Để thiết lập hệ thức cho phép xác định hàm số biểu diễn đường đàn hồi, ta tiến hành như sau:
Lấy hai mặt cắt rất gần nhau để nghiên cứu, chẳng hạn O và I, là trọng tâm của hai mặt cắt đó. Dưới tác dụng của lực P, O đi xuống O’, I đi xuống I’. Mặt cắt O có góc xoay là υ, mặt cắt I có góc xoay υ + dυ. Hai mặt này hợp với nhau một góc d υ.
Nếu gọi bán kính cong của O’I’ là , hoành độ của O là z, hoành độ của I là z + dz (nghĩa là OI = dz) thì: O’I’ = d υ. Vậy ta có thể viết một cách gần đúng là:
dz + dυ hay
dz d
1
Trong uốn thuần túy ta đã chứng minh được :
x x EJ M 1 (công thức 6-18) Do đó ta có: dz d = x x EJ M d
Vậy ta có sự liên hệ vi phân như sau: 2 2 dz y d = x x EJ M (6-35)
Phương trình này được gọi là phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi và chỉ áp dụng được khi biến dạng của dầm nhỏ.
Chúng ta nhận thấy rằng dấu mômen uốn không phụ thuộc vào hệ tọa độ mà chỉ phụ thuộc vào sự quy ước, cịn 22
dz y d
thì phụ thuộc vào hệ tọa độ Oyz. Nếu hệ trục tọa độ chọn như hình 6.39 thì:
y” = 22
dz y d
> 0, khi bề lõm hướng xuống dưới, nghĩa là khi M < 0
y” = 22
dz y d
< 0, khi bề lõm hướng lên trên, nghĩa là khi M > 0
Phương trình (6-35) có thể viết như sau: 2 2 dz y d EJ Mx x (6-36)