Trong chương này, các kiến thức cơ bản về không gian phức, không gian phức hyperbolic và không gian giải tắch Banach sẽ được sử dụng như trong các tài liệu [25], [49], [70] tương ứng.
Phần này chỉ nêu lại một số khái niệm cơ bản về không gian giải tắch phức, không gian giải tắch Banach và không gian phức hyperbolic.
Ở đây, một không gian vành được hiểu là một khơng gian tơpơ cùng với bó các vành trên X. Một khơng gian vành pX,Aq được gọi là C-vành nếu A là bó các C-đại số.
Định nghĩa 3.1.1. Cho W là tập con mở của Cn và I OW là một bó idean trong bó các mầm hàm chỉnh hình OW trên W. Khi đó,
A :supppOW{Iq
là một tập con giải tắch của W, tức là tập khơng-điểm chung của hữu hạn hàm chỉnh hình trên W.
Khi đó pA,pOW{Iq
Aq được gọi là một mơ hình địa phương.
Không gian vành pX,OXq được gọi là không gian giải tắch phức (nói gọn là khơng gian phức) nếu X là Hausdorff và với mỗi xP X tồn tại một lân cận U của
x sao cho pU,OX
Uq đẳng cấu (như một khơng gian vành) với một mơ hình địa phương.
Một khái qt hóa vơ hạn chiều của khái niệm khơng gian giải tắch phức xuất hiện trong bối cảnh nghiên cứu biến thể của cấu trúc giải tắch là khái niệm không gian giải tắch Banach. Ở đây, mơ hình địa phương là một tập giải tắch Banach.
Định nghĩa 3.1.2. ChoU là tập mở trong một không gian Banach. Một tập con
A U gọi là tập giải tắch Banach nếu nó là tập khơng-điểm chung của hữu hạn hàm chỉnh hình trên U nhận giá trị trong một khơng gian Banach nào đó.
Khơng gian vành pX,OXq được gọi là không gian giải tắch Banach nếu X là Hausdorff và với mỗi x P X tồn tại một lân cận U của x sao cho pU,OX
Uq đẳng cấu (như một không gian vành) với một tập giải tắch Banach.
Định nghĩa 3.1.3. Cho D là một tập mở trong Cn và X là một không gian phức (tương ứng, không gian giải tắch Banach). Ánh xạ f : D ứ X được gọi là chỉnh hình tạix PD nếu tồn tại lân cậnV củax và tập mởU trong X sao cho fpVq U
và frψf :V ứCm (tương ứng, fr: V ứF) chỉnh hình, trong đó ψ là đẳng cấu
giữa pU,OX
Uq đẳng cấu với một mơ hình địa phương (tập giải tắch Banach trong không gian Banach F).
Ký hiệu HolpD, Xq là khơng gian tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X và trang bị cho nó tơpơ hội tụ đều trên các tập con compact của D.
Định nghĩa 3.1.4. Giả sử X là một không gian giải tắch Banach, p và q là hai điểm tùy ý của X. Ta gọi dây chuyền chỉnh hình γ nối p với q là tập hợp
ta1, a2, . . . , an P ∆;f1, f2, . . . , fn PHolp∆, Xqu sao cho f1p0q p, fipaiq fi 1p0q, fnpanq q. Đặt Lγ ồn i1 ln 1 |ai|
1 |ai|. Xét κXpp, qq infLγ với infimum lấy theo tất cả các
dây chuyền chỉnh hình γ nối p với q. Khi đó, hàm κX : X X ứ r0;8q được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian giải tắch Banach X.
Định nghĩa 3.1.5. Cho X là một không gian giải tắch Banach. Ta gọi
Ớ X là hyperbolic nếu κX là khoảng cách.
Ớ X là hyperpolic đầy đủ nếu pX, κXq là một không gian mêtric đầy đủ. Như đã biết trong [4], khi dimX 8 thì κX xác định tơpơ của X nếu nó là một khoảng cách. Tuy nhiên, kết quả này khơng cịn đúng đối với trường hợp các không gian vô hạn chiều (xem [74]).
Với β P ∆ và r ¡0, ta định nghĩa
∆rpβq: tz P C: κ∆pz, βq ru và ∆rpβq: tz P C : 0 κ∆pz, βq ru.
Chú ý rằng ∆rpβq là tập con thực sự của ∆ với mọi z P ∆ và mọi r ¡0.