Đại số mệnh đề

1.3. Đại số mệnh đề và hệ toán mệnh đề

1.3.1. Đại số mệnh đề

Đại số mệnh đề bao gồm các mệnh đề và các phép toán trên chúng. Đại số mệnh đề là một trường hợp riêng của một cấu trúc đại số mang tính tổng quát hơn đó là đại số Boole. Đại số Boole cũng giống như các hệ đại số khác, được xây dựng thông qua việc định nghĩa một số vấn đề cơ bản sau:

- Miền là tập hợp các phần tử mà trên đó hệ đại số được định nghĩa. - Tập hợp các phép toán thực hiện trên miền.

- Một tập hợp các định đề hay tiên đề được công nhận không qua chứng minh. Chúng phải đảm bảo tính nhất quán và tính độc lập.

- Một tập hợp các hệ quả hay còn gọi là định lý, quy tắc.

Miền trong đại số Boole là tập hợp các thực thể, các phép toán được thực hiện trên miền là phép lấy phần bù (/), phép giao () và phép hợp () thỏa mãn 13 công thức tương đương (được trình bày ở phần sau). Boole đã nhận thấy sự tương thích giữa các phép toán trên tập hợp là phép lấy phần bù, phép giao, phép hợp với các liên từ logic trong các phán đoán phức. Do đó, có thể đem áp dụng những phép toán cho tập hợp thành những phép toán cho mệnh đề. Đại số Boole được áp dụng cho các mệnh đề gọi là đại số mệnh đề. Đối tượng nghiên cứu của đại số mệnh đề là các mệnh đề và các phép toán trên chúng.

1.3.1.1 Mệnh đề

Mệnh đề là một tư tưởng được diễn đạt dưới dạng phán đoán mà giá trị của nó có thể đánh giá được là đúng hoặc sai.

Ví dụ 1.1: 1) Số 8 là số chẵn

2) Thành phố Hồ Chí Minh là thủ đô của nước Việt Nam 3) Ngày mùa đông ngắn hơn ngày mùa hạ

4) Số 24 chia hết cho 5 5) x

Trong các mệnh đề trên, mệnh đề 1,3 là đúng còn mệnh đề 2,4 là sai, mệnh đề 5 sẽ đúng hoặc sai khi cho x một giá trị cụ thể. Mệnh đề có giá trị đúng kí hiệu là (T hoặc 1), mệnh đề có giá trị sai kí hiệu là (F hoặc 0). Trong logic mệnh đề, mệnh đề chỉ nhận hai giá trị đúng hoặc sai. Logic mệnh đề không nghiên cứu các mệnh đề có giá trị chân lý khác ngoài hai giá trị trên. Đại số mệnh đề chỉ quan tâm đến giá trị chân lý của chúng là đúng hoặc sai mà không chú ý đến nội dung của chúng. Logic mệnh đề nghiên cứu tất cả các

mệnh đề cơ bản sơ cấp và biến mệnh đề cơ bản. Chúng được gọi chung là các mệnh đề cơ bản xác định hay mệnh đề nguyên tử.

Mệnh đề được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa trong bảng chữ La tinh A, B, C… (có thể được dùng với các chỉ số A1, B1…). Các chữ cái này dùng để biểu thị một mệnh đề xác định hoặc một mệnh đề bất kỳ (biến mệnh đề). Thông thường các chữ cái đầu trong bảng chữ Latinh được dùng để biểu thị các mệnh đề xác định, còn các chữ cái cuối bảng chữ X, Y, Z… được dùng để biểu thị các biến mệnh đề. Các biến mệnh đề chưa phải là một mệnh đề, chúng chỉ trở thành mệnh đề khi được gắn với một giá trị xác định.

Mệnh đề được chia làm hai loại cơ bản là mệnh đề đơn (mệnh đề sơ cấp) và mệnh đề phức. Mệnh đề phức được tạo thành từ các mệnh đề đơn thông qua các phép toán logic. Các ví dụ đã cho ở trên đều là các mệnh đề sơ cấp.

1.3.1.2. Các phép toán logic trên mệnh đề

Trong logic học truyền thống các phán đoán phức được tạo thành từ các phán đoán đơn nhờ các liên từ logic. Trong logic mệnh đề, mối liên hệ logic giữa các mệnh đề được thay bằng các phép toán logic và tương ứng là các kí hiệu toán học: Phủ định (-), phép hội (∧), phép tuyển (∨), phép kéo theo (), phép tương đương (). Có các phép toán logic cơ bản sau:

Phép phủ định là phép toán một ngôi đơn giản nhất. Trong ngôn ngữ tự nhiên, một phán đoán có thể được phủ định bằng nhiều cách khác nhau, nhưng trong đại số mệnh đề nó được thực hiện một cách duy nhất bằng cách đặt dấu phủ định () hoặc   trước mệnh đề ban đầu. Nếu A là một mệnh đề thì A là phủ định của A.

Phép toán phủ định được định nghĩa bằng bảng giá trị chân lý 1.1

A A

T F F T

Như vậy, thông qua phép phủ định, nếu A có giá trị (T) thì A có giá trị (F) và ngược lại.

Phép hội còn được gọi là phép liên kết. Hội của hai mệnh đề A và B được ký hiệu là AB. Giá trị của phép hội được xác định thông qua bảng giá trị chân lý 1.2 A B A  B T T T T F F F T F F F F

(Bảng 1.2. Giá trị chân lý của phép hội)

Phép hội của hai mệnh đề A và B chỉ có giá trị đúng (T) khi cả hai mệnh đề A và B cùng đúng, còn sai (F) trong tất cả các trường hợp còn lại.

Phép tuyển là phép toán phổ biến thứ ba trên mệnh đề. Trong tiếng Việt, phép toán này thường được biểu thị bằng các liên từ “hoặc”, “hoặc là”. Phép tuyển có hai mức độ là tuyển tuyệt đối và tuyển tương đối. Tuyển tuyệt đối biểu thị sự lựa chọn chặt chẽ. Tuyển tương đối biểu thị sự lựa chọn không chặt chẽ, có thể có một trong các thành phần hoặc đồng thời cả hai (hoặc nhiều hơn) thành phần. Tuyển tuyệt đối của hai mệnh đề A và B được kí hiệu là AB. Tuyển tương đối của A và B kí hiệu là AB. Giá trị chân lý của phép tuyển được xác định thông qua bảng giá trị chân lý sau:

A B A  B A B

T T F T

T F T T

F T T T

F F F F

Giá trị của phép tuyển tuyệt đối chỉ đúng khi một trong các thành phần là đúng, còn mọi thành phần còn lại đều sai và sai trong trường hợp ngược lại. Giá trị của phép tuyển tương đối đúng khi ít nhất có một mệnh đề thành phần là đúng, và sai khi tất cả các mệnh đề thành phần đều sai.

Phép kéo theo là phép toán hai ngôi. Cho hai mệnh đề A và B, phép toán kéo theo của hai mệnh đề này được kí hiệu là AB . Định nghĩa về phép kéo theo được thực hiện thông qua bảng giá trị chân lý 1.4

A B A  B

T T T

T F F

F T T

F F T

(Bảng 1.4 Giá trị chân lý của phép kéo theo)

Trong ngôn ngữ thông thường, mệnh đề kéo theo biểu hiện mối liên hệ nhân quả và thường được diễn đạt bằng cụm từ “nếu…, thì” trong đó mệnh đề thứ nhất là nguyên nhân, mệnh đề thứ hai là kết quả. Tuy nhiên trong logic mệnh đề, phép toán kéo theo AB không nhất thiết phải biểu hiện mối liên hệ nhân quả. Logic mệnh đề không quan tâm đến nội dung của chúng mà chỉ quan tâm đến mối liên hệ về giá trị chân lý. Bởi vậy AB chỉ sai khi A đúng và B sai, còn đúng trong tất cả các trường hợp còn lại.

Phép tương đương. Mệnh đề hai điều kiện ABlà đúng khi A và B có cùng giá trị chân lí và sai trong mọi trường hợp còn lại. Giá trị chân lý của phép tương đương được thể hiện trong bảng 1.5.

A B A B

T T T

T F F

F T F

F F T

Trật tự ưu tiên của các phép toán logic. Độ ưu tiên của các phép toán logic được xác định theo thứ tự giảm dần như sau:     , , , , . Nếu cùng một phép toán thì chúng được thực hiện từ bên phải sang. Ví dụ A B C  có nghĩa là AB C .

1.3.1.3. Công thức của đại số mệnh đề

Giả sử A, B… X, Y, Z,…. là những mệnh đề cơ bản bất kì, chúng nhận một trong hai giá trị đúng (T) hoặc sai (F). Nhờ các phép toán     , , , , ta có thể lập các mệnh đề phức tạp từ các mệnh đề trên ví dụ AB , X Y… Từ những mệnh đề vừa nhận được tiếp tục áp dụng các phép toán nói trên, có thể nhận được các mệnh đề mới có tính chất phức tạp hơn gọi là mệnh đề đa phức hợp. Ví dụ AAB , X Y  X Z… Biết được giá trị các mệnh đề X, Y, Z chúng ta sẽ biết được giá trị của các mệnh đề phức này, nói cách khác giá trị của các mệnh đề phức được xác định thông qua giá trị của các mệnh đề đơn và tính chất của các phép toán logic.

Như vậy, công thức mệnh đề là mệnh đề được lập nên từ các chữ cái La tinh A, B, X, Y…, kể cả các chỉ số A1, B1, X1,..., nhờ các phép toán logic. Có thể định nghĩa công thức của logic mệnh đề một cách đệ quy như sau:

1. Mỗi ký hiệu mệnh đề đơn A, B, C,... là một công thức.

2. Nếu A và B là các công thức, thì A, A B , A  B , A  B , AB đều là những công thức.

3. Chỉ có những biểu thức được định nghĩa ở các mục 1, 2 mới gọi là công thức.

Như vậy, mỗi công thức ứng với một cách xây dựng mệnh đề phức hợp, bao gồm một dãy ký hiệu A, B, C, . . ., , , , tuy nhiên không phải mọi dãy ký hiệu đều là công thức, ví dụ: A B không phải là công thức.

1.3.1.4. Một số tính chất của các phép toán và các công thức mệnh đề Tính đồng nhất đúng, đồng nhất sai và tính giải được của công thức mệnh đề. Đối với các công thức của đại số mệnh đề, một công thức là đồng nhất đúng (còn gọi là công thức hằng đúng) nếu nó nhận giá trị đúng với mọi giá trị của các biến mệnh đề nằm trong nó. Một công thức là thực hiện được (còn gọi là công thức thỏa được) nếu nó nhận giá trị đúng với những giá trị nào đó của các biến mệnh đề nằm trong nó. Một công thức là đồng nhất sai (còn gọi là công thức hằng sai) nếu nó nhận giá trị sai với mọi giá trị của các biến mệnh đề nằm trong nó. Phủ định của công thức đồng nhất đúng là công thức đồng nhất sai và ngược lại.

Trong logic mệnh đề một vấn đề quan trọng đặt ra là phải chứng minh một công thức bất kì có phải là đồng nhất đúng (quy luật logic) hay không và chứng minh một công thức có phải là thỏa được (thực hiện được) hay không. Muốn chứng minh một công thức trong đại số mệnh đề có phải là công thức thỏa được hay không ta chứng minh phủ định của nó có phải là công thức đồng nhất đúng hay không. Giả sử có công thức A cần chứng minh về tính giải được, ta chứng minh A có phải là công thức đồng nhất đúng hay không. Nếu nó là công thức đồng nhất đúng thì A là công thức đồng nhất sai, do đó công thức A không thỏa được. Ngược lại, nếu A là đồng nhất sai thì có nghĩa là A không phải là đồng nhất sai do đó nó là công thức thực hiện được.

Để chứng minh một công thức đồng nhất đúng chúng ta có thể thực hiện bằng nhiều cách khác nhau. Cách phổ biến nhất trong logic mệnh đề là thông qua bảng giá trị chân lý và hoặc đưa về dạng chuẩn tắc.

Giả sử AX X1, 2,...,Xn là một công thức chứa các mệnh đề sơ cấp

, ,...,

1, 2,..., n

X X X , trong đó các biến này cũng như hàm A chỉ nhận hai giá trị, số tổ hợp có thể có của giá trị của các biến X X1, 2,...,Xn là hữu hạn và bằng 2n. Đối với mỗi tổ hợp ấy, ta có thể biết giá trị của công thức A bằng cách thế X X1, 2,...,Xn bằng các giá trị của chúng sau đó tính giá trị của công thức A. Nếu biết giá trị của công thức A đối với mỗi tổ hợp giá trị của các biến X X1, 2,...,Xn thì có thể biết công thức A đồng nhất đúng hay không.

Tuy nhiên, phương pháp này có hạn chế là đối với công thức phức tạp số phép thử cần phải tiến hành quá lớn. Vì vậy có một phương pháp khác đơn giản hơn của logic mệnh đề đó là đưa nó về dạng chuẩn tắc là chuẩn hội hoặc chuẩn tuyển.

Công thức tương đương (hay còn gọi là sự đồng nhất bằng nhau của các công thức).

Ta gọi hai công thức A và B là đồng nhất bằng nhau, nếu với các giá trị bất kì của X , X ,1 2 , Xntrong đó X , X ,1 2 , Xnlà tập hợp tất cả các biến nằm trong A và B, cáccông thức này luôn nhận giá trị như nhau.

Nếu các công thức A và B là đồng nhất bằng nhau, thì công thức A  B

nhận giá trị đúng với mọi giá trị của các biến và ngược lại nếu công thức A

 B nhận giá trị đúng với mọi giá trị của các biến thì hai công thức A và B

đồng nhất bằng nhau. Như vậy, sự đồng nhất bằng nhau của các công thức có thể gọi là sự tương đương của các công thức.

Cần phải lưu ý rằng, hai công thức đồng nhất bằng nhau không có nghĩa là chúng phải chứa các biến giống nhau. Giả sử có một biến X bất kì nằm trong công thức A mà không nằm trong công thức B. Nếu A và B là hai công thức đồng nhất bằng nhau và giá trị của tất cả các biến khác không đổi, thì giá trị của A không phụ thuộc vào giá trị của X.

Trong đại số mệnh đề, do tính chất của các phép toán trên mệnh đề chúng ta có 13 cặp công thức đồng nhất bằng nhau cơ bản nhất.

1. Nguyên lý phủ định kép A A (1)

2. Tính chất giao hoán của phép hội và phép tuyển AB  BA (2)

AB  BA (3)

3. Tính chất kết hợp của phép hội và phép tuyển ABC  ABC (4)

ABC  ABC (5)

4. Tính chất phân phối của phép hội đối với phép tuyển ABCAB  A C  (6)

5. Tính chất phân phối của phép tuyển đối với phép hội ABC AB  A C  (7)

6. Luật De morgan

AB  AB (8) AB  AB (9) 7. Tính chất lũy đẳng (phản xạ) của phép hội và phép tuyển

A A  A (10) AA  A (11)

9. Luật trung hòa của phép hội và phép tuyển.

A Đ  A (12) A S  A (13)

Mặt khác, các phép toán logic     , , , , , không độc lập với nhau. Một số trong chúng có thể biểu diễn qua các phép toán khác, sao cho khi đó nhận được các công thức đồng nhất bằng nhau. Vì vậy, ngoài 13 cặp công thức đồng nhất bằng nhau cơ bản trên, chúng ta còn một số cặp công thức khác.

10. Phép kéo theo được biểu diễn qua phép phủ định, phép hội và phép tuyển. AB A B

AB A B AB B A

11. Phép tương đương được biểu diễn qua phép kéo theo, phép hội, phép phủ định

AB  AB  BA AB A B

AB   A B A B

Tương tự như vậy phép hội có thể được biểu diễn thông qua phép tuyển và phép phủ định, ngược lại phép tuyển có thể được biểu diễn thông qua phép hội và phép phủ định (luật De Morgan) như các biểu thức (8) và (9) đã trình bày ở trên. Và từ các cặp biểu thức đồng nhất bằng nhau này, thông qua các phép toán logic chúng ta sẽ biến đổi ra vô số các biểu thức bằng nhau khác. Các công thức đồng nhất bằng nhau có vai trò như nhau, nghĩa là chúng có thể thay thế cho nhau, các công thức đồng nhất bằng nhau cho phép có thể thực hiện các phép biến đổi trên các công thức để đưa chúng về dạng đơn giản hơn hay thích hợp hơn.

Quan hệ đối ngẫu và luật đối ngẫu: Phép toán hội đối ngẫu với phép toán tuyển và ngược lại. Công thức A và A* được gọi là đối ngẫu nếu một công thức nhận được từ công thức kia bằng cách thay thế mỗi phép toán bằng phép toán đối ngẫu với nó.

Ví dụ 1.2. X YZ và X YZ là hai phép toán đối ngẫu. Đối với các phép toán cũng như đối với các công thức, quan hệ đối ngẫu là tương hỗ lẫn nhau: nếu A đối ngẫu với A* thì ngược lại A* đối ngẫu với A

Nếu A (X1, …., Xn) và A* (X1, …., Xn)hai công thức đối ngẫu và X1, …., Xn là mọi