Phần này sẽ trình bày các kết quả chắnh về bài tốn hội tụ Vitali. Cụ thể, chúng tơi sẽ khảo sát các khơng gian có tắnh Vitali được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 3.3.1. Một không gian giải tắch Banach X được gọi là có tắnh Vitali nếu dãy pfnqnầ1 Holp∆, Xqvà Zpfnq có một điểm giới hạn trong∆thì dãypfnqnầ1 hội tụ.
Một miền Dtrong không gian Banach được gọi là K-hyperbolic nếu giả khoảng cách K trên D sinh ra tôpô gốc. Một đa tạp Banach phức D với khoảng cách %
cảm sinh tôpô gốc được gọi là tight nếu Holp∆, Dqlà một tập các ánh xạ đồng liên tục.
Mệnh đề 5.11 trong [18] phát biểu rằng một miền D trong một không gian Banach là K-hyperbolic nếu và chỉ nếu pD, KDq là tight, trong đó KD là giả khoảng cách Kobayashi trên D. Vì mỗi miền bị chặn là K-hyperbolic nên mệnh đề này bao hàm cả định lý Montel. Hơn nữa, Barth [3], Eisenman [24] và Kiernan [47] đã chứng minh, một cách độc lập nhau, rằng mỗi đa tạp phức taut hữu hạn chiều là tight với một khoảng cách thắch hợp. Do đó, tắnh taut và tắnh Vitali có mối quan hệ với nhau. Mục đắch của phần này là nghiên cứu mối quan hệ giữa tắnh taut yếu và tắnh Vitali. Kết quả đầu tiên chúng tôi đạt được là định lý sau đây.
Định lý 3.3.2. Cho X là một khơng gian phức. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương
(i) X có tắnh Vitali; (ii) X là taut yếu; (iii) X là taut.
Chứng minh. (iii) ự (ii): Từ định nghĩa về tắnh taut và tắnh taut yếu ta dễ dàng có được (ii).
(ii) ự (i): Lấy dãy pfnqnầ1 Holp∆, Xq sao cho tập các điểm giới hạn Z1 của
Z là khơng rỗng trong ∆, trong đó
Z Zpfnq tλP ∆ : lim
n fnpλq tồn tạiu.
Do X là taut yếu nên nếu pgnqnầ1 pfnqnầ1 không hội tụ trong Holp∆, Xq, thì ta có thể tìm phnqnầ1 pgnqnầ1, S : Sphnq và một tập con rời rạc của ∆ sao cho phn
∆zSqnầ1 phân kỳ compact. Nếu a P Z thì b limnhnpaq P X và L : phnpaqqnầ1 Y tbu là một tập con compact của X. Nếu a R S thì K : tau là một tập con compact của ∆zS. Vì hnpKq XL ∅ với mọi n và phn
∆zSqnầ1 phân kỳ compact nên điều này là không thể; và do đó a P S, tức là Z S. Vì tập S là rời rạc nên Z cũng rời rạc và điều này mâu thuẫn với tắnh chất Z1 là khác rỗng. Điều này chứng tỏ mỗi dãy con của pgnqnầ1 pfnqnầ1 chứa một dãy con phnqnầ1 hội tụ tới Gphnq P Holp∆, Xq. Với bất kỳ hai dãy con phnqnầ1 và phnqnầ1 như thế, ta có
Gphnqpzq Gphnqpzqvới mọiz P Z.VìZ có một điểm tụ nên ta suy raGphnq Gphnq, nghĩa là, tồn tại G P Holp∆, Xq sao cho mỗi dãy con của pgnqnầ1 pfnqnầ1 chứa một dãy con phnqnầ1 hội tụ tới G.
Theo [36], vì X là taut yếu nên X là hyperbolic. Do đó, nếu dãy pfnqnầ1 không hội tụ tới G đều trên các tập con compact của ∆ thì tồn tại một tập con compact
K của ∆ và ε ¡0 sao cho
lim sup
n
tκXpfnpzq, Gpzqq: z P Ku ầ 2ε.
Ta có thể chọn nj ứ 8 và zj P K sao cho κXpfnjpzjq, Gpzjqq ầ ε với mọi j. Nếu
zj ứz khi j ứ 8, thì
εấκXpfnjpzjq, Gpzjqq ấκXpfnjpzjq, fnjpzqq κXpfnjpzq, Gpzqq κXpGpzq, Gpzjqq
ấ2κ∆pz, zjq κXpfnjpzq, Gpzqq.
Do đó, κXpfnjpzq, Gpzqq ầ ε với mọi j. Điều này mâu thuẫn với sự kiện rằng một
dãy con của pfnq hội tụ tới G. Như vậy, ta đã chứng minh được (ii) suy ra (i). (i) ự(iii): Ký hiệuFX là giả mêtric Kobayashi vi phân hoặc Kobayashi-Royden trên X (xem [18, p.63], [49, p.86] và [44, Section 3.5]), được định nghĩa như sau:
FXpx, vq :inftr¡0 : Df : ∆ÝÝứhol X, fp0q x, f1p0qprq vu.
Trước tiên, chúng ta chứng tỏ rằng với mỗi x0 P X tồn tại c¡0 và một lân cận U
không gian tiếp xúc đối với X tại x. (Ở đây, chú ý rằng, vì đây là một kết quả địa phương nên không mất tắnh tổng quát ta giả sử TpUq U E, trong đó pE,} }q
là một khơng gian Banach.) Giả sử ngược lại. Khi đó, tồn tại một xP X, một dãy
pxnq X hội tụ tới x và pfnq Holp∆, Xq sao cho fnp0q xn và }fn1p0q} ầ n với mọi n. Chọn một dãy pλjqjầ1 ∆ sao cho |λj| ứ0 khi j ứ 8. Với mỗi n ầ1, đặt
θnpλq : n Ự j1 λλj 1λjλ với λP ∆.
Ta có θnpλjq 0 với 1 ấ j n và θ1kpλ1q 0 với k ầ 1. Do đó, với mọi k ầ 1, ta có thể tìm nk sao cho }fn1kpθkpλ1qqθk1pλ1q} }fn1kp0q}|θk1pλ1q| ầk2. Đặt gk :fnk θk. Khi đó, gk P Holp∆, Xq và lim kứ8gkpλjq lim kứ8fnkpθkpλjqq lim kứ8fnkp0q lim kứ8xnk x.
Vì X có tắnh Vitali và dãy pλjqjầ1 hội tụ tới 0 nên dãy pgkqkầ1 hội tụ trong Holp∆, Xq. Do đó,
sup
k
}gk1pλ1q} 8.
Tuy nhiên, điều này lại mâu thuẫn với tắnh chất sau:
gkp1 λ1q fn1 kpθkpλ1qqθ1kpλ1q fn1 kp0qθkp1 λ1q và sup k }gkp1 λ1q} sup k }fn1 kp0qθ1kpλ1q} 8.
Theo Định lý 7.2.2 trong [44], ta kết luận rằng X là hyperbolic.
Bây giờ, giả sử khơng có dãy con nào củapfnqnầ1 Holp∆, Xqphân kỳ compact. Theo Bổ đề 3.2.5, tồn tại pgnqnầ1 pfnqnầ1 sao cho
Z :Zpgnq : tλ P ∆ : lim
n gnpλq tồn tạiu
là khác rỗng. Với λ0 P Z và limngnpλ0q x0, ta ký hiệu V là một lân cận taut của
x0 trong X. Chọn n0 sao cho gnpλ0q P V với mọi n ần0.
Vì X là hyperbolic nên tồn tại δ ¡0 sao cho
Nếu κ∆pλ, λ0q δ và n ần0, thì
κXpgnpλq, x0q ấκXpgnpλq, gnpλ0qq κXpgnpλ0q, x0q
ấκ∆pλ, λ0q κXpgnpλ0q, x0q 2δ
và gnpUq V với mọi n ầ n0. Do đó, gn
U P HolpU, Vq với mọi n ầ n0. Vì
limngnpλ0q x0 nên dãy gn
U khơng phân kỳ compact; và vì V là taut nên tồn tại
phnqnầ1 pgnqnầ1 sao cho hn
U hội tụ trong HolpU, Vq. Suy ra
U Zphnq : tλP ∆ : lim
n hnpλq tồn tạiu
có một điểm giới hạn trong∆. Do X có tắnh chất Vitali, ta suy ra rằng phnqnầ1 hội tụ trong Holp∆, Xq, tức làX là taut. Điều này chứng tỏ rằng (i) ự (iii) và chứng minh được hoàn thành.
Tiếp theo, chúng tôi xem xét mối quan hệ giữa tắnh taut yếu và tắnh Vitali trong không gian giải tắch Banach và có được kết quả sau.
Định lý 3.3.3. Cho X là khơng gian giải tắch Banach. Khi đó, X là taut yếu nếu và chỉ nếu X là hyperbolic và có tắnh Vitali.
Chứng minh. Như đã chứng minh trong [36], nếuX là taut yếu thìX là hyperbolic. Mặt khác, mệnh đề (ii) ự (i) của Định lý 3.3.2 suy ra rằng X cũng có tắnh Vitali. Bây giờ, giả thiết rằng X là một khơng gian hyperbolic và có tắnh chất Vitali. Lấy pfnqnầ1 Holp∆, Xq và giả sử rằng không dãy con nào của pfnqnầ1 là phân kỳ compact. Theo Bổ đề 3.2.5, tồn tại pgnqnầ1 pfnqnầ1 sao cho
Zpgnq : tλP ∆ : lim
n gnpλq tồn tạiu ∅.
Nếu Zpgnq có một điểm giới hạn trong ∆, thì tắnh Vitali kéo theo rằng pgnqnầ1 hội tụ trong Holp∆, Xq.
Nếu Zpgnq khơng có điểm giới hạn trong ∆, thì từ Hệ quả 3.2.8 suy ra tồn tại một tập con rời rạcScủa∆vàphnqnầ1 pgnqnầ1 sao chophn
∆zSqphân kỳ compact trong Holp∆zS, Xq. Vì phnqnầ1 pfnqnầ1 nên ta được điều cần chứng minh.