Sử dụng các kết quả trong Phần 1.3 về tắnh chất Zorn, trong phần này chúng tơi nghiên cứu sự thác triển chỉnh hình của một hàm liên tục f có giá trị Fréchet đến một hàm nguyên từ một tập compact, lồi, cân, không đa cực B của một không gian Fréchet khi f được xấp xỉ đủ nhanh trên B bởi một dãy các đa thức.
Chúng tôi bắt đầu với trường hợp f là hàm liên tục có giá trị Banach, xác định trên một tập con compact, không đa cực trong không gian hữu hạn chiều.
Trước tiên, chúng tôi nhắc lại một kết quả của Bedford và Taylor [48, Theorem 4.7.6] và chứng minh một phiên bản tổng quát hơn của bất đẳng thức cổ điển Bernstein-Walsh.
Mệnh đề 1.4.1 ([48]). Cho pumqmầ1 là dãy các hàm đa điều hòa dưới xác định trên một tập con mở D của CN. Nếu dãy pumqmầ1 bị chặn trên đều địa phương thì tập hợp
tz P D : lim sup
mứ8 umpzq plim sup
mứ8 umqpzqu
là tập đa cực, trong đó upzq : lim sup
DQξứz
upξq là hàm chắnh quy hóa nửa liên tục trên của hàm upzq, z P D.
Bổ đề 1.4.2. Cho K, L là những tập compact trong CN với K không đa cực. Cho
F là không gian véctơ với nửa chuẩn } }. Khi đó, tồn tại CK,L ¡0 chỉ phụ thuộc vào K và L sao cho với mỗi đa thức bậc m liên tục p: CN ứF ta có
1
mlog}p}Lấ 1
mlog}p}K CK,L.
Chứng minh. Xét hàm cực trị Siciak
VKpzq:suptupzq: uP LpCNq: u|K ấ0u,
trong đóLpCNqlà lớp Lelong của những hàm đa điều hịa dướiϕcó độ tăng logarit trên CN, tức là
ϕpzq ấlogp1 |z|q C @z P CN,
trong đó C là hằng số độc lập với z. Vì K là compact và không đa cực nên theo Siciak ([48, Corollary 5.2.2, Theorem 5.2.4]) thì hàm VK bị chặn trên trên những tập con compact của CN.
Mặt khác, vì degpm nên hàm ϕpzq: 1 mlog}ppzq}, @z P CN thuộc lớp LpCNq. Vì hàm ψ :z ỡứ 1 mlog}ppzq} 1 mlog}p}K thuộc LpCNq và ψ
K ấ0 nên ψpzq ấ VKpzq với mọi z PCN, tức là
1
mlog}ppzq} 1
mlog}p}K ấVKpzq
với mọi z P CN. Do đó, đặt CK,L :supzPLVKpzq, ta nhận được
sup zPL 1 mlog}ppzq} 1 mlog}p}Lấ 1 mlog}p}K sup zPL VKpzq ấ 1 mlog}p}K CK,L.
Sau đây là một kết quả quan trọng của chương này. Chúng tôi đưa ra các điều kiện để một dãy đa thức trên Cn sẽ hội tụ nhanh theo điểm đến một hàm chỉnh hình khi nó hội tụ nhanh theo điểm trên một tập con khơng đa cực nào đó.
Định lý 1.4.3. Cho f là hàm xác định, liên tục trên một tập con compact, không đa cực X trong CN, và nhận giá trị trong không gian Banach F. Cho ppmqmầ1 là dãy các đa thức liên tục nhận giá trị trong F với deg pm ấm sao cho
lim
mứ8}fpzq pmpzq}1{m 0, @z P X.
Khi đó,
(i) f có thể thác triển đến một hàm chỉnh hình (vẫn ký hiệu f) trên CN;
(ii) Với mọi ε ¡ 0 và mọi tập compact K CN, tồn tại m0 sao cho với mọi
mầm0 ta có
}f pm}1K{m :sup
zPK}fpzq pmpzq}1{m ε.
Chứng minh. (i) Vì dãy ppmqmầ1 hội tụ điểm đến f trên X nên dãy ppmqmầ1 bị chặn điểm trên X. Hơn nữa, vì X khơng đa cực nên tồn tại tập không đa cực
X1 X sao cho
sup
mầ1}pm}X1 8.
Thật vậy, với mỗi k ầ1, đặt
Xk : tz P X :|pmpzq| ấk @mầ1u.
Vì dãy ppmqmầ1 bị chặn theo từng điểm trên X nên X kầ1Xk. Do đó, tồn tại
k0 sao cho Xk0 khơng đa cực. Vì X compact và mỗi pm là liên tục nên
Xk0 8 ặ m1 tz P X : |pmpzq| ấk0u là compact.
Tiếp theo, vì Xk0 là compact và khơng đa cực nên, theo Bổ đề 1.4.2, dãy
p1
mlog}pm}qmầ1 bị chặn trên đều địa phương trên CN. Với mầ1, xét hàm đa điều
hòa dưới
umpzq: 1
2m log}p2mpzq p2m1pzq}, z P CN.
Dễ dàng kiểm tra được rằng dãypumqmầ1 bị chặn trên đều địa phương. Do đó, hàm
u được xác định bởi
upzq:lim sup
cũng bị chặn trên địa phương. Cố định xPX, ta nhận được upxq 8. Thật vậy, cho εP p0,1q, chọn m0 đủ lớn sao cho
}fpxq pmpxq} εm, @mầm0.
Theo Bất đẳng thức tam giác, với mỗi mầ m0, ta có
}p2mpxq p2m1pxq} ấ }fpxq p2mpxq} }fpxq p2m1pxq} ε2m ε2m1.
Do đó,
upxq lim sup
mứ8 umpxq logε
2 .
Cho ε Ó 0 ta nhận được upxq 8. Điều này có nghĩa là u 8 trên Xk0. Mặt khác, theo Mệnh đề 1.4.1, tz P CN : upzq upzqu là tập đa cực. Điều này chứng tỏ u 8 trên một tập con không đa cực của CN, suy ra u 8 trên CN. Do đó u 8 trên CN. Theo bổ đề Hartogs cho dãy các hàm điều hòa dưới, dãy
pumqmầ1 hội tụ đều đến8 trên những tập compact củaCN. Bây giờ, cố định một tập con compact K của CN và ε ¡0. Khi đó tồn tại m0 ầ1 sao cho
umpzq logε, @mầm0, @z P K.
Do đó
}p2mp2m1}K ε2m, @mầm0.
Suy ra dãy pp2mqmầ1 hội tụ đều trên những tập compact của CN đến một hàm chỉnh hình f .r Như vậy frchắnh là thác triển chỉnh hình trên CN của f.
(ii) Đặt
vpzq lim sup
mứ8
1
mlog}fpzq pmpzq}, @z P D.
Từ giả thiết ta nhận được vpaq 8 với mỗi a P X. Hơn nữa, vì dãy p1
mlog}f
pm}qmầ1 bao gồm những hàm đa điều hòa dưới, bị chặn trên đều địa phương nên hàm chắnh quy hóa nửa liên tục trên
vpzq lim sup
ξứz
vpξq
cũng là hàm đa điều hòa dưới trên D. Do đó, theo định lý Bedford-Taylor và tắnh
chất không đa cực của X, vpzq 8 trên một phần không đa cực của X. Suy ra v 8 trên D, và do đó v 8 trên D. Vì vậy, với mỗi ε P p0,1q, ta có
Từ bổ đề Hartogs suy ra với mỗi tập con compact K của D, tồn tại m0 sao cho nếu mầm0 thì
}f pm}1{m K ε.
Mệnh đề đã được chứng minh.
Tiếp theo, chúng tơi có kết quả sau về sự hơi tụ Tauber cho dãy các đa thức với giá trị Banach và xác định trên một không gian lồi địa phương.
Định lý 1.4.4. Cho E là không gian lồi địa phương, F là không gian Banach, f
là hàm chỉnh hình nhận giá trị trong F xác định trên miền D E và ppmqmầ1 là dãy các đa thức nhận giá trị trong F với deg pm ấ m. Giả thiết rằng tồn tại một
tập con X D thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) limmứ8}fpzq pmpzq}1{m 0 với mọi z P X;
(ii) Với mọi điểm a P DzX, tồn tại một không gian con phức tuyến tắnh affine hữu hạn chiều L đi qua a sao cho Da XX là tập con compact và không đa cực của L, trong đó Da là thành phần liên thơng của DXL mà chứa a.
Khi đó, với mọi xP D, ta có lim
mứ8}fpxq pmpxq}1{m 0.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh kết quả đúng với x P DzX. Thật vậy, theo giả thiết, tồn tại một không gian con phức affine hữu hạn chiều L sao cho DxXX
là khơng đa cực, trong đó Dx là thành phần liên thơng của DXL mà chứa điểmx.
Vì deg p1m ấ m với mọi m nên áp dụng Định lý 1.4.3 với D :Dx và p1m : pm|L,
ta nhận được kết quả cần chứng minh.
Vắ dụ sau đây chỉ ra rằng tồn tại một không gian lồi địa phương thỏa mãn điều kiện (ii) của Định lý 1.4.4.
Vắ dụ 1.4.5. Cho D : ÀnPNDn CpNq là một tập mở và X : ÀnPNXn D
trong đó Xn t|z| ấ 1u Dn t|z| 2u Cn C với mọi n P N.
Với mỗi a panqnPN pa1, . . . , an0,0,0, . . .q P D, ta xét không gian con phức
L Cn0 ổn0
k1Ck của CpNq. Khi đó, a P L và LXX ổn0
k1Xk là compact và không đa cực trong L.
Tiếp theo, chúng tôi cho một vắ dụ về tập không đa cực trong không gian ω.
Vắ dụ 1.4.6. Cho X :ổ8j1Xj ω với Xj C, j PN. Khi đó, X khơng đa cực nếu và chỉ nếu Xj không đa cực với mọi j P N.
Chứng minh. Hiển nhiên rằng nếu tồn tại j P N sao cho Xj là đa cực thì X cũng đa cực.
Ta giả sử rằng Xj khơng đa cực với mọij PN. Khi đó, với mỗi j P N, chọn một điểm z0j PXj sao cho Xj không đa cực tại zj0.
Nếu z0 : pzj0q thì z0 P X. Giả sử ϕ P P SHpωq và ϕ
X 8. Lấy một lân cận mở U : ổ1ấjấnUj ổj¡nCj của z0, trong đó Cj C với mọi j ¡ n, sao cho ϕ
bị chặn trên trên U. Vì mọi hàm điều hịa bị chặn trên trên C là hàm hằng nên
ϕpx, yq ϕpx,0qvới mọixP ổ1ấjấnUj và với mọiy Pổj¡nCj.Nếux Pổ1ấjấnXj
và y P ổj¡nXj, thì ϕpx, yq 8, và do đó ϕpx, yq 8 với mọi x P ổ1ấjấnXj, y P ổj¡nCj. Rõ ràng ổ
1ấjấnXj không đa cực tại zn : pzj0qn
j1 P ổ1ấjấnXj, suy ra ϕpx,0q 8 với mọi x P ổ1ấjấnUj. Hơn nữa, vì U có phần trong khác rỗng nên ϕ 8 trên U và trên ω.
Bây giờ, chúng tôi tiếp tục áp dụng các kết quả về tắnh chất Zorn để khảo sát bài toán về sự hội tụ Tauber cho dãy các đa thức giữa các không gian Fréchet. Chúng tôi xét hai trường hợp cho không gian miền xác định E là Fréchet hạch và Fréchet-Schwartz có cơ sở Schauder tuyệt đối.
Định lý 1.4.7. Cho E là một không gian Fréchet hạch vô hạn chiều với tôpô τE
sao cho E P prΩq và F là một không gian Fréchet với tôpô xác định bởi một dãy tăng của các nửa chuẩn p} }nqnầ1. Khi đó, tồn tại một tập khơng đa cực B P KpEq sao cho với mỗi hàm liên tục f có giá trị trong F xác định trên B thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) f chỉnh hình tại 0P pEB, τEq;
(ii) tồn tại một dãy các đa thức ppmqmầ1 trên E với giá trị trong F, deg pm ấm,
sao cho
lim
mứ8}fpzq pmpzq}1{m
n 0, @z PB, @n ầ1, đều có thể thác triển chỉnh hình trên E.
Chứng minh. Lập luận tương tự như trong chứng minh Định lý 1.3.3, chúng ta có thể tìm được một tập không đa cực B P KpEq sao cho EB là không gian con trù mật của E.
Chúng ta xét hai trường hợp.
(a) Trường hợp F C.
Ký hiệu F là họ của tất cả không gian con hữu hạn chiềuP 0của EB. VìB
là một tập lồi, cân, đóng nên B XP là một lân cận lồi, cân, đóng của 0 trong P
với mỗi P P F. Vì dimP 8 nên B XP là không đa cực trong P. Khi đó, theo Định lý 1.4.3, tồn tại fpP P HpEB XP, Fq sao cho fpP f trong B XP. Mặt khác,
nếu P và Q là không gian hữu hạn chiều của EB thì theo Nguyên lý đồng nhất của hàm chỉnh hình, ta nhận được p fP PXQ pfPXQ pfQ PXQ. Do đó, họ p pfPqPPF xác định một hàm chỉnh hình Gâteaux trên EB mà ta vẫn ký hiệu là f. Từ giả thiết và Định lý 1.3.3, ta suy ra f PHpEq.
(b) Trường hợp F là Fréchet.
Hiển nhiên, với mọi z P B, ta có
lim
mứ8|pufqpzq pupmqpzq|1{m 0 với mọi uP F1.
Theo Trường hợp (a), các hàm uf có một hàm mở rộng uzf P HpEq với mọi
uP F1.
Ký hiệu HpEqbor là không gian HpEq được trang bị tơpơ chặn đóng liên kết với tơpơ compact mở. Vì E là Fréchet nên, theo [15, Proposition 3.19(c)], ta có
HpEqbor pHpEq, τδq. Theo Nguyên lý đồng nhất, ta có thể định nghĩa ánh xạ
T : Fbor1 ứHpEqbor như sau
Tpuqpzq zufpzq, z P E, uP Fbor1 .
Giả sử uα ứ u trong Fbor1 và Tpuαq ứ v trong HpEqbor khi α ứ 8. Khi đó,
rTpuαqspzq ứvpzq với mọi z P E. Tuy nhiên, nếu z P B thì
và vpzq upfpzqq với mọi z P B. Theo Nguyên lý của thác triển giải tắch, ta có
vpzq upfpzqq với mọi z thuộc khơng gian con đóng của E sinh bởi B. Vì B sinh ra một không gian con trù mậtE (xem Bổ đề 1.1.7) và v, uf liên tục trên E nên
v uf. Do đó, T có đồ thị đóng. Trong khi đó, theo [43, Theorem 13.4.2], vì F
là Fréchet nên βpF1, Fqbor ηpF1, Fq trên F1. Do đó Fbor1 là một giới hạn quy nạp của một họ các không gian Banach. Mặt khác, vì E là Fréchet hạch và E P prΩq,
nên từ [53, Corollary 3.10] ta suy ra E P pHubq. Do đó, theo [53, Proposition 4.1],
HpEqbor là mộtpLFq-khơng gian. Vậy, theo Định lý đồ thị đóng của Grothendieck [34, Theorem B], T là liên tục.
Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ fp: E ứ rF1
bors1
β xác định bởi công thức
p
fpzqpuq Tpuqpzq, z P E, uP Fbor1 .
Vì T liên tục nên fppzq PF2
bor với mọi z PE. Hơn nữa, với mỗi uP Fbor1 cố định thì ánh xạ uP Fbor1 xác định bởi
z P E ỡứ rTpuqspzq
là chỉnh hình. Do đó
p
f : E ứ pFbor2 , σpFbor2 , Fborqq1
là ánh xạ liên tục. Với mọi a, bP E và mọi uP Fbor1 ánh xạ
λP Cỡứu pfpa λbq zufpa λbq
là chỉnh hình Gâteaux. Vì vậy,
p
f : E ứ pFbor2 , σpFbor2 , Fborqq1
là chỉnh hình.
Theo [43, 8.13.2 và 8.13.3], Fbor1 là khơng gian lồi địa phương đầy đủ. Do đó, từ [42, Theorem 4], ta suy ra pFbor2 , σpFbor2 , Fbor1 qq và pFbor1 q1β có cùng các tập bị chặn. Khi đó, theo [57, Proposition 13],
p
f : E ứ pFbor1 q1β
là chỉnh hình.
Gọi j là phép nhúng chắnh tắc từ F đến F2. Nếu z P B và fppzq jpfpzqq thì
tồn tại uPF1 sao cho
p
Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với kết quả nói rằng với mọi z PB ta có
p
fpzqpuq p zufqpzq pufqpzq upfpzqq.
Bây giờ, ta cố định z PB, z 0. Khi đó, tồn tại duy nhất một dãy pan,zq8n1 trong
F2 sao cho với mọi λ PC,
p fpλzq 8 ị n0 an,zλn. Vì fpp0q fp0q a0,z nên a0,z P F. Giả sử paj,zqn j0 F. Khi đó, với |λ| ấ 1, ta có p fpλzq fpλzq P F. Do đó, nếu λ PC và 0 |λ| 1 thì p fpλzq ồn j0aj,zλj λn 1 8 ị jn 1 aj,zλjn1 P F.
Vì F đầy đủ nên cho λ tiến tới 0, ta nhận được an 1,z P F. Bằng phương pháp quy nạp, ta suy ra an,z P F với mọi n, và do đó fppλzq P F với mọi λ P C và mọi
z P B. Vì fpliên tục và F là khơng gian con đóng của pF1
borq1β (xem Bổ đề 1.1.1) nên fp: E ứF là chỉnh hình. Định lý đã được chứng minh xong.
Chứng minh tương tự như chứng minh của Định lý 1.4.7, nhưng sử dụng Định