8. Bố cục của luận án
2.4.1 Phương pháp phân rã m-dãy theo bước
Gọi A là một m-dãy với bậc n, chu kỳ 2n-1 và phần tử sinh α. Ta sẽ sinh ra một dãy mới A(T) bằng cách lấy các bit cách nhau T vị trí từ dãy A, bắt đầu từ bit đầu tiên. A(T) được gọi là dãy phân rã (hay dãy decimation) theo bước T từ dãy A. Giá trị T gọi là bước phân rã.
Nếu bước phân rã T và độ dài chu kỳ của m-dãy là nguyên tố cùng nhau, thì dãy phân rã theo bước T từ m-dãy ban đầu cũng là một m-dãy với phần tử sinh αT, các tham số khác của m-dãy phân rã đều giống như dãy ban đầu (bậc, chu kỳ, đa thức sinh …) . Nói cách khác, dãy phân rã được tạo có độ dài chu kỳ và các tính chất giống như dãy ban đầu. Nếu quy m-dãy phân rã về một m-dãy với phần tử sinh α như các biểu diễn m-dãy thơng thường, ta sẽ có một m-dãy mới với đa thức sinh mới có cùng bậc với đa thức ban đầu và cũng là một đa thức nguyên thủy.
Nếu bước phân rã có giá trị T= pu thì dãy phân rã là một dịch pha của dãy ban đầu. Trong trường hợp này bước phân rã và độ dài chu kỳ của m-dãy luôn là nguyên tố cùng nhau.
Nếu bước phân rã T và độ dài chu kỳ của m-dãy khơng phải là ngun tố cùng nhau, khi đó dãy phân rã nhận được sẽ khơng cịn là m-dãy mà là một dãy tuần hồn có chu kỳ 𝑝
𝑛−1
gcd (𝑝𝑛−1,𝑇) . Dãy tuần hoàn này cũng là một LFSR có thể sinh bởi đa thức sinh ban đầu với phần tử sinh αT, hoặc khi quy về LFSR với phần tử sinh α ta sẽ được một đa thức đặc trưng là đa thức bất khả quy, nhưng không phải là đa thức nguyên thủy.
Trong trường hợp rất đặc biệt: khi bước phân rã thỏa mãn T = L / N theo các điều kiện của dãy lồng ghép, bậc của đa thức sinh cho dãy phân rã là ước của bậc đa thức sinh ban đầu. Đó chính là dãy con đầu tiên của dãy lồng ghép được trình bày trong phần 2.2.1 của trong chương này.
Thử nghiệm phương pháp phân rã với một m-dãy cụ thể
f (x) = x23 + x18 + x15 + x14 + x11 + x9 + x5 + x2 + 1.
Với trạng thái khởi đầu S(0) = (1, 0, 0, …, 0), or (000001) theo cơ số 16 (trong phần này ta sẽ dùng giá trị số theo cơ số 16 để biểu diễn các trạng thái thanh ghi của m-dãy).
Áp dụng cơng thức tính giá trị phản hồi theo Fibonacy, ta có thể tính được 16 trạng thái liên liếp của thanh ghi m-dãy như sau:
400000, 200000, 500000, 280000, 548000, 6A0000, 750000, 3A8000, 5D4000, 2EA000, 175000, 4BA800, 25D400, 12EA00, 097500, 44BA80, 625D40, 312EA0 Chọn bước phân rã lần lượt bằng 3 và bằng 5, ta sẽ có các bước nhảy tương ứng như trong hình 2.4:
Hình 2.4 Phân rã m-dãy theo bậc 3 và 5
Tác giả đã xây dựng một ứng dụng nhỏ trên máy tính để thực nghiệm phương pháp phân rã m-dãy sử dụng ngơn ngữ lập trình C. Để xác định đa thức sinh mới của dãy phân rã, ta sử dụng thuật toán Belekamp-Massey trên dãy đầu ra.
400000 200000 500000 280000 548000 6A0000 750000 3A8000 5D4000 2EA000 175000 4BA800 25D400 12EA00 097500 44BA80 625D40 312EA0 000001
Sử dụng phần mềm trên để sinh các dãy phân rã theo bước và phân tích các dãy đầu ra ta có các kết quả sau:
Với T = 5, dãy phân rã thu được là một m-dãy được sinh bởi đa thức:
g1(x) = x23 + x22 + x18 + x17 + x16 + x15 + x12 + x10 + x7 + x6 + x5 + x3 + x2 + x + 1.
Với T = 3, dãy phân rã thu được là một m-dãy được sinh bởi đa thức:
g2(x) = x23 + x20 + x19 + x18 + x17 + x15 + x14 + x12 + x9 + x7 + x6 + x5 + x4 + x2 + 1.
Bảng 2.2 Kết quả phân rã m-dãy
TT Bậc đa thức
Đa thức sinh Bước phân rã Đa thức mới 1 24 x24 + x20 + x19 + x17 + x15 + x13 + x12 + x10 + x8 + x4 + 1 11 x24 + x22 + x20 + x17 + x14 + x11 + x9 + x8 + x5 + x3 + 1 2 23 x23 + x18 + x15 + x14 + x11 + x9 + x5 + x2 + 1 5 x23 + x22 + x18 + x17 + x16 + x15 + x12 + x10 + x7 + x6 + x5 + x3 + x2 + x + 1 3 23 x23 + x18 + x15 + x14 + x11 + x9 + x5 + x2 + 1 3 x23 + x20 + x19 + x18 + x17 + x15 + x14 + x12 + x9 + x7 + x6 + x5 + x4 + x2 + 1 4 17 x17 + x10 + x6 + x + 1 19 x17 + x11 + x10 + x9 + x6 + x + 1 5 14 x14 + x12 + x9 + x7 + x6 + x + 1 8 x14 + x12 + x9 + x7 + x6 + x + 1 6* 21 x21 + x18 + x16 + x13 + x10 + x7 + x4 + x3 + x2 + x + 1 7 x21 + x17 + x16 + x15 + x14 + x10 + x5 + x3 + 1 7 ** 21 x21 + x18 + x16 + x13 + x10 + x7 + x4 + x3 + x2 + x + 1 16513 x7 + x6 + x5 + x3 + x2 + x + 1
* Bước phân rã không nguyên tố cùng nhau với chu kỳ dãy, dẫn tới đa thức mới là đa thức bất khả quy song không phải đa thức nguyên thủy
** Bước phân rã không nguyên tố cùng nhau với chu kỳ dãy và thỏa mãn điều kiện kiến trúc dãy lồng ghép, dẫn tới đa thức mới có bậc là ước của bậc dãy ban đầu
Với dãy thử nghiệm thứ 5, ta thu được đa thức sinh cho dãy phân rã hoàn toàn giống như đa thức sinh ban đầu, do bước phân rã T = 23.