MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LUẬT QUAN TRỌNG

Chương 1 VỀ TRẮC NGHIỆM VÀ ĐO LƯỜNG TRONG GIÁO DỤC

2.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH LUẬT QUAN TRỌNG

Kấ HỌC

2.1.1. Xỏc suất

Đối với cỏc hiện tượng ngẫu nhiờn người ta khụng thể biết chắc chắn một biến cố gỡ sẽ xảy ra, chỉ cú thể núi về xỏc suất xảy ra một biến cố nào đú. Vớ dụ, nếu ta cú một con xỳc xắc được cấu tạo bằng chất liệu hoàn toàn đồng nhất thỡ biến cố một mặt nào đú trong 6 mặt của con xỳc

xắc sẽ xuất hiện sau khi gieo xỳc xắc là một điều ngẫu nhiờn, khụng thể biết chắc trước đú. Tuy nhiờn, khả năng xuất hiện mỗi một trong 6 mặt của xỳc xắc là như nhau, cho nờn cú thể núi xỏc suất xuất hiện, chẳng hạn, mặt lục của xỳc xắc, là 1/6. Xỏc suất là một số khụng õm, cú giỏ trị từ 0 đến 1. Xỏc suất bằng 0 ứng với một biến cố khụng thể xảy ra, xỏc suất bằng 1 ứng với biến cố chắc chắn sẽ xảy ra.

Một động tỏc để làm xuất hiện một biến cố được gọi là một phộp thử. Chẳng hạn, việc gieo con xỳc xắc là một phộp thử. Chỳng ta cú thể

thực hiện nhiều phộp thử như vậy để khảo sỏt việc xuất hiện mặt lục. Tỷ số giữa số lần xuất hiện mặt lục trờn tổng số phộp thử được gọi là tần suất xuất hiện mặt lục. Chẳng hạn, nếu ta gieo xỳc xắc 10 lần, mặt lục

xuất hiện 2 lần, thỡ tần suất xuất hiện mặt lục là 2/10.

2.1.2. Luật số lớn

Cú một định luật quan trọng của lý thuyết xỏc suất, làm cơ sở cho mọi nghiờn cứu thống kờ, là luật số lớn (hoặc luật về giỏ trị trung bỡnh).

Luật số lớn được chứng minh chặt chẽ trong lý thuyết xỏc suất. Ở đõy, chỳng ta chỉ nờu nội dung bản chất của nú. Tương ứng với cỏc vớ dụ đó nờu trờn đõy, với cỏc khỏi niệm tần suất, xỏc suất và phộp thử đó biết, cú thể phỏt biểu luật số lớn như sau:

Khi số lượng phộp thử tăng lờn đủ lớn, giỏ trị tần suất sẽ tiến dần đến giỏ trị xỏc suất.

Điều vừa nờu trờn chớnh là luật mạnh số lớn theo phỏt biểu của E. Borel. Bạn đọc cú thể kiểm tra lại luật số lớn bằng một thực nghiệm rất đơn giản. Bạn hóy chọn một con xỳc xắc và tiến hành gieo xỳc xắc, đếm số lần gieo và số lần xuất hiện mặt lục. Bạn sẽ thấy sau khi tăng số lần gieo xỳc xắc lờn vài trăm, tỷ lệ số lần xuất hiện mặt lục trờn tổng số lần gieo sẽ tiến dần đến rất gần giỏ trị xỏc suất 1/6.

2.1.3. Tổng thể và mẫu

Khoa học thống kờ thường xem xột cỏc số liệu hoặc tớnh chất nào đú trong một tập hợp rất lớn cỏc đối tượng, ta sẽ gọi tập hợp đú là một

tổng thể (population). Chẳng hạn xem xột kết quả trắc nghiệm trong một

tổng thể gồm toàn bộ TS tham dự kỳ thi tuyển đại học ở nước ta, gồm hàng triệu người.

Việc thực hiện nghiờn cứu trờn một tổng thể với một số rất lớn đối tượng thường rất khú khăn và tốn kộm. Do đú người ta thường triển khai nghiờn cứu trờn một tập hợp con với số đối tượng ớt hơn của tổng thể. Tập hợp con đú được gọi là mẫu (sample) nghiờn cứu. Để việc nghiờn cứu trờn cỏc mẫu thu được cỏc kết quả thống kờ gần với kết quả thu được từ tổng thể, người ta phải chọn mẫu cú tớnh đại diện của tổng thể. Lý thuyết thống kờ đưa ra những quy tắc xỏc định để chọn được cỏc mẫu mang tớnh đại diện đú.

2.1.4. Phõn bố

Giả sử chỳng ta tiến hành đo chiều cao của học sinh ở một trường phổ thụng trung học của một tỉnh nào đú, số đo chớnh xỏc đến cm. Ta mụ tả kết quả đo trờn một đồ thị, trục hoành biểu diễn chiều cao chớnh xỏc đến cm, trục tung biểu diễn tần suất xuất hiện một chiều cao nào đú. Đường cong mụ tả cú dạng đại loại như trờn Hỡnh 2.1, được gọi là đường

cong phõn bố tần suất.

Nếu chỳng ta tiến hành đo chiều cao của toàn bộ học sinh trung học của tỉnh đó nờu và mụ tả trờn đồ thị, ta cũng sẽ được một đường cong cú dạng giống như trờn nhưng mịn màng và đều đặn hơn. Trong vớ dụ nờu trờn ta cú thể gọi tập hợp học sinh trung học của toàn tỉnh là một tổng thể, và tập hợp học sinh trung học của trường đó chọn là một mẫu.

Phõn bố tần suất đối với một tổng thể được gọi là phõn bố xỏc suất. Dạng phõn bố kiểu hỡnh chuụng đối xứng như được biểu diễn trờn Hỡnh 2.1 được gọi là phõn bố chuẩn. Nhiều nghiờn cứu cho thấy phõn bố tần suất của nhiều đại lượng trong tự nhiờn khi xem xột trong một tổng thể nào đú thường cú dạng phõn bố chuẩn, chẳng hạn phõn bố tần suất của chiều cao hoặc trọng lượng của một tập hợp người, phõn bố tần suất của một năng lực nào đú của một tập hợp TS, và do đú, phõn bố điểm trắc nghiệm đỏnh giỏ năng lực đú của tập hợp TS đó cho.

Hỡnh 2.1. Phõn bố chuẩn

Để xỏc định một phõn bố tần suất cần biết hai đại lượng đặc trưng. - Một là giỏ trị trung bỡnh của cỏc giỏ trị đo được trờn mẫu đo (gồm n cỏ thể): x = n x n 1 i i   (2.1) Trong vớ dụ đó cho, giỏ trị đú là chiều cao trung bỡnh, được xỏc định bằng cỏch cộng tất cả chiều cao của mọi học sinh chia cho tổng số học sinh. Ngoài giỏ trị trung bỡnh, cũn cú trung vị là điểm chia đụi tổng thể, và yếu vị là điểm ứng với cực đại của đường cong phõn bố. Đối với một phõn bố chuẩn đối xứng thỡ 3 giỏ trị nờu trờn trựng nhau.

- Hai là độ lệch tiờu chuẩn của cỏc giỏ trị đo được so với giỏ trị trung bỡnh:

S = 2 1 ( ) ( 1) n i i x x n     (2.2) Lưu ý rằng ở mẫu số trong biểu thức trờn là (n-1) chứ khụng phải n, vỡ sao vậy, bạn đọc cú thể tỡm hiểu lý do từ lý thuyết xỏc suất. Tuy nhiờn,

khi n đủ lớn thỡ giỏ trị tớnh theo (2.2) rất gần với căn bậc hai của trung bỡnh cỏc bỡnh phương độ lệch. Giỏ trị trung bỡnh xỏc định vị trớ của một phõn bố tần suất trờn một thang đo nào đú, cũn độ lệch tiờu chuẩn xỏc định mức độ phõn tỏn của cỏc số đo của đại lượng: khi độ lệch tiờu chuẩn bộ đường cong phõn bố sẽ cú dạng hẹp và nhọn, cũn khi độ lệch tiờu chuẩn lớn đường cong phõn bố sẽ cú dạng doón và tự.

Vài vớ dụ: Cỏc điểm thụ của nhúm TS đối với một bài trắc nghiệm

được xếp từ cao đến thấp ở cột (1) trong Bảng 2.1.

Bảng 2.1. (1) xi (2) di (3) di2 16 5,5 30,25 14 3,5 12,25 12 1,5 2,25 11 0,5 0,25 10 -0,5 0,25 10 -0,5 0,25 9 -1,5 2,25 9 -1,5 2,25 8 -2,5 6,25 6 -4,5 20,25 xi = 105 di = 0,0 di2= 76,50 Từ cột (1) cú thể tớnh giỏ trị trung bỡnh M =105/10 =10,5; độ lệch của mỗi điểm so với giỏ trị trung bỡnh d ghi ở cột (2) và bỡnh phương của độ lệch ghi ở cột (3). Từ đú dễ dàng tớnh độ lệch tiờu chuẩn S và phương sai S2 theo cụng thức:

S2 = 76,5/9 = 8,5 ; S = 76,5/9 = 2,91.

Khi chọn một mẫu khụng đồng nhất người ta cú thể thu được một đường cong phõn bố lệch. Phõn bố lệch nếu cú phần đuụi ở phớa phải thỡ là lệch dương, ngược lại nếu cú phần đuụi ở phớa trỏi thỡ là lệch õm (xem Hỡnh 2.2).

Phõn bố đụi khi cú hai yếu vị nếu trong mẫu nghiờn cứu cú thể phõn chia thành hai nhúm hoàn toàn khỏc nhau về tớnh chất nghiờn cứu. Chẳng hạn trong vớ dụ về đo chiều cao trờn đõy nếu ta chọn một mẫu hỗn hợp bao gồm học sinh lớp 6 và học sinh lớp 1 của một trường nào đú (Hỡnh 2.3).

Hỡnh 2.2. Cỏc phõn bố lệch dương và lệch õm

Đối với phõn bố chuẩn, lý thuyết xỏc suất đó xỏc định được biểu

thức giải tớch của hàm phõn bố xỏc suất theo cỏc giỏ trị trung bỡnh và độ lệch tiờu chuẩn trờn một tổng thể (*)

.

(*) Mật độ phõn bố chuẩn cỏc xỏc suất của cỏc giỏ trị đại lượng x trờn một tổng thể được biểu diễn bởi hàm:

2 2 2σ μ) (x e 2π σ 1 p(x)    ,

trong đú  là trung bỡnh của cỏc giỏ trị của x đo được trờn tổng thể:    n 1 i i x n 1 μ ,

và  là độ lệch tiờu chuẩn của cỏc giỏ trị của x trờn tổng thể so với giỏ trị trung bỡnh, được xỏc định theo biểu thức:

n 2 i 2 i 1 (x μ) σ (n 1)      . Đại lượng  2 được gọi là phương sai của đại lượng x.

Hỡnh 2.3. Phõn bố cú hai yếu vị

Xột từ một gúc độ khỏc cú thể phỏt biểu luật số lớn được nhắc đến trờn đõy như sau:

Khi kớch thước của mẫu được chọn càng lớn, giỏ trị trung bỡnh trờn mẫu sẽ càng tiến gần đến giỏ trị trung bỡnh trờn tổng thể.

Chớnh vỡ vậy người ta cũn gọi luật số lớn là luật về giỏ trị trung bỡnh.

2.1.5. Tương quan

Trong cỏc phộp tớnh thống kờ người ta thường gọi biến là một đại

lượng đặc trưng nào đú nhận cỏc giỏ trị khỏc nhau từ một cỏ thể này đến một cỏ thể khỏc trong một tổng thể thống kờ. Vớ dụ, điểm số của một mụn thi trờn một tập hợp TS nào đú là một biến, mỗi TS trong tập hợp nhận một điểm khỏc nhau.

Số liệu thống kờ thường được sử dụng để xem xột mối quan hệ giữa cỏc biến khỏc nhau. Trong trường hợp cú hai biến, mối quan hệ giữa chỳng thường được biểu diễn bằng hệ số tương quan (correlation coefficient).

Hệ số tương quan r giữa hai biến x và y được định nghĩa như sau:

r = y x xy S . S S

trong đú Sx, Sy là cỏc độ lệch tiờu chuẩn được tớnh theo biểu thức (2.2), cũn Sxy được gọi là hiệp biến giữa x và y, được xỏc định bởi biểu thức:

Sxy = 1) (n ) y )(y x (x n 1 i i i     

Từ đú cú thể lập được biểu thức để tớnh hệ số tương quan Pearson:

r =

n n n

i i i i i=1 i=1 i=1

2

n n n n

2 2 2

i i i i

i=1 i=1 i=1 i=1 n x y - x y n x -( x ) n y - y                                        (2.3) Bảng 2.2. Thớ sinh (2) xi (3) yj (4) xi yj (5) x2 (6) y2 A 11 8 88 121 64 B 8 0 0 64 0 C 9 8 72 81 64 D 14 11 154 196 121 E 12 14 168 144 196 F 7 6 42 49 36 G 18 11 198 324 121 H 6 8 48 36 64 I 6 9 54 36 81 J 6 3 18 36 9 K 5 10 50 25 100

n = 11 xi = 102 yi = 88 xiyi= 892 xi2 =1112 yi2= 856

Hệ số tương quan là một đại lượng để đo mối quan hệ tuyến tớnh giữa hai biến ngẫu nhiờn. Nú cú giỏ trị trong khoảng từ -1 đến +1. Nếu cỏc giỏ trị thấp của biến x cú liờn hệ với cỏc giỏ trị thấp của biến y, cỏc giỏ trị trung bỡnh của biến x cú liờn hệ với cỏc giỏ trị trung bỡnh của biến y, cỏc giỏ trị cao của biến x cú liờn hệ với cỏc giỏ trị cao của biến y thỡ hệ số

tương quan sẽ dương. Nếu cỏc giỏ trị thấp của biến x cú liờn hệ với cỏc giỏ trị cao của biến y, cỏc giỏ trị trung bỡnh của biến x cú liờn hệ với cỏc

giỏ trị trung bỡnh của biến y, cỏc giỏ trị cao của biến x cú liờn hệ với cỏc giỏ trị thấp của biến y thỡ hệ số tương quan sẽ õm. Nếu quan hệ của cỏc giỏ trị của biến x và cỏc giỏ trị của biến y khụng tuõn theo một quy luật rừ ràng nào thỡ hệ số tương quan sẽ bằng 0.

Vớ dụ: Một nhúm TS làm hai ĐTN ngắn và thu được hai bộ điểm số xi và yj ghi ở cột (2) và (3) của Bảng 2.2. Hệ số tương quan giữa hai bộ điểm số được tớnh theo cụng thức (2.3) và Bảng 2.2 như sau:

r = (11892  10288)/ 2 2

[11 1112-(102) ][11 856-(88) ]  

= 836/1748 = 0,478.