8. Bố cục của luận án
2.3. Xây dựng dãy phi tuyến lồng ghép
2.3.3 Phân tích khoảng tương đương tuyến tính của các dãy phi tuyến lồng
ghép
Để đánh giá mức độ phức tạp của các chuỗi phi tuyến, ta sẽ sử dụng khái niệm khoảng tương đương tuyến tính (Equivalent Linear Span - ELS [49]). ELS của một dãy được định nghĩa là bậc nhỏ nhất của đa thức sinh ra tồn bộ dãy đó. Ta biết rằng ELS có thể được tính bằng cách biểu diễn hàm vết cũng như biến đổi d [40] [49]. Trong luận án này, ta sẽ áp dụng biến đổi d để tính giá trị ELS.
Gọi biến đổi d của một dãy phi tuyến là:
𝑐(𝑑) = 𝑆𝑐(𝑑)
𝑔𝑐(𝑑) . (2.32)
Bằng cách áp dụng giải thuật Euclid cho đa thức, ta có thể trực tiếp tìm được bậc của c(d).
khi đó 𝑐(𝑑) = 𝐾(𝑑).𝑆𝑐 ′ (𝑑)
𝐾(𝑑).𝑔𝑐 ′ (𝑑) = 𝑆𝑐′(𝑑)
𝑔𝑐′(𝑑) , (2.33) trong đó gcd(𝑆𝑐′(𝑑), 𝑔𝑐′(𝑑)) = 1.
Giá trị ELS of c(d) cũng bằng bậc của 𝑔𝑐′(𝑑), chính là đa thức có bậc nhỏ
nhất có thể sinh ra c(d).
ELS = deg(𝑔𝑐′(𝑑)) = deg(gc(d)) - deg(K(d)) . (2.34) Ta sẽ trình bày quy trình theo từng bước để xác định ELS của dãy phi tuyến lồng ghép:
Bước 1:
Từ thứ tự lồng ghép 𝐼𝑃𝑇 và giá trị của dãy mới tạo ra {en}, ta rút ra biến đổi d của dãy phi tuyến lồng ghép:
𝑐(𝑑) = ∑𝑆−1𝑖=0𝑑𝑖𝑍𝑖(𝑑𝑆) . (2.35)
Trong đó Zi(dS) biểu diễn một dãy con với bước dịch cụ thể từ dãy {en}, theo mô tả trong 𝐼𝑃𝑆. Ta có thể thấy rằng:
𝑍𝑖 (𝑑𝑆) = 𝑆𝑒𝑖(𝑑𝑆)
𝑔𝑒𝑠 (𝑑𝑆). (2.36) trong đó 𝑆𝑒𝑖(𝑑𝑆) và 𝑔𝑒𝑆 (𝑑𝑆) là bước dịch pha và đa thức sinh tương ứng
của {en}. Vì thế ta có: 𝑐(𝑑) = ∑ 𝑑 𝑖𝑆𝑒𝑖(𝑑𝑆) 𝑔𝑒𝑇 (𝑑𝑆) 𝑆−1 𝑖=0 . (2.37) Bước 2:
Áp dụng thuật tốn Euclid vào cơng thức (2.37) ta sẽ có được đa thức sinh bậc nhỏ nhất sinh ra c(d) và từ đó nhận được giá trị ELS là :
ELS = deg g1(dS) - deg(K(d)) (2.38)
Ví dụ 5: Xét m - dãy {bn} sinh bởi đa thức g(d) = 1 + d3 + 2d4 với các tham số:
L = 34 - l = 80, N = 32 - l = 8, T = 10 .
Thứ tự lồng ghép 𝐼𝑃𝑆 tương ứng với {bn} được xác định theo phương pháp trình bày trong phần 2.3 là:
𝐼𝑃𝑇= {5, "", 2, 0, 5, 6, 5, 7, 7, 3}.
Ta sẽ thay thế dãy con của dãy lồng ghép bằng dãy sinh bởi đa thức:
g1(d) = 1 + 2d + 2d2.
Bằng cách áp dụng phương pháp mở rộng dãy theo biến đổi d, ta có
G(D) = (2+D) + 0.d + (D)d2 + (2+2D)d3+ (2+D)d4 + 2D.d5+ (2+D)d6+ 2.d7+2.d8. Thay thế D bằng d10 ta được: G(d) = 2 + 2d3 + 2d4 + 2d6 + 2d7 + 2d8 + d9 + d10 + d12 + 2d13+ d14 + 2d15 + d16 . 𝑐(𝑑) = 𝐺(𝑑) 1+2𝑑10+2𝑑20 . Áp dụng thuật tốn Euclid, ta có: K(d) = gcd(G(d),g1(dS)) , K(d) = 2d8 + d7 + 2d6 + d5 + d3 + 2d + 2.
Từ đó ta tính được giá trị ELS là:
ELS = deg g1(dT) - deg(K(d)) = 20 - 8 = 12.
Vì giá trị ELS bằng 12, lớn hơn ELS của dãy ban đầu {bn}, ta có thể kết luận rằng dãy mới sinh ra {en} có tính chất phi tuyến cao hơn so với dãy ban đầu.