3.1.1. Mơ hình ngưỡng đơn
Xét mơ hình ngưỡng đơn (Single–Threshold model) như sau:
= + ( < ) + ( ≥ ) + + , (1)
biến số là biến ngưỡng, và là hệ số ngưỡng, chia phương trình (1) thành hai phân đoạn (regime) với hệ số và . Hệ số là các tác động riêng lẻ, trong khi
= + ( , ) + + ,
trong đó:
( , ) = ( < )
( ≥ )
Với cho trước, hệ số thu được từ phương pháp bình phương nhỏ nhất như sau:
= { ∗( ) ∗( )} { ∗( ) ∗},
trong đó ∗ và ∗ là độ lệch trong mỗi nhóm. Tổng bình phương phần dư (RSS) bằng ̂∗ ̂∗. Để ước lượng , chúng ta có thể dựa vào tập con của biến ngưỡng . Thay vì tìm kiếm tồn bộ mẫu, chúng ta hạn chế phạm vi trong khoảng ( , ̅), là phân vị của . Ước lượng là giá trị tại đó RSS thấp nhất, tức:
= ( )
Nếu xác định, mơ hình khơng khác biệt với mơ hình tuyến tính tiêu chuẩn. Nhưng nếu chưa biết sẽ nảy sinh vấn đề tham số (parameter problem), làm ước lượng phân phối không chuẩn. Hansen (1999) chứng minh rằng là một ước lượng nhất quán của , và ông cũng cho rằng cách tốt nhất để kiểm định = là thiết lập khoảng tin cậy bằng phương pháp “miền không bác bỏ” (no-rejection region) với thống kê tỷ số hàm hợp lý LR (likelihood-ratio), tính như sau:
( ) ={ ( )− ( )}→
( < ) = 1− (2)
Với mức ý nghĩa α cho trước, giới hạn dưới tương ứng với giá trị lớn nhất trong chuỗi LR, nhỏ hơn phân vị α; và giới hạn trên tương ứng giá trị nhỏ nhất trong chuỗi LR, nhỏ hơn phân vị α. Phân vị α có thể được tính tốn dựa vào hàm ngược của phương trình (2) như sau:
( ) =−2 1− √1−
Ví dụ, với α = 0.1, 0.05 và 0.01, phân vị tương ứng là 6.53, 7.35 và 10.59. Nếu
( ) vượt qua ( ), ta bác bỏ giả thiết . Kiểm định hiệu ứng ngưỡng tương
tự với việc kiểm định liệu xem các hệ số trong các phân đoạn (regime) giống nhau không. Giả thiết không và giả thiết đối lập (mơ hình tuyến tính và mơ hình ngưỡng đơn) gồm:
: = ; : ≠ Thống kê F được xây dựng như sau:
=( − ) (3)
Với , ngưỡng không xác định, và phân phối tiệm cận không chuẩn (nonstandard asymptotic distribution). Chúng ta sử dụng phương pháp bootstrap giá trị tới hạn của thống kê F nhằm kiểm định mức ý nghĩa của hiệu ứng ngưỡng. Với là RSS của mơ hình tuyến tính. Hansen (1996) đã đề xuất các bước bootstrap như sau:
Bước 1: Ước lượng mơ hình với giả thiết , và thu được phần dư ̂∗.
Bước 2: Thực hiện chọn mẫu có hồn lại ̂∗, và thu được phần dư mới ∗.
Bước 3: Thiết lập chuỗi mới thơng qua q trình tạo dữ liệu (data-generating
process) , ∗ = ∗ + ∗, trong đó nhận giá trị tùy ý.
Bước 4: Ước lượng mơ hình với giả thiết và , và tính tốn thống kê F
bằng phương trình (3).
Bước 5: Lặp lại bước 1–4 B lần, và xác suất của F là = ( > ), cụ thể
3.1.2. Mơ hình đa ngưỡng
Nếu tồn tại nhiều mức ngưỡng (tức mơ hình chứa nhiều phân đoạn), chúng ta sẽ tiến hành thiết lập mơ hình mới; để đơn giản, chúng ta xuất phát từ mơ hình ngưỡng đơi như sau:
= + ( < ) + ( ≤ < ) + ( ≥ ) + + ,
trong đó, và là các ngưỡng chia phương trình thành 3 phân đoạn (regimes) với hệ số tương ứng là , và . Chúng ta cần tính ( × ) lần thơng qua phương pháp tìm kiếm mạng lưới (grid search method); tuy nhiên, điều này không thể thực hiện trong thực hành. Dựa theo Bai (1997) và Bai and Perron (1998), các ước lượng trên là nhất quán; và do đó, chúng ta ước lượng ngưỡng dựa theo:
Bước 1: Hồi quy mơ hình ngưỡng đơn để thu được ước lượng ngưỡng và
RSS, ( ).
Bước 2: cho trước, ngưỡng thứ hai cùng khoảng tin cậy được tính như sau:
= { ( )}
= { ( , ) ( , )}
( ) ={ ( )− ( )}
Bước 3: hiệu quả, nhưng thì khơng. Chúng ta ước lượng lại ngưỡng đầu tiên như sau
= { (1)}
= { ( , ) ( , )}
( ) = { ( )− ( )}
Kiểm định hiệu ứng ngưỡng hoàn toàn tương tự. Cụ thể, nếu chúng ta bác bỏ giả thiết khơng trong mơ hình ngưỡng đơn, chúng ta phải kiểm định mơ hình
ngưỡng đơi. Giả thiết khơng là mơ hình ngưỡng đơn, và giả thiết đối lập là mơ hình ngưỡng đơi. Thống kê F được xây dựng như sau:
={ ( )− ( )}
Quá trình boostrap để kiểm định tương tự với mơ hình ngưỡng đơn. Trong bước 3, chúng ta tạo chuỗi mới với GDP, ∗ = ∗ + ∗. Ước lượng là ước lượng trong mơ hình ngưỡng đơn với GDP. Với mơ hình nhiều hơn hai ngưỡng, quá trình tính tốn hồn tồn tương tự.