8. Bố cục của luận án
1.1. Khái niệm trường Galois
1.1.3 Xây dựng m-dãy từ trường GF(pn)
Tác giả Golomb [21] đã chỉ ra rằng từ vector A(x) như trên, sau mỗi bước nhân A(x) với x theo modulo g(x) và lấy ra một phần tử của A(x), ta sẽ sinh ra một dãy số giả ngẫu nhiên có chu kỳ có thể lên tới 2n-1. Trong lễ tang của Golomb năm 2016, nhà toán học Stephen Wolfram đã đánh giá rằng đây có lẽ là ý tưởng thuật toán được sử dụng nhiều nhất trong lịch sử, với hàng tỷ tỷ lần sinh bit giả ngẫu nhiên trên các thiết bị điện tử trên toàn thế giới[63].
Dãy số này còn được gọi là dãy có chu kỳ cực đại (maximum length sequence), hay gọi là m-dãy (m-sequence)[21]. Do phép nhân với x làm cho toàn bộ đa thức được dịch sang một phía, nên A(x) cịn gọi là thanh ghi dịch. Nội dung
A(x) tại mỗi thời điểm gọi là trạng thái hiện thời của dãy. Trạng thái m-dãy sau t
bước bắt đầu từ trạng thái S(x) là:
A(x) = S(x)*xt/g(x) . (1.2)
Để có thể sinh ra được dãy trên, đa thức g(x) cần phải là đa thức bất khả quy (khơng có một ước đa thức nào). Trong trường hợp g(x) có ước đa thức, có thể dãy sinh ra sẽ bị suy biến thành dãy chứa toàn các bit 0 sau một số bước. Khi g(x) là đa thức bất khả quy, dãy sinh ra sẽ có chu kỳ tối đa là 2n-1.
Để dãy đạt chu kỳ cực đại, đa thức g(x) cần phải là đa thức nguyên thủy (còn gọi là đa thức nguyên tố - primitive polynomial), hay g(x) là phần tử sinh của
trường đa thức GF(pn). Điều đó có nghĩa là xi/g(x) với i = 0.. pn-1 sẽ sinh ra toàn bộ các thành phần của tập đa thức A(x) tương ứng với tập các vector A. Chú ý rằng GF(pn) chỉ là một trường hữu hạn đầy đủ khi g(x) là đa thức nguyên thủy, với g(x) bất kỳ thì ta chỉ có thể có vành đa thức.
Ta có thể tìm được các đa thức ngun thủy từ tính chất sau:
Tính chất 1[40]: Đa thức g(x) là đa thức nguyên thủy của vành đa thức GF(pn) khi và chỉ khi g(x) là đa thức bất khả quy và số nguyên k nhỏ nhất mà g(x) là ước của đa thức xk-1 là k = pn-1.
Có một phương pháp khác để kiểm tra đa thức bất khả quy g(x) với bậc n có là đa thức nguyên thủy hay không, bằng cách kiểm tra xem g(x) có phải là ước của các đa thức xk-1 hay không, với k là các ước của số nguyên N = pn-1.