❖ Luật điều khiển góc nghiêng Roll
Xét hai trạng thái đầu tiên của biểu thức (3.5) ta có:
𝑥̇1= 𝑥2 (3.6)
𝑥̇2 = 𝑥4𝑥6𝑎1+ 𝑥4𝑎2𝛺 + 𝑏1𝑈2 (3.7) Hệ thống góc roll nằm trong chuỗi phản hồi chặt chẽ (chỉ có trạng thái cuối cùng là hàm của đầu vào điều khiển U2) từ đó ta định nghĩa một hàm Lyapunov xác định dương: 𝑉1 = 1
2𝑧12 (3.8)
Trong đó: 𝑧1 là sai số giữa góc roll mong muốn và góc roll thực tế được định
nghĩa như sau: 𝑧1 = 𝑥1𝑑 − 𝑥1 (3.9)
Đạo hàm theo thời gian của hàm Lyapunov trong biểu thức (3.8) được xác định: 𝑉1̇ = 𝑧1𝑧̇1 = 𝑧1(𝑥̇1𝑑 − 𝑥̇1) (3.10)
Trang 45
Hệ thống được đảm bảo là một hệ thống ổn định nếu đạo hàm theo thời gian của hàm Lyapunov xác định dương. Để đạt được điều đó, chúng ta chọn một hàm chức năng xác định dương 𝑊1(𝑧) = 𝑐1𝑧12
Điều kiện ràng buộc: 𝑉1̇ ≤ −𝑊1(𝑧) ⇔ 𝑧1(𝑥̇1𝑑 − 𝑥2 ) ≤ − 𝑐1𝑧12 (3.12) Trong đó: 𝑐1 là hằng số dương
Ngõ vào điều khiển ảo có thể được lựa chọn:
(𝑥2).𝑑𝑒𝑠𝑖𝑟𝑒𝑑= 𝑥̇1𝑑 + 𝑐1𝑧1 (3.13) Định nghĩa một biến sai số mới 𝑧2là sai lệch của 𝑥2 so với giá trị mong muốn của nó: 𝑧2 = 𝑥2− 𝑥̇1𝑑 − 𝑐1𝑧1 (3.14)
Viết lại hàm Lyapunov theo thời gian của 𝑉1̇ trong tọa độ mới (𝑧1, 𝑧2), ta được 𝑉1̇ = 𝑧1𝑧̇1 = 𝑧1(𝑥̇1𝑑 − 𝑥2)
= 𝑧1(𝑥̇1𝑑 − (𝑧2+ 𝑥̇1𝑑 + 𝑐1𝑧1)) = −𝑧1𝑧2− 𝑐1𝑧12 (3.15) Bước tiếp theo là tính giá trị hàm Lyapunov với biến thứ nhất là 𝑉1 và biến thứ hai là sai số 𝑧2 để có được một 𝑉2 xác định dương.
𝑉2 = 𝑉1+ 1
2𝑧22 (3.16)
Tính đạo hàm theo thời gian, ta được:
𝑉2̇ = 𝑉1̇ + 𝑧2𝑧̇2 = −𝑧1𝑧2− 𝑐1𝑧12+ 𝑧2(𝑥̇2− 𝑥̈1𝑑 − 𝑐1𝑧̇1) (3.17) Chọn một hàm chức năng xác định dương 𝑊2(𝑧) = −𝑐1𝑧12−𝑐2𝑧22
Trong đó: 𝑐2 là hằng số dương
Thay giá trị 𝑥̇2 từ phương trình (3.7) vào (3.17) ta được:
𝑉2̇ = −𝑧1𝑧2− 𝑐1𝑧12+ 𝑧2(𝑥4𝑥6𝑎1+ 𝑥4𝑎2𝛺 + 𝑏1𝑈2− 𝑥̈1𝑑 − 𝑐1𝑧̇1) ≤ −𝑐1𝑧12−𝑐2𝑧22 (3.18) Đầu vào điều khiển U2 có thể được viết như sau:
𝑈2 = 1
Trang 46 ❖ Luật điều khiển góc lật Pitch
Luật điều khiển góc Pitch tính tốn tương tự như góc Roll, xét hai trạng thái tiếp theo của biểu thức (3.5) ta có:
𝑥̇3 = 𝑥4 (3.20)
𝑥̇4 = 𝑥2𝑥6𝑎3+ 𝑥2𝑎4𝛺 + 𝑏2𝑈3 (3.21) Sai số trong góc Pitch được định nghĩa là: 𝑧3 = 𝑥3𝑑 − 𝑥3 từ đó ta định nghĩa một hàm Lyapunov xác định dương: 𝑉3 = 1
2𝑧32 (3.22)
Tính đạo hàm theo thời gian, ta được: 𝑉3̇ = 𝑧3𝑧̇3 = 𝑧3(𝑥̇3𝑑 − 𝑥4) (3.23) Ta chọn một hàm chức năng 𝑊3(𝑧) = −𝑐3𝑧32
Trong đó: 𝑐3 là hằng số dương
Trạng thái mong muốn của 𝑥4 là: (𝑥4).𝑑𝑒𝑠𝑖𝑟𝑒𝑑= 𝑥̇3𝑑 + 𝑐3𝑧3 (3.24) Và sai số trong trạng thái 𝑥4 là: 𝑧4 = 𝑥4− 𝑥̇3𝑑 − 𝑐3𝑧3 (3.25) Viết lại hàm Lyapunov theo thời gian của 𝑉3̇ là:
𝑉3̇ = 𝑧3𝑧̇3 = 𝑧3(𝑥̇3𝑑− (𝑧4 + 𝑥̇3𝑑 + 𝑐3𝑧3)) = −𝑧3𝑧4− 𝑐3𝑧32 (3.26) Tính giá trị hàm Lyapunov với biến thứ nhất là 𝑉3 và biến thứ hai là sai số 𝑧4 để có được một 𝑉4 xác định dương: 𝑉4 = 𝑉3+ 1
2𝑧42 (3.27)
Định nghĩa một hàm chức năng mới 𝑊4(𝑧) = −𝑐3𝑧32−𝑐4𝑧42 Trong đó: 𝑐4 là hằng số dương
Tính đạo hàm theo thời gian, ta được:
𝑉4̇ = 𝑉3̇ + 𝑧4𝑧̇4 = −𝑧3𝑧4− 𝑐3𝑧32+ 𝑧4(𝑥̇4− 𝑥̈3𝑑 − 𝑐3𝑧̇3) ≤ −𝑐3𝑧32−𝑐4𝑧42
(3.28) Thay giá trị 𝑥̇4 từ phương trình (3.21) vào (3.28) ta xác định được đầu vào điều khiển U3 như sau:
𝑈3 = 1
Trang 47 ❖ Luật điều khiển góc xoay Yaw
Tính tốn tương tự như góc các góc Roll và Pitch ta có luật điều khiển góc Yaw và xác định được đầu vào điều khiển 𝑈4 như sau:
𝑈4 = 1
𝑏3(𝑧5− 𝑥2𝑥4𝑎5+ 𝑥̈5𝑑 + 𝑐5𝑥̇5𝑑 − 𝑐5𝑥6− 𝑐6𝑧6) (3.30)
Với: 𝑧5 = 𝑥5𝑑 − 𝑥5
𝑧6 = 𝑥6 − 𝑥̇5𝑑 − 𝑐5𝑧5 Trong đó: 𝑐5 𝑐6 là hằng số dương
3.1.2. Luật điều khiển độ cao
Xây dựng luật điều khiển độ cao của quadrotor cũng tương tự như các bước xây dựng luật điều khiển góc xoay và sơ đồ khối được mơ tả trong hình 3.2.