5 Chuỗi thời gian có xu thế dừng và sai phân dừng
1.3 Chuỗi thời gian tự hồi quy trung bình trượt ARM A(p, q)
1.3.1. Định nghĩa
Định nghĩa 3.4. Chuỗi thời gian {Xt} được gọi là chuỗi thời gian tự hồi quy cấp p, trung bình trượt cấp q và ký hiệu là ARM A(p, q) nếu nó có dạng
Xt =φ1Xt−1+φ2Xt−2+...+φpXt−p+Zt+θ1Zt−1+θ2Zt−2+...+θqZt−q(3.10)
với Zt ∼=W N(0, σ2).
Từ phương trình (3.10) ta nhận thấy rằng chuỗi thời gian ARM A sử dụng sự kết hợp của các giá trị quá khứ của chuỗi thời gian cùng các nhiễu ở trong quá khứ nhờ các tham số của cả hai mơ hình tự hồi quy và mơ hình trung bình trượt. Vì vậy, một cách hết sức tự nhiên mơ hình này phải tốt hơn khi sử dụng từng mơ hình đơn lẻ.
1.3.2. Điều kiện dừng, điều kiện khả nghịch
Với B là toán tử dịch chuyển lùi một bước, phương trình (3.10) có thể viết lại dưới dạng
hay
Φ(B)Xt= Θ(B)Zt (3.11)
với Φ(B) là đa thức đặc trưng của phần tự hồi quy vàΘ(B)là đa thức đặc trưng của phần trung bình trượt.
Định lý sau đây có thể suy trực tiếp từ các định lý 3.1 và 3.3 ở trên.
Định lý 3.4. 1) Chuỗi thời gian ARM A(p, q) là dừng khi và chỉ khi đa thức đặc trưng
Φ(z) = 1−φ1z−φ2z2−...−φpzp
khơng có nghiệm trong hình trịn đơn vị |z| ≤1.
2) Chuỗi thời gian ARM A(p, q)là khả nghịch khi và chỉ khi đa thức đặc trưng
Θ(z) = 1 +θ1z+θ2z2+...+θqzq
khơng có nghiệm trong hình trịn đơn vị |z| ≤1.
1.3.3. Hệ số tự tương quan riêng
Hệ số tự tương quan riêng là một khái niệm ít được sử dụng trong việc phân tích chuỗi thời gian, tuy nhiên, hệ số này sẽ giúp cho ta trong việc nhận dạng để dự báo với mơ hình ARM A.
Quay trở lại xét bài tốn với mỗi n cố định, tìm một tổ hợp tuyến tính của các giá trị Xt−1, Xt−2, ..., Xt−n
E[Y|Xt−1, ..., Xt−n] =φn,1Xt−1+φn,2Xt−2+...+φn,nXt−n,
để dự báo biến ngẫu nhiên Y sao cho sai số bình phương trung bình
E{Y −E[Y|Xt−1, ..., Xt−n]}2
đạt giá trị nhỏ nhất. Giả sử {Xt} là chuỗi thời gian dừng.
a) Định nghĩa:
Định nghĩa 3.5. Hệ số tự tương quan riêng của chuỗi thời gian dừng {Xt},
được ký hiệu là αX(k), chính là hệ số tự tương quan của hai biến ngẫu Xt −
E[Xt|Xt−1, ..., Xt−k+1] và Xt−k−E[Xt−k|Xt−1, ..., Xt−k+1].
Nói cách khác, αX(k) đo sự phụ thuộc của Xt và Xt−k sau khi đã loại bỏ các ảnh hưởng (tuyến tính) của các giá trị trung gian.
b) Cách tính hệ số tự tương quan riêng:
- Khi k = 1: Hệ số tự tương quan riêng αX(1) đo mức độ phụ thuộc của Xt và
Xt−1 sau khi đã loại trừ các giá trị xen giữa. Vì giữa chúng khơng có giá trị nào nên αX(1) =γX(1)/γX(0).
- Với k bất kỳ, αX(k) =φk,k với Φk = (φk,1, ..., φk,k)> là nghiệm của phương trình
ΓkΦk =γk ⇔Φk = Γ−1k γk
với Γk là ma trận tự hiệp phương sai và γk = (γX(1), γX(2), ..., γX(k)).
c) Cách tính hệ số tự tương quan riêng mẫu:
Áp dụng thuật tốn Durbin-Levinson 2.6 đã trình bày ở Chương 2.
Nhận xét 3.2. Lợi thế của mơ hình ARM A đó là chúng ta có thể nghiên cứu lần lượt từng chuỗi thời gian AR và M A. Cụ thể, trước hết, ta xác định mơ hình tự hồi quy AR để tạo ra một dự báo và cả sai số của dự báo này. Sau đó, đưa các sai số tính tốn được vào phương trình trung bình trượt M A để cải tiến kết quả dự báo và làm giảm sai số dự báo. Bằng cách này ta hy vọng sai số còn lại sẽ phân bố một cách ngẫu nhiên và mơ hình trở nên chính xác hơn.
1.4. Chuỗi thời gian tự hồi quy tích hợp trung bình trượtARIM A(p, d, q)
1.4.1. Tốn tử sai phân cấp cao
Cho {Xt} là một chuỗi thời gian. Như ta đã biết trong chương trước, toán tử
∆ với ∆Xt := Xt −Xt−1, t > 1, được gọi là tốn tử sai phân bậc nhất hay cịn
gọi là tốn tử sai phân cấp 1. Dễ dàng chứng minh được tốn tử ∆ là một tốn tử tuyến tính với ∆(αXt) =α∆Xt ∀α∈R,{Xt} ∆(Xt+Yt) = ∆Xt+ ∆Yt ∀{Xt},{Yt}.
Sau khi lấy sai phân bậc nhất của chuỗi {Xt}, ta thu được một chuỗi thời gian mới, có dạng {∆Xt}. Tiếp tục áp dụng tốn tử sai phân với chuỗi thời gian này, ta sẽ có tốn tử sai cấp hai được định nghĩa như sau:
∆2Xt := ∆(∆Xt) = ∆(Xt−Xt−1)
từ đó
Dựa trên định nghĩa về tốn tử sai phân cấp hai, ta có định nghĩa tổng quát về toán tử sai phân cấp k như sau:
Định nghĩa 3.6. Sai phân cấp k > 0 của một chuỗi thời gian {Xt} là tốn tử
∆k được định nghĩa bởi cơng thức:
∆kXt := ∆(∆k−1Xt). (3.13)
Từ Định nghĩa 3.6 ta có các hệ quả trực tiếp như sau:
Hệ quả 3.1. ∆kXt= k X i=0 (−1)iCkiXt−i. (3.14)
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh công thức (3.14) là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Thật vậy, theo định nghĩa toán tử sai phân cấp 1 ta có
∆Xt = (−1)0C10Xt+ (−1)1C11Xt−1=Xt−Xt−1 do đó (3.14) đúng với k= 1. Giả sử (3.14) đúng với k =k0 tức là ∆k0Xt= k0 X i=0 (−1)iCk0i Xt−i.
Khi đó, với k=k0+ 1, theo định nghĩa tốn tử sai phân cấp cao ta có:
∆k0+1Xt := ∆(∆k0Xt) = ∆ k0 X i=0 (−1)iCk0i Xt−i ! = k0 X i=0 (−1)iCk0i ∆Xt−i= k0 X i=0 (−1)iCk0i (Xt−i−Xt−i−1) = k0 X i=0 (−1)iCk0i Xt−i+ k0 X i=0 (−1)i+1Ck0i Xt−i−1 = Ck00 Xt+ k0 X i=1 (−1)iCk0i +Ck0i−1Xt−i+ (−1)k0+1Ck0k0Xt−k0−1 = Ck0+10 Xt+ k0 X i=1 (−1)iCk0+1i Xt−i+ (−1)k0+1Ck0+1k0+1Xt−k0−1 = k0+1 X (−1)iCk0+1i Xt−i.
Chứng tỏ công thức (3.14) đúng với k =k0+ 1.
Tóm lại, theo ngun lý quy nạp tốn học, cơng thức (3.14) đúng với mọik. Hệ quả 3.2. Xt+1= ∆kXt+1+ k−1 X i=1 ∆iXt+Xt. (3.15)
Chứng minh. Thật vậy, từ định nghĩa tốn tử sai phân tổng qt ta có:
Xt+1 = ∆Xt+1+Xt = ∆2Xt+1+ ∆Xt+Xt =...= ∆kXt+1+ k−1
X
i=1
∆iXt+Xt.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
1.4.2. Tính chất tích hợp của chuỗi thời gian không dừng
Nghiên cứu thực nghiệm đối với các hiện tượng kinh tế-tài chính cho thấy rằng đa số các chuỗi thời gian về kinh tế-tài chính đều khơng có tình dừng mà chúng có tính chất "tích hợp" (integrated). Một chuỗi thời gian khơng dừng{Xt} được gọi là có tính chất tích hợp nếu sau một số lần sai phân ta nhận được một chuỗi thời gian mới có tính chất dừng. Một cách tổng qt ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 3.7. Chuỗi thời gian {Xt} được gọi là tích hợp bậc d, ký hiệu là I(d) với d≥0, nếu sau d lần sai phân ta thu được một chuỗi thời gian dừng.
Từ định nghĩa trên, rõ ràng chuỗi thời gian I(0) là chuỗi thời gian dừng.
1.4.3. Định nghĩa chuỗi thời gian ARIM A(p, d, q)
Định nghĩa 3.8. Chuỗi thời gian {Xt} được gọi là chuỗi thời gian tự hồi quy tích hợp trung bình trượt ARIM A(p, d, q) nếu sau d lần thực hiện sai phân ta nhận được một chuỗi thời gian dừng {∆dXt} có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi thời gian ARM A(p, q).
Nhận xét 3.3. Trong định nghĩa trên, p biểu thị số các số hạng tự hồi quy, d biểu thị số lần chuỗi thời gian phải được tính sai phân để nhận được một chuỗi thời gian dừng và q biểu thị số các số hạng trung bình trượt. Ngồi ra,
1) Chuỗi thời gian ARIM A(p,0,0) là chuỗi thời gian dừng AR(p). 2) Chuỗi thời gian ARIM A(0,0, q) là chuỗi thời gian dừng M A(q). 3) Chuỗi thời gian ARIM A(p,0, q) là chuỗi thời gian dừng ARM A(p, q).
Khi biết các giá trị của p, d và q ta có thể xác định được mơ hình chuỗi thời gian nào đang được thiết lập.