Tiếp theo, chúng tôi sẽ đưa ra điều kiện cần và đủ để những miền Hartogs
ΩϕpXq trong không gian giải tắch Banach là taut yếu; điều kiện cần và đủ để những miền cân trong không gian Banach là taut yếu.
Định nghĩa 3.4.1. Cho X là không gian giải tắch Banach và ϕ là hàm nửa liên tục trên trên X. Khi đó, miền Hartogs ΩϕpXq là miền được xác định bởi
ΩϕpXq : tpx, λq P X C : |λ| eϕpxqu.
Trong không gian hữu hạn chiều, Klimek [48, p. 83] đã đưa ra các kết quả về tắnh giả lồi của những miền Hartogs. Định lý sau cho một kết quả về tắnh taut yếu của những miền Hartogs.
Định lý 3.4.2. Miền ΩϕpXq là taut yếu nếu và chỉ nếu X là taut yếu và ϕ là hàm đa điều hòa dưới liên tục.
Chứng minh. Giả sử rằng ΩϕpXq là taut yếu. Trước tiên, chúng ta chứng minh
X là taut yếu. Thật vậy, lấy dãy pfnqnầ1 Holp∆, Xq. Khi đó ppfn,0qqnầ1 P
Holp∆,ΩϕpXqq. Nếu ppgn,0qqnầ1 ppfn,0qqnầ1 hội tụ trong Holp∆,ΩϕpXqq thì
pgnqnầ1 pfnqnầ1 hội tụ trong Holp∆, Xq. Nếu tồn tại một tập con rời rạc S ∆
và ppgn,0qqnầ1 ppfn,0qqnầ1 phân kỳ compact trong Holp∆zS, Xq thì pgn
∆zSqnầ1
là phân kỳ compact trong Holp∆zS, Xq. Do đó, X là taut yếu.
Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng ϕ liên tục. Vì ϕ là nửa liên tục trên nên chúng ta chỉ còn cần chứng tỏ rằng ϕ là nửa liên tục dưới. Nếu ϕ không nửa liên tục dưới thì tồn tại x0 P X và tồn tại dãy pxjqjầ1 X, limjxj x0, sao cho
lim infjϕpxjq ϕpx0q. Do đó, bằng cách trắch ra một dãy con nếu cần thiết, chúng ta có thể giả sử rằng tồn tại s PR sao cho ϕpxjq ấs ϕpx0q với mọi j ầ1, tức là
ϕpx0q sấ ϕpxjq với j ầ1. Vì tắnh tăng nghiêm ngặt của hàm mũ nên ta có
eϕpx0q r:es eϕpxjq (3.1) với j ầ 1. Với j ầ 1, đặt fjpλq pxj, rλq, λ P ∆. Khi đó, từ (3.1) ta suy ra
fj P Holp∆,ΩϕpXqq.
Nếu λP ∆ và |λ| δ :r1eϕpx0q thì |λ|r r1eϕpx0qreϕpx0q và px0, rλq P
ΩϕpXq. Do đó,
với |λ| δ và δ∆ Zpfnq. Theo Định lý 3.3.3, ΩϕpXq có tắnh Vitali. Suy ra dãy
pfjqjầ1 hội tụ tới f P Hp∆,ΩϕpXqq. Từ (3.2), ta có fpλq px0, λrq với |λ| δ và theo Nguyên lý đồng nhất cho các hàm chỉnh hình, chúng ta nhận được fpλq px0, λrq với mọi λ P ∆. Do đó, px0, λrq P ΩϕpXq với mọi λ P ∆. Điều này mâu
thuẫn với (3.1). Vì vậy, ϕ là liên tục.
Cuối cùng, chúng ta chứng minh rằng ϕ là đa điều hòa dưới. Vớipx, λq P XC, đặt
Hpx, λq:log|λ| ϕpxq.
Chú ý rằng
px, λq P ΩϕpXq đự Hpx, λq 0. (3.3) Chúng ta chỉ cần chứng minh rằng H là đa điều hòa dưới. Do [26], chúng ta chỉ cần chứng tỏ rằng hàm
upλq : pH gqpλq Hpg1pλq, g2pλqq
là điều hòa dưới với mỗi g pg1, g2q P Holp∆, X Cq XCp∆, X Cq. Giả sử điều này không đúng. Khi đó, tồn tại λ0 P ∆, t ¡0, sao cho ∆pλ0, tq ∆ và h liên tục trên ∆pλ0, tq và điều hòa trên ∆pλ0, tq sao cho
upλq hpλq ấ 0
khi |λλ0| t, nhưng
suptupλq hpλq: λP ∆px0, tqu ¡0.
Vì các hàm ϕ và h liên tục nên tồn tại λ1, |λ1λ0| t, sao cho
ε0 :upλ1q hpλ1q suptupλq hpλq : |λλ0| ấtu ¡0. (3.4) Ký hiệu rh là một liên hợp điều hòa đối với h trên ∆pλ0, tq. Với mỗi n P N và
λ P∆pλ0, tq, đặt
ψnpλq : g1pλq, ehpλqirhpλqε0n1g2pλq.
Khi đó, ψn P Holp∆pλ0, tq, X Cq. Hơn nữa, do
Hpψnpλqq log|ehpλqihrpλqε0n1g2pλq| ϕpg1pλqq hpλq ε0 1 n log|g2pλq| ϕpg1pλqq hpλq ε0 1 n Hpg1pλq, g2pλqq upλq hpλq ε0 1 n 0,
và (3.3), nên ψn P Holp∆pλ0, tq,ΩϕpXqq với mọi n. Nếu pχnqnầ1 pψnqnầ1 hội tụ tới χP Holp∆pλ0, tq,ΩϕpXqq thì
χpλq pg1pλq, ehpλqirhpλqε0g2pλqq
với mọi λP ∆pλ0, tq. Vì H liên tục nên
Hpχpλ1qq lim
n Hpχnpλ1qq upλ1q hpλ1q ε0 0.
Điều này mâu thuẫn với (3.3), và do đó pψnqnầ1 khơng có dãy con hội tụ.
Tiếp theo, giả sử S là một tập con rời rạc của ∆pλ0, tq. Do u và h là liên tục trên ∆pλ0, tq và |λ1λ2| t, ta có thể chọn trsao cho |λ1λ0| rt t và
suptupλq hpλq: |λλ0| rtu ε0.
Vì tập S đếm được nên chọn λ2 P tλ : |λλ0| rtu X p∆pλ0, tqzSq. Với giá trị λ2
được chọn này, ta có lim n ψnpλ2q pg1pλ2q, ehpλ2qirhpλ2qε0g2pλ2qq : ξ và Hpξq Hpg1pλ2q, ehpλ2qirhpλ2qε0g2pλ2qq log|ehpλ2qirhpλ2qε0g2pλ2q| ϕpg1pλ2qq hpλ2q ε0 log|g2pλ2q| ϕpg1pλ2qq hpλ2q ε0 Hpg1pλ2q, g2pλ2qq upλ2q hpλ2q ε0 0.
Vì (3.3) nên ξ P ΩϕpXq và pψnpλ2qqnầ1Y pξq là một tập con compact của ΩϕpXq.
Do tập một điểm tλ2u là một tập con compact của ∆pλ0, tq nên khơng có dãy con nào của pψnqnầ1 phân kỳ comppact trong Holp∆pλ0, tqzS,ΩϕpXqq. Do đó, ΩϕpXq
là khơng taut yếu.
Ngược lại, giả sử rằng ϕ là đa điều hòa dưới liên tục và X là taut yếu. Xét một dãy pfnqnầ1 Holp∆,ΩϕpXqq. Ta viết fn phn, gnq, trong đó hn P Holp∆, Xq và
gn P Holp∆,Cq và với mọi λP ∆,
|gnpλq| eϕphnpλqq.
Trước hết, chúng ta giả thiết rằng tồn tại một dãy conphnkqkầ1 phnqnầ1 hội tụ tới
Do đó, theo định lý Montel, ta có thể giả sử pgnkqkầ1 hội tụ tới g P Holp∆,Cq. Với mỗi 0 r 1, ta có
|gpλq| ấeϕphpλqq
khi |λ| ấ r. Một cách tương đương,
ϕphpλqq log|gpλq| ấ 0,
khi λ P ∆. Do các hàm h và g chỉnh hình nên f : ph, gq P Holp∆, X Cq và ánh xạ
ψ : λ ỡứϕphpλqq log|gpλq| P r8,0s
là đa điều hịa dưới vì ϕ là đa điều hịa dưới. Theo Nguyên lý cực đại, hai trường hợp sau có khả năng xảy ra:
Trường hợp thứ nhất: ψpλq 0 với mọi λP ∆.
Trong trường hợp này, f P Holp∆,ΩϕpXqq và dãy pfnkqkầ1 pphnk, gnkqqkầ1 hội tụ tới f ph, gq trong Holp∆,ΩϕpXqq.
Trường hợp thứ hai: ψpλq 0 với mọi λ P∆.
Với ε¡0, đặt
Aε : tpx, λq: |λ| epϕpxq εqu tpx, λq : ϕpxq log|λ| εu.
Vìϕ là đa điều hòa dưới nên Aε là tập mở và tAεulà một phủ mở tăng củaΩϕpXq.
Do đó, nếu L là một tập con compact của ΩϕpXq thì L Aε với một ε ¡ 0 nào đó. Chúng ta chứng minh rằng với bất kỳ r cố định, 0 r 1, phnk, gnkqpλq R L
với mọi λ P ∆, |λ| ấ r và mọi k đủ lớn. Giả sử ngược lại, ta có thể tìm được một tập vơ hạn các số nguyên dương pnkqkầ1 và một dãy λk P ∆, |λk| ấ r sao cho
phnk, gnkqpλq P L với mọi nk. Khi đó, tồn tại λ, |λ| ấ r sao cho ψpλq ấ ε. Điều
này khơng thể xảy ra vì ψpλq 0 với mọiλP ∆. Do đó, trong trường hợp này, dãy
pfnkqkầ1 phân kỳ compact trong Holp∆,ΩϕpXqq.
Bây giờ, giả sử dãy phnqnầ1 là phân kỳ compact trên ∆zS, trong đó S ∆
là tập rời rạc. Giả sử K là một tập con compact của ∆zS và Lr là một tập con
compact của ΩϕpXq. Gọi π : ΩϕpXq ứ X là phép chiếu tự nhiên xác định bởi
πpx, λq x, @ px, λq P ΩϕpXq.
Nếu X C được trang bị một chuẩn định nghĩa bởi
thì π là liên tục. Do đó, L:πprLq X là một tập compact. Chọn n0 sao cho
hnpKq XL∅, @ n ¡n0.
Khi đó,
fnpKq X rL ∅, @ n¡n0,
và do đó dãy pfnqnầ1 phân kỳ compact trên ∆zS. Điều này kết thúc chứng minh của Định lý 3.4.2.
Tiếp theo, chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ để một miền cân trong không gian Banach là taut yếu. Sau đây chúng tôi nhắc lại khái niệm về hàm cỡ.
Định nghĩa 3.4.3. Cho X là một miền cân trong không gian Banach E. Khi đó,
hàm cỡ h của X là hàm được cho bởi
hpxq inftλ ¡0 : x PλXu.
Nhận xét 3.4.4. Dễ thấy rằng
hpλxq |λ|hpxq
với mọi λP C, x PE và X tx PE : hpxq 1u.
Theo [44, Proposition 3.1.10] và [54, Corollary 37.6], X là giả lồi nếu và chỉ nếu
h là đa điều hòa dưới.
Nếu x 0 thì hpxq 0. Lấy ε ¡0 tùy ý. Giả sử pxnqnầ1 E hội tụ tới xP E.
Vì tx: }x} δu X với δ ¡0 nào đó nên ta có thể chọn n0 sao cho }xn} ấ εδ với mọi n ầ n0. Khi đó, xn P tx : }x} εδu εtx : }x} δu εX và hpxnq ấ ε với mọi n ần0. Do đó, h là liên tục tại 0.
Lấy x 0 và giả sử pxnqnầ1 E hội tụ tới x. Vì X là một miền nên nếu
xP λX, λ¡0 thì xn P λX với mọin đủ lớn. Do đó, hpxnq ấ hpxq với mọi n đủ lớn và lim supnhpxnq ấ hpxq. Để chứng tỏ rằng h liên tục, chúng ta chỉ cần chứng tỏ rằng hpxq ấ lim infnhpxnq. Dùng tắnh thuần nhất và dãy con, chúng ta thấy rằng
h là liên tục nếu và chỉ nếu với mọi pxnqnầ1 X, limnxn x kéo theo hpxq ấ 1.
Bây giờ, chúng ta chứng minh kết quả sau.
Định lý 3.4.5. Cho X là một miền cân trong khơng gian Banach pE,} }q. Khi đó, X là taut yếu nếu và chỉ nếu X bị chặn và hàm cỡ h là hàm đa điều hòa dưới và liên tục.
Chứng minh. Giả sử X là taut yếu. Theo Định lý 3.3.3, X là hyperbolic. Do [18, Proposition 5.11] nên tồn tại m ¡ 0 sao cho hpxq ầ m}x} với mọi x P E. Nếu X
khơng bị chặn thì ta có thể chọn pλnq X sao cho }λn} ầ n2 với mọi n. Vì X là cân nên λn{n PX và do đó
1ầhpλn{nq ầ m}λn{n} ầ mn2{n mn
với mọi n. Mâu thuẫn này chứng tỏ rằng X bị chặn.
Nếu F là một không gian con hữu hạn chiều của E, i : F ứ E là ánh xạ chắnh tắc và pfnqnầ1 Holp∆, X XFq, thì pifnqnầ1 Holp∆, Xq. Do đó, tồn tại
pgnqnầ1 pfnqnầ1 sao cho hoặc pignqnầ1 hội tụ trong Holp∆, Xq hoặc pignqnầ1 phân kỳ compact trong Holp∆, Xq. Vì gnp∆q X XF và X XF là một tập con đóng của X nên nếu pi gnqnầ1 hội tụ trong Holp∆, Xq, thì pgnqnầ1 hội tụ trong Holp∆, X XFq. Nếu pignqnầ1 phân kỳ compact trong Holp∆, Xq, thì với mỗi tập con compact K của ∆ và mỗi tập con compact L của X, tồn tại một số nguyên dương n0 sao cho pi gnqpKq X L ∅ với mọi n ầ n0. Điều này, kết hợp với
pignqpKq F và gnpKq pignqpKq, dẫn đến
pignqpKq XL gnpKq XL ∅
với mọi n ầ n0. Vì F là một tập con đóng của X nên nếu M là một tập con compact của X XF thì ipMq là một tập con compact của X và do đó ta có
gnpKq XM pignqpKq XipMq ∅
với mọi nầ n0. Như vậy, pgnqnầ1 là phân kỳ compact. Chúng ta đã chứng tỏ rằng
X XF là taut yếu với mỗi không gian con hữu hạn chiều F của E. Theo Định lý 3.3.2, XXF là taut. Do đó, từ [49, Theorem 5.2.1], ta suy ra XXF là giả lồi với mỗi không gian con hữu hạn chiều F của E. Theo [54, Corollary 37.6], X là giả lồi. Do đó, từ [54, Theorem 37.5], ta suy ra h là đa điều hòa dưới.
Bây giờ, chúng ta chứng tỏ rằng h là liên tục. Lấy pxnqnầ1 X và giả sử
limnxn x. Với mọi n và mọi λP ∆, đặt fnpλq λxn. Khi đó, fn PHolp∆, Xq với mọi n. Do pxnqnầ1 là một dãy bị chặn trong E và X là một lân cận của 0 nên ta có thể chọn δ ¡ 0 sao cho limnfnpλq λx P X với mọi tλ : |λ| δu. Vì X có tắnh Vitali nên f : limnfn P Holp∆, Xq. Vì fpλq λx với mọi λ với |λ| 1, ta suy ra
λx PX với mọi λ,|λ| 1. Do đó, xP 1
λX với mọi λ thỏa mãn 0 λ 1. Như vậy,
Ngược lại, giả sử X bị chặn và h là đa điều hòa dưới và liên tục. Theo [18, Theorem 5.1], X là hyperbolic. Lấy pfnqnầ1 Holp∆, Xq và giả sử rằng Zpfnq : tλ P∆ : limnfnpλqtồn tạiucó một điểm giới hạn trong∆.VìXbị chặn nênpfnqnầ1 là bị chặn địa phương. Theo [2, Theorem 2.1], dãypfnqnầ1 hội tụ tớif P Holp∆, Eq.
Vì fnp∆q X với mọi n nên fp∆q X, trong đó X là bao đóng của X trong E.
Mặt khác, X txP E : hpxq 1u và h liên tục nên
fp∆q X txPE : hpxq ấ 1u.
Do đó, hpfpλqq ấ1với mọiλ P ∆.Nếuλ PZpfnq thìfpλq P X,và do đóhpfpλqq 1.
Vì f là chỉnh hình và h là đa điều hòa dưới nên hàm
λ P∆ ứhpfpλqq P r0,1s
là đa điều hòa dưới. Theo Nguyên lý cực đại của hàm đa điều hòa dưới và [54, Proposition 34.7], ta có hpfpλqq 1 với mọi λP ∆, tức là fpλq P X với mọi λP ∆.
Do đó, f P Holp∆, Xq và X có tắnh Vitali. Từ Định lý 3.3.3 ta suy ra X là taut yếu.
Kết luận: Trong Chương 3 chúng tôi nghiên cứu sự hội tụ kiểu Vitali cho dãy ánh xạ chỉnh hình trên đĩa đơn vị ∆ C. Chúng tôi đã đưa ra khái niệm không gian taut yếu trong khơng gian giải tắch Banach. Từ đó, thiết lập một số liên hệ giữa ba lớp không gian: không gian giải tắch Banach hyperbolic, không gian taut yếu và khơng gian giải tắch Banach có tắnh Vitali. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một số điều kiện để những miền Hartogs trong không gian giải tắch Banach và những miền cân trong không gian Banach là taut yếu.
KẾT LUẬN
Nội dung chủ yếu của Luận án là nghiên cứu các bài toán về sự hội tụ kiểu Tauber. Luận án đã đóng góp những kết quả chắnh sau đây:
Ớ Chứng minh được tắnh chất Zorn của các miền conDK :DXEK trong không gian con trù mật pEK, τEq của không gian Fréchet E (hạch hoặc Schwartz có cơ sở Schauder tuyệt đối) với K P KpEq là tập khơng đa cực nào đó; và đồng thời cũng chỉ ra rằng mọi hàm chỉnh hình loại bị chặn trên DK đều thác triển được đến một hàm chỉnh hình loại bị chặn trên D (Đinh lý 1.3.3, Định lý 1.3.4).
Ớ Khẳng định sự tồn tại của các tập con lồi, cân, compact, không đa cực B
của không gian FréchetE P prΩq(hạch hoặc Schwartz có cơ sở Schauder tuyệt đối) sao cho mọi hàm f với giá trị Fréchet, xác định, liên tục và được xấp xỉ đủ nhanh trên một tập con lồi, cân, compact, không đa cực B của E bởi một dãy các đa thức ppmqmầ1 với giá trị Fréchet có thể thác triển được đến một hàm nguyên (Định lý 1.4.7, Định lý 1.4.8).
Ớ Đưa ra các điều kiện tồn tại tập con compact, lồi, cân, không đa cực K
trong không gian Fréchet E sao cho mỗi dãy bị chặn các hàm chỉnh hình giá trị Fréchet pfmqmầ1 trong HG,vppEK, τEq, Fq hội tụ đều đến một hàm
f PHG,vppEK, τEq, Fqtrên các tập con compact củapEK, τEqmỗi khipfmqmầ1