Tắnh taut yếu

Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm về tắnh taut của không gian giải tắch Banach.

Định nghĩa 3.2.1. Một không gian giải tắch Banach X được gọi là taut nếu với mọi dãy pfnqnầ1 € Holp∆, Xq đều chứa một dãy con pfnkqkầ1 sao cho xảy ra một trong hai điều kiện sau:

(ii) pfnkqkầ1 phân kỳ compact, tức là với mọi tập con compact K €∆ và L€X,

tồn tại k0 sao cho

fnkpKq XL∅, @k ¡k0.

Tuy vậy, mọi tập con mở của một không gian Banach vô hạn chiều không là một miền taut theo nghĩa thông thường như trong giải tắch phức hữu hạn chiều. Ta xét vắ dụ sau đây:

Vắ dụ 3.2.2. Cho E là không gian Banach vô hạn chiều và Bp0, rq : tx P E :

}x}   ru là hình cầu tâm 0 bán kắnh r¡0. Lấy dãy pxnqnầ1 €Bp0, rq sao cho

inf

nm}xnxm} ¡ 0.

Với mỗi n ầ1, xét hn P Holp∆, Bp0, rqq xác định bởi

hnpλq λxn, λP ∆.

Khi đó, hnp0q 0 với nầ1 và

}hnpλq hmpλq} |λ|}xnxm} ỹ 0 khi n, mứ 8

với 0  |λ|  r. Điều này chứng tỏ rằng khơng có dãy con của phnqnầ1 hội tụ hoặc phân kỳ compact trong Holp∆, Bp0, rqq. Do đó, Bp0, rq không phải là miền taut. Tuy nhiên, phn

∆zt0uq phân kỳ compact.

Sở dĩ hiện tượng này xảy ra là bởi trong khơng gian Banach vơ hạn chiều khơng có tắnh chất compact địa phương. Đây cũng là nguyên nhân chắnh dẫn đến các khó khăn trong việc nghiên cứu tắnh taut trong giải tắch phức vơ hạn chiều. Vì thế cần thiết phải có một khái niệm mở rộng cho tắnh taut của không gian giải tắch Banach.

Chúng tôi xét khái niệm mở rộng sau.

Định nghĩa 3.2.3. Một không gian giải tắch Banach X được gọi là taut yếu nếu với mọi dãy pfnqnầ1 € Holp∆, Xq đều chứa một dãy con pfnkqkầ1 sao cho xảy ra một trong hai điều kiện sau:

(ii) tồn tại một tập con rời rạc S của ∆ sao cho pfnk

∆zSqkầ1 phân kỳ compact, tức là với mọi tập con compact K €∆zS và L€X, tồn tại k0 sao cho

fnkpKq XL∅, @k ¡k0.

Nhận xét rằng, khi S ∅ thì khái niệm taut yếu trở thành khái niệm taut, hay nói cách khác lớp các không gian taut hẹp hơn lớp các không gian taut yếu.

Để đưa ra các vắ dụ và các tắnh chất cơ bản của không gian taut yếu, trước tiên chúng tôi chứng minh một số kết quả liên quan đến các không gian giải tắch Banach hyperbolic đầy đủ.

Bổ đề 3.2.4. Cho X là một không gian giải tắch Banach hyperbolic đầy đủ và

pfnqnầ1 €Holp∆, Xq. Khi đó,

Z :Zpfnq Zpfnq,U tλP U : lim

n fnpλq tồn tạiu

là một tập con đóng của ∆.

Chứng minh. Lấy pλnqnầ1 €Z và giả sử rằng limnλn λP ∆. Khi đó, ta có

κXpfnpλq, fmpλqq ấκXpfnpλq, fnpλkqq κXpfnpλkq, fmpλkqq κXpfmpλkq, fmpλqq ấ2κ∆pλ, λkq κXpfnpλkq, fmpλkqq.

Do đó, pfnpλqqnầ1 là một dãy κX-Cauchy trong X. Vì X là hyperbolic đầy đủ nên dãy pfnpλqqnầ1 hội tụ trong X.

Bổ đề 3.2.5. ChoX là một không gian giải tắch Banach hyperbolic và dãypfnqnầ1 €

HolpU, Xq, trong đó U là một tập con mở của C. Nếu dãy pfnqnầ1 khơng phân kỳ compact thì tồn tại dãypgnqnầ1 € pfnqnầ1 sao choZpgnq ∅.Một cách tương đương, nếu Zpgnq ∅ với mọi pgnqnầ1 € pfnqnầ1 thì pfnqnầ1 phân kỳ compact trên U.

Chứng minh. Dopfnqnầ1 khơng phân kỳ compact nên tồn tại tậpK compact trong

U và tập L compact trong X sao cho với mỗi n ta có thể tìm được n1 ¡ n và

λn P K để cho fn1pλnq P L. Xét gn : fn1. Bằng cách lấy dãy con, ta có thể giả sử

limnλn λ P K và limngnpλnq x PL. Khi đó, pgnqnầ1 € pfnqnầ1 và

κXpgnpλq, xq ấ κXpgnpλq, gnpλnqq κXpgnpλnq, xq ấκ∆pλ, λnq κXpgnpλnq, xq.

Bổ đề 3.2.6. Cho X là một không gian giải tắch Banach hyperbolic đầy đủ và

pfnqnầ1 €Holp∆, Xq. Gọi Z1 :Zp1fnq là tập các điểm giới hạn củaZ : Zpfnq trong ∆. Khi đó, Zpfnq là một lân cận của Zp1fnq.

Chứng minh. Lấy β PZ1. Theo Bổ đề 3.2.4, β P Z. Đặt x:limnfnpβq. Lấy δ ¡0

sao cho W : ty P X : κXpx, yq   δu € X. Chọn n0 sao cho κXpfnpβq, xq   δ với mọi n ¡n0. Nếu z P ∆ và κXpz, βq  δ thì

κXpfnpzq, xq ấκXpfnpzq, fnpβqq κXpfnpβq, xq ấ κ∆pz, βq δ   2δ

với mọi n¡n0. Do đó, dãy pfnqnầ1 bị chặn trên U : tz P ∆ :κ∆pz, βq  δu. Theo [2], pfn

Uqnầ1 hội tụ trong HolpU, Xq.Từ đây ta suy ra U €Z1 và chứng minh được hoàn thành.

Theo [49], chúng ta biết rằng mọi không gian phức hữu hạn chiều mà hyperbolic đầy đủ thì có tắnh chất taut. Tuy nhiên, trong khơng gian giải tắch Banach, chúng ta có kết quả sau.

Định lý 3.2.7. Cho X là một không gian hyperbolic đầy đủ trong khơng gian giải tắch Banach. Khi đó, X là taut yếu.

Chứng minh. Lấy pfnqnầ1 €Holp∆, Xq. Giả sử khơng có dãy con của pfnqnầ1 phân kỳ compact trên ∆. Theo Bổ đề 3.2.5, tồn tại pgnqnầ1 € pfnqnầ1 sao cho Z :

Zpgnq ∅. Do đó, theo Bổ đề 3.2.4, Z là một tập con đóng khơng rỗng của

∆. Nếu ξ P Z1 : Zp1gnq thì, từ Bổ đề 3.2.6, ta suy ra tồn tại ε ¡ 0 sao cho

tz P ∆ : |z ξ|   εu € Z € ∆. Theo Bổ đề 3.2.6, tz P ∆ : |z ξ|   εu € Z1 và

Z1 là một tập con mở của ∆. Nếu pηnq € Z1 và ηn ứη P ∆, thì với mỗi n tồn tại

ζn P Z sao cho |ηnζn|   1{n. Khi đó, limnζn η và vì ζn P Z nên η PZ1. Do đó,

Z1 đóng và vì ∆ liên thơng nên suy ra nếu Z1 khác rỗng thì Z1 ∆. Theo Bổ đề 3.2.4, Z là đóng và do đó Z1 € Z. Điều này chứng tỏ rằng Z ∆ khi Z1 không rỗng. Do X là hyperbolic nên áp dụng định lý Arzela-Ascoli, suy ra với mỗi tập con compact K của ∆ tồn tại pgnKqnầ1 € pgnqnầ1 hội tụ đều trên K.Dùng một dãy vét cạn các tập con compact của ∆ và một quá trình chéo, chúng ta thấy rằng tồn tại một dãy con pfnkqkầ1 của pfnq hội tụ trong Holp∆, Xq.

Tiếp theo, giả sử Zp1gnq ∅ với mỗi pgnqnầ1 € pfnqnầ1. Đặt

A tU €∆ :U là mở trong ∆ và pgnq chứa một dãy con pgnUq

TrênA, chúng ta định nghĩa một quan hệ thứ tự như sau:U1  U2 nếuU1 „U2 và mỗi dãy con của pgnqnầ1, hạn chế lên U1 tạo thành một dãy phân kỳ compact trên

U1, chứa một dãy con hạn chế lênU2 tạo thành một dãy phân kỳ compact trên U2.

Trước hết, chúng ta chứng tỏ rằng A không rỗng. Nếu β P∆ và với số nguyên dương k : kpβq nào đó, pgnqnầ1 phân kỳ compact trên ∆1{kpβq thì ∆1{kpβq P A

và A không rỗng. Trong trường hợp ngược lại, áp dụng Bổ đề 3.2.5 suy ra rằng với mỗi số nguyên k, tồn tại pgnqnk ầ1 € pgnqnầ1 sao cho Zpgk

nqX∆1{kpβq ∅. Bằng cách sử dụng q trình chéo, chúng ta có thể tìm được phnqnầ1 € pgnqnầ1 sao cho

Zphnq X∆1{kpβq ∅ với mọi k. Từ đây suy ra β P Zphn1 q, mâu thuẫn với giả thiết. Do đó, A ln khác rỗng.

Bây giờ, giả sử tUαuαPI là một tập con sắp thứ tự tuyến tắnh của A. Chúng ta chứng tỏ rằng tUαuαPI có một phần tử tối đại trong A. Thật vậy, vì ∆ là Lindelẽof nên tồn tại một dãy pαjq trong I sao cho

U ấ αPI Uα 8 ấ j1 Uαj. Nếu pgnUqnầ1 € pgnqnầ1 thì bằng cách sử dụng một q trình chéo chúng ta có thể tìm được pgUn1qnầ1 € pgUnqnầ1 sao cho pgnU1qnầ1 phân kỳ compact trên U và sao cho

Uαj  U với mọi j. Hơn nữa, chúng ta có thể chứng tỏ rằng Uα  U với mọi α PI.

Thật vậy, nếu với mỗi α PI, chúng ta có thể tìm một số ngun j :jpαq sao cho

Uα   Uαj thì Uα   Uαj   U với mọi α P I. Ngược lại, sẽ tồn tại ộ P I, để cho

Uαj  Uộ với mọi số nguyên j. Trong trường hợp này, áp dụng một quá trình chéo sẽ chứng tỏ rằng U  Uộ và U Uộ.

Theo bổ đề Zorn, A chứa một phần tử cực đại Ω. Lấy pgnΩqnầ1 € pgnqnầ1 và giả sử pgΩnqnầ1 phân kỳ compact trên Ω. Nếu β P ∆ và với một số nguyên dương

k : kpβq nào đó, pgnΩqnầ1 phân kỳ compact trên ∆1{kpβq thì pgnΩqnầ1 phân kỳ compact trên ΩY∆1{kpβq. Vì Ω cực đại nên ta suy ra ∆1{kpβq € Ω. Ngược lại, như ở trên, chúng ta có thể tìm được cho mỗi số nguyên k, pgnΩ,kqnầ1 € pgnΩqnầ1 sao cho ZpgΩ,k

n q X∆1{kpβq ∅. Một quá trình chéo cho ta một dãy phΩnqnầ1 sao cho phΩnqnầ1 € pgnΩ,kqnầ1 và ZphΩ

nq X∆1{kpβq ∅ với mọi k. Do đó, β P Zph1 Ω

nq và

Zph1 Ω

nq ∅. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Chúng ta đã chứng tỏ rằng với mỗi β P ∆, tồn tại một số nguyên dương k sao cho∆1{kpβq €Ω.Do đó, S =∆zΩlà một tập con rời rạc của∆vàpgΩnqnầ1 € pfnqnầ1 phân kỳ compact trên Ω ∆zS. Chứng minh được hoàn thành.

Để ý rằng trong chứng minh phần thứ hai của định lý trên, chúng tôi đã không sử dụng đến giả thiết pX, κXq là không gian mêtric đầy đủ. Do đó, chúng ta có hệ quả sau.

Hệ quả 3.2.8. Cho X là không gian giải tắch Banach hyperbolic. Nếu pfnqnầ1 €

Holp∆, Xq và Zp1g

nq ∅ với mọi pgnqnầ1 € pfnqnầ1, thì tồn tại một tập con rời rạc

S của ∆ và một dãy con phnqnầ1 € pfnqnầ1 sao cho phnqnầ1 phân kỳ compact trên ∆zS.

Khi xét tắnh chất hyperbolic đầy đủ của miền lồi và bị chặn, chúng tôi đạt được kết quả sau.

Mệnh đề 3.2.9. Cho D là miền bị chặn và lồi trong khơng gian Banach E. Khi

đó, D là hyperbolic đầy đủ và do đó D cũng là taut yếu.

Chứng minh. Không mất tắnh tổng quát, giả sử 0 P D. Vì D bị chặn nên D là hyperbolic. Do đó, chúng ta chỉ cần chứng tỏ rằng D là đầy đủ. Lấy pxnqnầ1 €D

là một dãy Cauchy với khoảng cách Kobayashi κD. Ký hiệu CD là giả khoảng cách Carathéodory của D. Do D là miền bị chặn và lồi nên CD κD và tồn tại α ¡ 0

sao cho }xnxm} ấ αCDpxn, xmq αsup ! log1 |fpxnq| 1 |fpxnq| : f P HolpD,∆q, fpxmq 0 ) ακDpxn, xmq

với mọi n, m ầ 1. Bất đẳng thức này chứng tỏ dãy pxnqnầ1 hội tụ đến x0 P E.

Vấn đề còn lại là kiểm tra x0 P D. Ngược lại, giả sử rằng x0 P BD. Theo định lý Hahn-Banach, tồn tại một phiếm hàm tuyến tắnh liên tục f trên E sao cho

Refpx0q 0 và Refpxq   0 với xP D.

Khi đó,

sup

n

CDp0, xnq ầsup log 1 |efpxnq|

1 |efpxnq| 8,

điều này khơng thể xảy ra bởi vì D bị chặn.

Chú ý. Harris (xem [39, Theorem 24] và [18, Proposition 6.9]) đã chứng minh rằng mỗi miền lồi, bị chặn trong một không gian Banach là hyperbolic đầy đủ nhưng bằng một cách khác.

Trong phần tiếp theo, chúng tôi thiết lập sự tương đương giữa khái niệm taut yếu và khái niệm taut trong trường hợp hữu hạn chiều.