Tuyến tắnh hóa của các hàm chỉnh hình (Gâteaux) có trọng

có trọng

Ý tưởng chắnh của tuyến tắnh hóa là nhằm cho phép Ộđồng nhấtỢ lớp các hàm

F-giá trị xác định trên một tập mở trong E với lớp các ánh xạ tuyến tắnhF-giá trị liên tục từ một không gian nhất định, trong đó E và F là các khơng gian lồi địa phương. Điều này rất quan trọng vì nó có thể giúp chúng ta đơn giản hóa các tắnh tốn trên các khơng gian của các hàm nhận giá trị véctơ. Các cơng trình gần đây của Carando và Zalduendo [12], và của Mujica [55] đã đưa ra các kết quả tuyến tắnh hóa cho các khơng gian (khơng trọng) của các hàm liên tục/chỉnh hình giữa các khơng gian lồi địa phương; và cơng trình của Beltrán [7] cho các (LB)-khơng gian có trọng của các hàm nguyên trên các không gian Banach.

Cho AvpDq (tương ứng, AG,vpDq ) là không gian con của HvpDq (tương ứng,

HG,vpDq) sao cho hình cầu đơn vị đóng là compact với tôpô compact mở τ0. Trước tiên, chúng tôi nghiên cứu định lý tuyến tắnh hóa trong các khơng gian có trọng của các hàm F-giá trị theo nghĩa yếu

AvpD, Fq: tf : DứF : uf P AvpDq, @uP F1u.

Định lý 2.2.1. Cho v là một trọng trên một miền D trong không gian lồi địa phương khả mêtric E và AvpDq là khơng gian con của HvpDq sao cho hình cầu đơn vị đóng là τ0-compact. Khi đó, tồn tại một khơng gian Banach PAvpDq và một ánh xạ δD P HpD, PAvpDqq có tắnh chất phổ dụng sau: Với mỗi khơng gian lồi địa phương đầy đủ F và hàm f : D ứF, thì f P AvpD, Fq nếu và chỉ nếu tồn tại duy nhất một ánh xạ Tf P LpPAvpDq, Fq sao cho TfδD f. Ở đây PAvpDq xác định duy nhất sai khác một phép đẳng cấu đẳng cự.

Chứng minh. Ký hiệu PAvpDq là khơng gian con đóng của tất cả các phiếm hàm tuyến tắnh uP pAvpDq,} }vq1 sao cho u

BAvpDq làτ0-liên tục. Theo [58, Theorem 1], ánh xạ

J :pAvpDq,} }vq ứ pPAvpDqq1

xác định bởi

pJ fqpuq upfq @u PPAvpDq,

là một đẳng cấu tôpô.

Cho δD : D ứPAvpDq là ánh xạ xác định bởi

δDpxq δx,

trong đó δxpgq:gpxq với mọi g P AvpDq.

Vì

pJ fq δDpxq δxpfq fpxq (2.1) với mọi f P AvpDq, x P D và J là toàn ánh nên ánh xạ δD : D ứ PAvpDq là chỉnh hình yếu. Do E là khả mêtric nên ánh xạ δD :D ứPAvpDq là chỉnh hình.

Tiếp theo, ta kiểm chứng rằng

spantδx : xPDu là không gian con trù mật của PAvpDq. (2.2) Thật vậy, giả sử ngược lại, khi đó theo định lý Hahn-Banach, tồn tại η P pPAvpDqq1, η 0, sao cho ηpδxq 0 với mỗi x P D. Tuy nhiên, vì J là tồn ánh, nên η J f

với f PAvpDq. Suy ra

fpxq δxpfq ηpδxq 0 @x PD

Tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng tỏ rằng PAvpDq và δD có tắnh chất phổ dụng. Trước tiên, chúng tơi sẽ chứng minh điều kiện cần của tắnh chất phổ dụng. Cho hàm f : D ứ F. Giả sử tồn tại Tf P LpPAvpDq, Fq sao cho Tf δD f. Vì Tf liên tục và pPAvpDqq1 AvpDq nên uf P AvpDq với mỗi uP F1, và do đóf P AvpD, Fq.

Bây giờ, chúng tôi sẽ chứng minh điều kiện đủ của tắnh chất phổ dụng. Chúng ta xét các trường hợp sau của F.

(i) Trường hợp F C: Chúng ta định nghĩa Tf :J f. Vì (2.1) nênTfδD f.

Mặt khác, do spantδx : x P Du là không gian con trù mật của PAvpDq nên Tf là duy nhất.

(ii) Trường hợp F Banach: Thực hiện các bước như trong [55, Theorem 2.1] với Tf : PAvpDq ứF2 xác định bởi

pTfuqpϕq Tϕfpuq upϕfq, @uP PAvpDq, ϕ PF1.

(iii) Trường hợp F lồi địa phương đầy đủ: Khi đó, F có thể được xem như là giới hạn xạ ảnh của các khơng gian Banach

F limĐÝÝFV,

trong đó V chạy khắp tập các 0-lân cận lồi, cân trong F. Ký hiệuωV :F ứFV và

ωV V1 :FV1 ứFV là các ánh xạ chắnh tắc với V1 €V. Lấy f P AvpD, Fq. Vì ωV f P

AvpD, FVq nên từ Trường hợp (i) suy ra tồn tại duy nhất TV P LpPAvpDq, FVq sao cho TV δD ωV f.Dễ thấy rằngωV V1TV1 TV.Do đó, tồn tạiT PLpPAvpDq, Fq

sao cho ωV T TV với mỗi V. Suy ra T δD f. Tắnh duy nhất của T được suy ra từ (2.2).

Tắnh duy nhất của PAvpDq sai khác bởi một đẳng cấu tôpô được suy ra trực tiếp từ tắnh chất phổ dụng.

Vì J là đẳng cấu tôpô nên không gian PAvpDq được gọi là tiền đối ngẫu của

AvpDq.

Tiếp theo, chúng tôi xem xét các kết quả trên cho các hàm chỉnh hình Gâteaux có trọng.

Cho D là một tập con mở của không gian lồi địa phương khả mêtric E. Ký hiệu FpEq là họ tất cả các không gian con hữu hạn chiều của E. Theo Định lý 2.2.1, với mỗi Y P FpEq, tồn tại duy nhất một ánh xạ pY P LpPAvpDXYq, PAvpDqq

sao cho biểu đồ sau là giao hốn

DXY id // δDXY D δD PAvpDXYq pY //PAvpDq (2.3)

trong đó id là ánh xạ đồng nhất và PAvpDXYq là tiền đối ngẫu của AvpDXYq.

Nếu Y, Z P FpEq sao cho Y € Z thì theo Định lý 2.2.1 tồn tại duy nhất một ánh xạ pZY PLpPAvpDXYq, PAvpDXZqq sao cho biểu đồ sau là giao hốn

DXY id // δDXY DXZ δDXZ PAvpDXYq pZY //PAvpDXZq

Từ đó, ta suy ra pZ pZY pY nếu Y €Z. Ký hiệu

PAvp0 Dq : ấ

YPFpEq

pYpPAvpDXYqq

và trang bị cho PAv0 pDq tôpô cảm sinh bởi tôpô của PAvpDq.

Giả sử AG,vpDq là không gian con của HG,vpDq sao cho hình cầu đơn vị đóng là compact đối với tơpơ τ0. Với mỗi khơng gian lồi địa phương đầy đủ F, ta đặt

AG,vpD, Fq: tf : DứF : uf P AG,vpDq, @uPF1u.

Khi đó, chúng ta nhận được kết quả sau.

Định lý 2.2.2. Cho D là một miền trong không gian lồi địa phương khả mêtric

E. Khi đó

(i) PAvp0 Dq là khơng gian con trù mật của PAvpDq;

(ii) δD P HpD, PAvpDq0 q;

(iii) Với mỗi không gian lồi địa phương đầy đủ F, hàm f P AG,vpD, Fq nếu và chỉ nếu tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tắnh Tf : PA0vpDq ứ F sao cho

Chứng minh. (i) Từ Biểu đồ giao hoán (2.3), ta suy ra δx P PAv0 pDq với mỗi xP D.

Theo (2.2), PAvp0 Dq trù mật PAvpDq.

(ii) Ta có δD P HpD, PAvpDqq (xem Định lý 2.2.1) và δDpxq P PAvp0 Dq với mọi

xP D. Với mỗi z P D, ta viết

δDpzq

8

ị

n0

PnδDpzq.

Do đó, để chứng minh δD P HpD, PA0vpDqq, chúng ta chỉ cần kiểm tra rằng

PnδDpaq P PpnE, PAvp0 Dqq

với mỗi a P D và n PN, trong đó PpnE, PAvpDq0 q là không gian véctơ tất cả các đa thức n-thuần nhất liên tục từ E vào PAvp0 Dq.

Cố định a P D, n P N và t P E. Lấy r ¡ 0 sao cho a ηt P D với mọi

η P ∆r tλ P C : |λ| ấ ru và lấy Y P FpEq sinh bởi a và t. Khi đó, từ Biểu đồ gian hốn (2.3), ta suy ra

PnδDpaqptq 1 2πi Ừ |η|r δDpa ηtq ηn 1 dη 1 2πi Ừ |η|r pY δDXYpa ηtq ηn 1 dη pYpPnδDXYqpaqptq, và do đó PnδDpaqptq P pYpPAvpDXYqq € PAvp0 Dq.

(iii) Trước tiên, cho hàm f : D ứ F. Giả sử rằng tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tắnh Tf : PAvp0 Dq ứ F sao cho Tf δD f. Khi đó, từ Biểu đồ giao hốn (2.3), ta suy ra TY,f δDXY fDXY với mỗi Y P FpEq, trong đó

TY,f :Tf

pYpPAvpDXYqq P LpPAvpDXYq, Fq.

Theo Định lý 2.2.1, f

DXY P AvpDXY, Fq. Suy ra f P AG,vpD, Fq.

Ngược lại, với mỗif P AG,vpD, Fqvà Y PFpEq,hàmfY :f

DXY PAvpDXYq.

Theo Định lý 2.2.1, tồn tại duy nhất một ánh xạ TY P LpPAvpDXYq, Fq sao cho

TY δDXY fY. Nếu Y, Z P FpEq với Y €Z, thì biểu đồ sau là giao hoán

DXY id // δDXY DXZ id // δDXZ D f PAvpDXYq pZY //PAvpDXZqTZ //F

Điều này chứng tỏ rằng TZ pZY TY nếu Y € Z. Do đó, có một ánh xạ tuyến tắnh T : PAvp0 Dq ứ F sao cho T pY TY với mỗi Y P FpXq. Vì TY δDXY fY

nên T δD f.

Giả sử ta tìm được S : PA0vpDq ứF sao cho T δD f. Khi đó SpY TY

T pY với mỗi Y PFpEq. Điều này dẫn đến S T.

Cuối cùng, vì f T δD nên f liên tục nếu T liên tục. Chiều ngược lại được suy ra từ Định lý 2.2.1.

Chú ý rằng một họ F € AvpD, Fq bị chặn nếu và chỉ nếu nó bị chặn khuếch đại, tức là họ tωpf : f P Fu bị chặn trongAvpD, Fpq với mọi pPcspFq, trong đó

ωp : F ứFp là ánh xạ chắnh tắc.

Bổ đề 2.2.3. Cho D là một miền trong không gian lồi địa phương khả mêtric E

và F là một không gian lồi địa phương đầy đủ. Khi đó, họ pfjqjPI € AvpD, Fq bị chặn nếu và chỉ nếu họ pTfjqjPI €LpPAvpDq, Fq tương ứng là đồng liên tục.

Chứng minh. Gọi pTfjqjPI là họ tương ứng của pfjqjPI, tức là fjpxq Tfjpδxq với mỗi xP D (xem Định lý 2.2.1). Đặt Dv : tvpxqδx : xP Du €PAvpDq. Dễ thấy

acxpDvq pDvq BAvp Dq BPAvpDq,

trong đó acxpDvq là bao lồi cân đóng của Dv.

Giả sử pTfjqjPI € LpPAvpDq, Fq là đồng liên tục. Khi đó, với mỗi p P cspFq, tồn tại Cp ¡0 sao cho

TωpfjpDvq tvpxqpωpfjqpxq: xP Du € CpBFp,@j P I,

trong đó BFp là hình cầu đơn vị của Fp. Suy ra

TωpfjpBPAvpDqq TωpfjpacxpDvqq €acxpTωpfjpDvqq €CpBFp,@j P I.

Điều này chứng tỏ họ pωpfjqjPI bị chặn với mọi pPcspFq, và do đó họpfjqjPI bị chặn.

Ngược lại, lấy V là một lân cận của 0 trong F. Giả sử V : ε“m

i1ωpi1pBFpiq.

Theo giả thiết, với mỗi pi, 1ấi ấm, tồn tại Cpi ¡0 sao cho

và do đó tvpxqfjpxq: xP Du €V,@j P I. Khi đó TfjpDvq tvpxqTfjpδxq: xPDu tvpxqfjpxq :x PDu €V,@j P I. Suy ra TfjpBPAvpDqq TfjpacxpDvqq €V ,@j P I.

Từ Định lý 2.2.2 và Bổ đề 2.2.3, ta nhận được hệ quả sau.

Hệ quả 2.2.4. Cho D là một miền trong không gian lồi địa phương khả mêtric E

và F là một không gian lồi địa phương đầy đủ. Khi đó, họ pfjqjPI € AvpD, Fq bị chặn nếu và chỉ nếu họ tương ứng pTfjqjPI €LpPAv0 pDq, Fq là đồng liên tục.

2.3 Hội tụ Tauber trong khơng gian có trọng của

các hàm chỉnh hình

Chúng tôi sẽ áp dụng các kết quả trong Phần 2.2 để nghiên cứu bài toán hội tụ Tauber cho dãy/lưới trong các khơng gian có trọng HvpE, Fq và AvpD, Fq.

Trước hết, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và ký hiệu sẽ được sử dụng trong phần này.

Tập con M „Dđược gọi là tập duy nhất đối với AvpDqnếu với mỗi f PAvpDq

sao cho f

M 0 thì f 0.

Tập con M € D được gọi là tập mẫu đối với AvpDq nếu tồn tại một hằng số

C ầ1 sao cho với mỗi f P AvpDq, ta có

sup

zPDvpzq|fpzq| ấCsup

zPMvpzq|fpzq|. (2.4) Chú ý 2.3.1. Với M €D, ký hiệu Mv : tvpxqδx : xP Mu €BPAvpDq với BPAvpDq

là hình cầu đơn vị của PAvpDq.

1. Vì hình cầu đơn vị đóng BAvpDq của khơng gian AvpDq là τ0-compact nên theo định lý Hahn-Banach, chúng ta dễ dàng kiểm tra được các khẳng định sau là tương đương:

(i) Mv là tách điểm trong AvpDq;

(ii) xMvy :spanMv là σpPAvpDq, AvpDqq-trù mật; (iii) M là tập duy nhất đối với AvpDq.

2. Với chuẩn xác định bởi }f}M,v : supzPMvpzq|fpzq| trên AvpDq, rõ ràng các khẳng định sau là tương đương:

(i) M là tập mẫu đối với AvpDq;

(ii) } }v } }M,v trên AvpDq.

3. Rõ ràng, nếu M là tập mẫu đối vớiAvpDqthì Mv là tách điểm trong AvpDq.

Do đó, M là tập duy nhất đối với AvpDq.

Các kết quả đầu tiên của phần này liên quan đến sự hội tụ Tauber có trọng của dãy các hàm chỉnh hình Gâteaux trong khơng gian pEK, τEq, trong đó EK là bao tuyến tắnh của K P KpEq với tôpô τE trên EK được cảm sinh từ tôpô của không gian Fréchet E.

Định lý 2.3.2. Cho E, F là các không gian Fréchet và v là một trọng trên E.

Giả sử E là không gian hạch với tôpô τE và E P prΩq. Khi đó, tồn tại một tập khơng đa cực K P KpEq thỏa mãn tắnh chất: nếu pfmqmầ1 là dãy bị chặn trong

HG,vppEK, τEq, Fq sao cho pfmqmầ1 hội tụ tại mỗi x P K đến một hàm f liên tục tại x0 PK, thì f có một thác triển frP HvpE, Fq và pfmqmầ1 hội tụ đều đến frtrên

các tập con compact của pEK, τEq.

Chứng minh. Theo Định lý 1.3.3, tồn tại một tập không đa cực K P KpEq sao cho pEK, τEq là không gian Zorn. Trước tiên, không mất tắnh tổng quát, giả sử

FpEK, τEq tQ1, . . . , Qn, . . .u, trong đó dimQn n và Qn €Qn 1 € pEK, τEq với mọi n P N. Khi đó

pEK, τEq ấ

nPN

Qn.

Vì dimQn n   8 nên, theo định lý Montel, hình cầu đóng đơn vị Bn,v của

HvpQnq là τ0-compact. Một cách tương tự như trong Định lý 2.2.2, chúng ta ký hiệu

PHv0 pEK,τEq : ấ

nPN

và trang bị cho PHvpEK0 ,τEq tôpô cảm sinh từ không gian tiền đối ngẫu PHvpEK,τEq

của HvpEK, τEq.

Giả sử pfmqmầ1 là một dãy thỏa mãn các giả thiết của định lý này. Theo Định lý 2.2.2, tồn tại dãy pTfmqmầ1 € LpPH0vpE

K,τEq, Fq sao cho Tfm δEK fm với mọi

m ầ 1. Khi đó pTfmqmầ1 là đồng liên tục. Thật vậy, lấy V là một lân cận của 0

trong F. Giả sử V : ε“m

i1ωp1i pBFpiq với BFpi là hình cầu đơn vị trong khơng gian Banach Fpi với mọi pi PcspFq và ωpi : F ứFpi là ánh xạ chắnh tắc. Theo giả thiết, với mỗi pi, 1ấi ấm, tồn tại Cpi ¡0 sao cho

tvpxqpωpi fjqpxq: xP EKu €εCpipBF piq, @j P I, và do đó tvpxqfjpxq: xP EKu € V, @j PI. Đặt pEK, τEqv : tvpxqδx : xPEKu €PHvp0 E