1.2.1. Đối tượng nghiên cứu của logic mệnh đề
Logic học là khoa học nghiên cứu về những hình thức và quy luật của tư duy nhằm đạt tới chân lý khách quan. Trong sự phát triển nội tại của khoa học này, mỗi một hệ thống logic ra đời đều nhằm mục đích làm rõ hơn đối tượng nghiên cứu đó. Tuy nhiên, mỗi một hệ thống logic, bên cạnh một đối tượng nghiên cứu chung, nhất quán, thì đối tượng đó còn có tính đặc thù riêng. Tính đặc thù đó bị quy định bởi chính yêu cầu phát triển nội tại của logic học, yêu cầu phát triển của khoa học và đặc điểm lịch sử riêng của mỗi lý thuyết logic.
Logic mệnh đề với tư cách là một bộ phận hữu cơ của khoa học logic nói chung, cũng xác định đối tượng nghiên cứu đặc thù của nó. Đối tượng nghiên cứu của logic mệnh đề là các mệnh đề và các phép toán logic trên mệnh đề. Các mệnh đề có thể là mệnh đề sơ cấp (mệnh đề đơn) và mệnh đề phức. Các mệnh đề phức là các mệnh đề được lập thành từ các mệnh đề sơ cấp thông qua các phép toán logic. Tính đặc thù trong đối tượng nghiên cứu của logic mệnh đề so với logic truyền thống được biểu hiện: Logic mệnh đề không nghiên cứu cấu trúc cụ thể của một mệnh đề. Nó cũng không nghiên cứu về quá trình hình thành các khái niệm, vì các mệnh đề ở đây được tách rời khỏi đối tượng phản ánh trong hiện thực và chỉ được xem xét trên phương diện giá trị chân lý. Tất nhiên, trong logic mệnh đề mặc dù không nghiên cứu trực tiếp,
nhưng các nội dung của nó vẫn tuân theo bốn quy luật cơ bản đã biết của logic học truyền thống.
Logic mệnh đề là một trong hai bộ phận cấu thành của logic toán cổ điển bên cạnh logic vị từ. Logic vị từ ra đời trên cơ sở sự kế thừa và phát triển lên từ logic mệnh đề, cho nên đối tượng nghiên cứu của logic mệnh đề cũng là đối tượng nghiên cứu của logic vị từ, nhưng đối tượng nghiên cứu của logic vị từ không phải là đối tượng nghiên cứu của logic mệnh đề. Nói cách khác, logic vị từ có phạm vi nghiên cứu rộng hơn logic mệnh đề. Ngoài nghiên cứu các mệnh đề và các phép toán trên mệnh đề, logic vị từ nghiên cứu các mệnh đề gắn với đối tượng cụ thể xác định trong hiện thực. Đặc biệt, logic vị từ nghiên cứu cấu trúc cụ thể của một mệnh đề sơ cấp. Hai khái niệm vị từ và lượng từ đóng vai trò quan trọng trong việc mở rộng logic vị từ trên cơ sở nội dung của logic mệnh đề.
Logic học truyền thống từ thời Aristotle xây dựng, được các nhà logic sau tiếp tục bổ sung và phát triển đến hết logic toán thì cơ bản vẫn được gọi chung là logic cổ điển. Các hệ thống logic khác ra đời sau logic vị từ, trên cơ sở sự mở rộng trực tiếp hoặc gián tiếp logic mệnh đề và logic vị từ được gọi là các hệ thống logic phi cổ điển. Sự khác nhau giữa đối tượng nghiên cứu của logic mệnh đề nói riêng và logic cổ điển nói chung so với các hệ thống logic phi cổ điển ở chỗ: trong logic mệnh đề nói riêng và logic cổ điển nói chung các mệnh đề xác định chỉ nhận một trong hai giá trị là chân thực hoặc giả dối. Ngoài hai giá trị chân lý trên, các mệnh đề không có giá trị chân lý nào khác. Tuy nhiên, thế giới luôn vận động và phát triển. Tư duy muốn phản ánh đúng đắn và đầy đủ bản chất của các sự vật hiện tượng thì nó không thể dừng lại ở ranh giới tuyệt đối giữa đúng và sai. Bởi vậy, có rất nhiều những mệnh đề chưa xác định ngay được giá trị chân lý vì chúng phản ánh vượt trước sự vận động của hiện thực, hoặc trong thực tế có nhiều mệnh đề, tư tưởng không có
giá trị chân lý xác định (chân thực hoặc giả dối). Tuy nhiên, khoa học vẫn phải nghiên cứu chúng. Đây là lí do dẫn đến việc hình thành các môn logic học mới - phi cổ điển. Đó là logic tam trị, logic đa trị, vô hạn trị, xác suất... Như vậy, sự khác nhau cơ bản giữa đối tượng nghiên cứu của logic mệnh đề và các hệ thống logic học phi cổ điển ở tính lưỡng trị của các mệnh đề.
1.2.2. Phương pháp của logic mệnh đề
Logic mệnh đề thực chất là sự kế thừa và phát triển những nội dung của logic truyền thống, nhưng ngôn ngữ và phương pháp là của toán học. Vì vậy, logic mệnh đề sử dụng hai phương pháp thông dụng của toán là phương pháp hình thức hóa, và phương pháp tiên đề hóa.
Phương pháp hình thức hóa: Thời kì cổ đại, Aristotle đã bắt đầu sử dụng một số kí hiệu để diễn đạt tư tưởng, tuy nhiên logic truyền thống vẫn chủ yếu sử dụng ngôn ngữ tự nhiên. Điều đó dẫn đến xuất hiện một số hạn chế nhất định mà thường là nhầm lẫn thuật ngữ và tính kém chính xác trong các lập luận. Ý tưởng về việc dùng các kí hiệu toán học để chính xác hóa các nội dung của logic học có từ Leibniz, tuy nhiên công việc đó đã chỉ được hoàn thành bởi hai nhà toán học là G. Boole và G. Frege. Đây cũng là những nhà toán học có công lao to lớn sáng tạo ra logic mệnh đề và logic vị từ.
Logic mệnh đề dùng bảng chữ cái để kí hiệu các mệnh đề sơ cấp, định nghĩa các phép toán trên mệnh đề bằng những bảng giá trị và quan hệ giữa mệnh đề thông qua bảng giá trị logic. Nhờ vậy mà những tư tưởng được hình thức hóa triệt để hơn, dẫn đến việc xác định tính hằng đúng và hằng sai của các công thức phức tạp được thực hiện đơn giản và chính xác hơn nhiều so với việc sử dụng ngôn ngữ tự nhiên trong logic truyền thống.
Phương pháp tiên đề hóa: Phương pháp tiên đề hóa đã được sử dụng trong toán học trước khi logic mệnh đề ra đời. Thực chất phương pháp này đã được Euclid sử dụng để xây dựng hệ tiên đề của hình học sơ cấp từ thời kì cổ
đại. Ông đã đưa ra một hệ tiên đề rồi từ đó dùng suy diễn toán học để xây dựng toàn bộ hình học. Tư tưởng trên được thể hiện tập trung trong tác phẩm “Nguyên lý”. Tuy nhiên công trình của Euclid có một số thiếu sót dẫn đến việc xây dựng hình học bằng phương pháp tiên đề của ông chưa được hoàn thiện. Euclid chưa nhận thấy tất yếu phải có các khái niệm cơ bản là các khái niệm xuất phát, dùng để định nghĩa các khái niệm không cơ bản khác. Ông đã đi vào vòng luẩn quẩn là dùng cái chưa được định nghĩa để định nghĩa các khái niệm khác. Các định đề và tiên đề của Euclid vừa thừa lại vừa thiếu. Sau này trong tác phẩm của mình, Hilbert đã chỉ ra rằng hệ tiên đề của Euclid chưa đáp ứng đầy đủ các yêu cầu về tính đầy đủ, tính độc lập và tính phi mâu thuẫn.
Những yêu cầu tiếp theo của việc hoàn thiện cơ sở của hình học nói riêng và toán học nói chung dẫn đến sự hình thành và phát triển của phương pháp tiên đề. Trong quá trình chứng minh tính độc lập của tiên đề số 5 trong hệ thống Euclid, Lobasepxki (1793 - 1856), giáo sư trường đại học Kadan (Nga) đã xây dựng nên một thứ hình học mới không có tính mâu thuẫn (hình học phi Euclid). Lobasepxki đã xây dựng các không gian hình học trừu tượng bằng một hệ tiên đề, giải phóng hình học ra khỏi trực giác, mở rộng sự hiểu biết và phạm vi áp dụng của hình học. Tuy nhiên sau khi hình học Lobasepxki được thừa nhận thì các nhà khoa học còn phải tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện việc dùng lí luận chính xác để xây dựng hình học. Cuối thế kỉ XIX có nhiều công trình của nhiều nhà toán học trên thế giới nghiên cứu về vấn đề này nhưng nổi bật nhất là tác phẩm “Cơ sở hình học” của Hilbert xuất bản năm 1899. Từ đó phương pháp tiên đề đã từ hình học lan rộng sang các ngành toán học khác và đồng thời cũng đã có ảnh hưởng trở lại đối với hình học, giúp cho hình học có thêm các công cụ mới để nghiên cứu và phát triển nhanh hơn.
Novicop cho rằng: “Sự phát triển của phương pháp tiên đề có thể chia làm hai giai đoạn. Giai đoạn thứ nhất là từ Lobasepxki đến các công trình của
Hilbert về cơ sở toán học, giai đoạn thứ hai là từ các công trình đó của Hilbert cho đến nay. Giai đoạn thứ hai này là sự hợp nhất các quan điểm vượt ra ngoài hình học với bộ môn phát triển song song thường gọi là logic kí hiệu hay logic toán” [31, tr. 5] . Nói cách khác, có thể xem logic toán nói chung và logic mệnh đề nói riêng được hình thành là hệ quả của việc ứng dụng rộng rãi phương pháp tiên đề từ toán học.
Sự trình bày những nội dung của logic mệnh đề dưới dạng một lý thuyết hình thức được gọi là hệ toán mệnh đề. Hệ toán mệnh đề được xây dựng tuân thủ theo đúng những yêu cầu cơ bản của một lý thuyết tiên đề. Bao gồm: trước hết là ngôn ngữ của hệ toán mệnh đề là hệ thống các kí hiệu, mỗi kí hiệu hay nhóm kí hiệu được tương ứng với một công thức. Các công thức được định nghĩa theo cách đệ quy. Hệ toán mệnh đề gồm một số công thức hằng đúng cơ bản không được chứng minh đóng vai trò là các tiên đề. Các công thức được chọn đảm bảo tính độc lập, đầy đủ và tính phi mâu thuẫn. Cuối cùng là các quy tắc dẫn xuất đóng vai trò là cơ sở cho việc thiết lập các công thức hằng đúng khác từ hệ tiên đề. Quá trình tạo ra các công thức dẫn được từ hệ tiên đề gọi là quá trình dẫn xuất.