khứ
Giả thiết rằng chuỗi thời gian dừng {Xt} có vơ số các giá trị trong quá khứ đã quan sát được, bao gồm {Xi,−∞< i≤n}. Kết quả sau đây cho ta cách tìm
Bổ đề 2.1. Nếu {Xt} là một chuỗi thời gian dừng, khi đó ∀h≥1 ta có Pspan{Xi,−∞<i≤n}Xn+h = lim
m→+∞Pspan{Xi,n−m<i≤n}Xn+h. Chứng minh. Thật vậy, ký hiệu Mn :=span{Xi,−∞< i≤n}. Khi đó
+∞ [ m=0 span{Xi, n−m < i≤n}= +∞ [ m=0 Mn\ Mn−m =Mn.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Chúng ta mong muốn biểu diễn PMnXn+h như toán tử dự báo dựa trên quá khứ vô hạn {Xi,−∞ < i≤ n} giống như ở trên đã biểu diễn PMnXn+h qua quá khứ hữu hạn {X1, ..., Xn}. Các phần dưới đây sẽ trình bày sơ lược một số kết quả và tính chất của dự báo PMnXn+h này.
4.1. Xác định PMnXn+h
Giống như đại lượng PMnXn+h, dự báo tuyến tính tốt nhất của PMnXn+h khi
EXn = 0 với hàm tự hiệp phương sai γX(.) đã biết được đặc trưng bởi phương trình
E Xn+h−PMnXn+hXn+1−i= 0, i= 1,2, ... (2.53) Nếu ta tìm được lời giải cho phương trình trên thì dự báo PMnXn+h được xác định duy nhất. Phương pháp giải bài toán này thường tỏ ra hiệu quả nếu giả thiết rằng PMnXn+h có biểu diễn dưới dạng
PMnXn+h = +∞ X i=1 αiXn+1−i (2.54) và phương trình dự báo (2.25) trở thành E " Xn+h− +∞ X i=1 αiXn+1−i ! Xn+1−j # = 0, j = 1,2, ...
hoặc tương đương
+∞ X
i=1
γX(i−j)αi=γX(h+j−1), j = 1,2, ...
đó là tập vơ hạn các phương trình với các ẩnαi để xác định PMnXn+h nếu chuỗi (2.54) hội tụ theo trung bình bình phương.
4.2. Một số tính chất của dự báo PMnXn+h
Giả sử rằng EU2<+∞, EV2<+∞ và a, b, c là các hằng số. Khi đó: 1) E{U −PMn(U)Xi}= 0, i≤n,
2) PMn(aU +bV +c) =aPMn(U) +bPMn(V) +c,
3) PMn(U) =U nếuU là giới hạn của các tổ hợp tuyến tính của các Xi, i≤n,
4) PMn(U) =EU nếu cov(U, Xi) = 0, ∀i≤n.
Các tính chất trên được sử dụng để đơn giản hóa việc tính tốn nhất là khi {Xt} là chuỗi thời gian ARMA sẽ được nghiên cứu trong Chương 3.