8.1. KHÁI NIỆM VỀ HỆ SIÊU TĨNH
8.1.1. Khái niệm
Hệ siêu tĩnh là những hệ mà chỉ với các phương trình cân bằng tĩnh học khơng thơi thì chưa đủ để xác định tồn bộ các phản lực và nội lực trong hệ. Nói cách khác, nó là hệ bất biến hình và có liên kết thừa.
Ví dụ, xét trên hình 8.1 cho một hệ gồm thanh ngàm tại đầu A, liên kết gối tựa tại B, và chịu lực tác dụng P.
- Nếu xét riêng phần BC, hệ là tĩnh định vì có thể xác định được ngay nội lực bằng các phương trình cân bằng tĩnh học.
- Phần hệ AB chưa thể xác định được phản lực chỉ bằng các
phương trình cân bằng tĩnh học (4 phản lực: XA, YA, mA, YB, nhưng chỉ có 3 phương trình) nên cũng chưa thể xác định được nội lực. Vậy theo định nghĩa, hệ đã cho là hệ siêu tĩnh.
8.1.2. Đặc điểm
- Nội lực, biến dạng và chuyển vị trong hệ siêu tĩnh nói chung là nhỏ hơn so với hệ tĩnh định có cùng kích thước và tải trọng tác dụng. Ví dụ ở hình 8.2, hệ tĩnh định chịu lực phân bố q, có các trị số: EJ ql y y C 384 5 4 max , │M│max = 8 2 ql . Cịn ở hình 8.3 hệ siêu tĩnh chịu lực như hệ tĩnh định nhưng phản lực và nội lực như sau:
EJ ql y y C 384 1 4 max , │M│max = 12 2 ql .
- Trong hệ siêu tĩnh có xuất hiện nội lực do các nguyên nhân biến thiên nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức của các gối tựa và do chế tạo, lắp ráp khơng chính xác gây ra.
Về biến thiên nhiệt độ, trong hệ tĩnh định các liên kết không ngăn cản biến dạng của dầm nên khơng làm xuất hiện phản lực và nội lực, cịn trong hệ siêu tĩnh thì các liên kết ngăn cản biến dạng của dầm nên làm xuất hiện phản lực và nội lực.
B A A Y A X A m B Y P C Hình 8.1 Hình 8.2 Hình 8.3
Về chuyển vị cưỡng bức của các gối tựa, trong hệ tĩnh định các liên kết không ngăn cản chuyển vị tại gối tựa nên dầm chỉ bị nghiêng đi mà không biến dạng nên không làm xuất hiện phản lực và nội lực. Trong hệ siêu tĩnh ngược lại, các liên kết có xu hướng ngăn cản chuyển vị làm dầm bị uốn cong, xuất hiện phản lực và nội lực.
Về lắp ráp, chế tạo khơng chính xác, ví dụ một dầm tĩnh định AB nào đó nếu được ráp thêm cạnh CD ở giữa sẽ trở thành hệ siêu tĩnh. Nếu thanh CD do chế tạo hụt một đoạn Δ thì khi ráp vào, nó sẽ bị kéo dãn ra đồng thời dầm AB sẽ bị uốn cong nên sẽ phát sinh phản lực và nội lực trong hệ.
- Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vào độ cứng của các cấu kiện trong hệ (EJ, EF, GF…)
Tóm lại, hệ siêu tĩnh chịu lực tốt hơn hệ tĩnh định.
8.1.3. Bậc siêu tĩnh
Bậc siêu tĩnh là số các liên kết thừa tương đương với liên kết loại 1 ngoài số liên kết cần thiết để cho hệ bất biến hình. Ký hiệu là n.
Cách xác định: Bậc siêu tĩnh của dầm liên tục được xác định bằng số liên kết đơn thừa. Chúng ta nhận xét rằng một dầm tĩnh định chỉ cần nối với đất bằng 3 liên kết đơn sắp xếp hợp lý, nên ta có thể tính bậc siêu tĩnh của dầm liên tục theo công thức: n = Co – 3, trong đó, n là bậc siêu tĩnh của dầm liên tục; Co là số liên kết đơn.Ví dụ dầm cho ở hình 8.4, Co = 4, do đó bậc siêu tĩnh của hệ là n = 4 – 3 = 1.
8.2. DẦM LIÊN TỤC 8.2.1. Khái niệm 8.2.1. Khái niệm
Dầm liên tục là một hệ gồm một thanh thẳng nối với trái đất bằng số gối tựa lớn hơn hai để tạo thành một hệ bất biến hình. Hay dầm liên tục là dầm đặt trên nhiều gối tựa sao cho có số nhịp lớn hơn một.
8.2.2. Phân loại
Thường được phân ra 3 loại:
Hình 8.4
- Dầm liên tục hai đầu khớp (hình 8.4), sẽ có mơmen hai đầu bằng không (MA=MC=0)
- Dầm liên tục có đầu thừa (nhơ ra) (hình 8.5)
- Dầm liên tục có đầu ngàm (hình 8.6)
8.2.3. Vẽ biểu đồ nội lực theo phƣơng pháp phƣơng trình 3 mơmen
8.2.3.1. Phương trình ba mơmen
Định lý ba mơmen giới thiệu về quan hệ giữa các mômen bên trong tại tiết diện trên ba giá đỡ nối tiếp với nhau trong một dầm liên tục. Quan hệ này được biểu thị thành một phương trình với số hạng của ba mơmen. Ta có thể viết những phương trình ba mômen đối với những mômen trong bất cứ giá đỡ nối tiếp nào. Bằng cách này ta sẽ có đủ những phương trình để giải được những mơmen bên trong tại tất cả các giá đỡ. Sau khi xác định được những mơmen tại các giá đỡ rồi, thì ta có thể xác định được các phản lực thẳng đứng
tại tất cả các giá đỡ từ những điều kiện cân bằng tĩnh. Sau đó ta vẽ biểu đồ lực cắt và biểu đồ mômen theo cách thức thông thường. Lưu ý rằng, phương trình chỉ đúng với điều kiện dầm có độ cứng chống
uốn (EJ = const). Ví dụ trường hợp hình 8.7.
Dầm chịu tải trọng tập trung P1, P2, tải trọng phân bố q1, q2, tựa trên 3 gối A, B, C liên tiếp, có khoảng cách như hình vẽ. Người ta đã thiết lập được phương trình 3 mơmen sau: MA.l1 + 2MB(l1 + l2) + MC.l2 = = - 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 3 2 2 3 1 1 ( ) ( ) 4 4 l b l b P l a l a P l q l q (8-1)
Ta có thể ứng dụng phương trình ba mơmen vào bất cứ dầm liên tục nào có nhiều nhịp. Hình 8.6 1 a b2 1 l l2 A B C 1 q 2 q 1 P 2 P Hình 8.7
8.2.3.2. Cách giải phương trình ba mơmen
a) Loại 1: Hai đầu dầm đơn giản, hai đầu khớp (MA=MC=0) (hình 8.4):
- Thay vào (8-1) giải ra MB.
- Dùng mặt cắt tách ra hai nhịp riêng tại B, sau đó giải như hệ tĩnh định ra RB1, RB2.