói cách khác, mỗi cá thể trong quần thể cập nhật vị trí của nó theo vị trí tốt nhất của nó và của cả quần thể tính tới thời điểm hiện tại.
Hình 1.1. Sơ đồ tối ưu theo thuật tốn di truyền
Ứng dụng phương pháp GA và PSO có thể giải bài tốn tối ưu đơn mục tiêu cũng như đa mục tiêu, tìm được nghiệm tối ưu tồn cục, có thể ứng dụng cho các bài tốn có hàm ràng buộc và hàm mục tiêu ở dạng phức tạp, không yêu cầu quan hệ tường minh của các hàm mục tiêu theo tham số thiết kế. Việc tính tốn tương đối đơn giản do khơng u cầu tính tốn đạo hàm các hàm mục tiêu. Tuy nhiên, do phải ln duy trì một quần thể sau mỗi thế hệ, phải đánh giá độ thích nghi của tồn bộ cá thể đó dẫn đến việc tăng khối lượng tính
Bắt đầu
Khởi tạo quần thể
Tính độ thích nghi Điều kiện dừng Sinh sản Lai ghép Đột biến Kết thúc Lựa chọn phương án tốt nhất Đúng Sai
toán lên rất nhiều. Mặt khác, tốc độ hội tụ của thuật tốn là khơng xác định được. Từ các hạn chế trên việc sử dụng thuật toán dựa trên các quy luật tự nhiên để giải quyết các bài tốn có số lượng biến thiết kế lớn là tương đối khó khăn và vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu.
1.1.2.2. Các phương pháp dựa trên cơ sở đạo hàm
Phương pháp trên cơ sở đạo hàm là các phương pháp tìm kiếm mà trong q trình tính tốn phải tính đạo hàm riêng của hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc đối với biến thiết kế. Đặc điểm chung của phương pháp này là tìm nghiệm tối ưu trong miền thiết kế bằng cách xuất phát từ điểm thiết kế hiện tại (có thể coi là điểm lựa chọn ban đầu) tìm hướng đi tới điểm thiết kế tốt hơn. Để giải bài toán sử dụng các thủ tục lặp, yêu cầu từng bước xấp xỉ quỹ đạo tìm kiếm trong khơng gian biến thiết kế tới điểm cực trị cục bộ. Véc-tơ biến thiết kế được tính tốn theo biểu thức [7]:
( 1) ( ) ( )
{ } k { } k { }k (1.9) trong đó, {α} là véc-tơ xác định hướng trong miền tìm kiếm; k là số thứ tự vịng lặp; γ là tham số xác định độ rộng bước trong khơng gian tìm kiếm.
Phương pháp dựa trên cơ sở đạo hàm có ưu điểm là có thể giải quyết được hầu hết các bài tốn. Tuy nhiên nó có một số nhược điểm như là khơng cho phép tìm kiếm tối ưu toàn cục; số lượng vòng lặp của thuật toán phụ thuộc vào số lượng biến thiết kế và lựa chọn nghiệm ban đầu; sự ổn định của bài toán phụ thuộc nhiều vào độ rộng bước tìm kiếm, độ rộng bước quá nhỏ làm cho thuật toán hội tụ chậm, độ rộng q lớn dẫn đến q trình tính tốn khơng ổn định; trong q trình tính tốn phải tính các đạo hàm, điều khơng phải là lúc nào cũng có thể thực hiện được.
Phương pháp Monte Carlo là một lớp các thuật toán để giải quyết nhiều bài tốn trên máy tính bằng cách sử dụng các số ngẫu nhiên. Trong tốn học, phương pháp Monte Carlo là phương pháp tính tốn hiệu quả cho nhiều bài toán liên quan đến nhiều biến số mà không dễ dàng giải được bằng các phương pháp khác.
Phương pháp Monte Carlo thường thực hiện lặp lại một số lượng rất lớn các bước đơn giản, song song với nhau. Đây là một phương pháp phù hợp cho lập trình tự động bằng máy tính. Tuy nhiên để có kết quả chính xác thì cần thực hiện rất nhiều vịng lặp dẫn đến khối lượng tính tốn lớn [8].