Nghĩa của logic mệnh đề đối với sự ra đời và phát triển của các

hệ thống logic học phi cổ điển

Quá trình phát triển của khoa học cũng là quá trình làm cho nhận thức của con người ngày càng tiến sâu hơn vào bản chất các sự vật hiện tượng. Quá trình phát triển đó đã đặt ra yêu cầu cho logic học phải không ngừng tiếp tục được bổ sung và hoàn thiện để mang lại cho nhận thức khoa học những công cụ nhận thức hữu hiệu và đầy đủ hơn. Logic mệnh đề đã tạo nên một bước ngoặt trong sự phát triển của logic học. Cùng với logic vị từ, nó đã kết thúc logic cổ điển nhưng đồng thời cũng là điểm khởi đầu của logic hiện đại.

Cùng với sự xâm nhập của toán học vào logic học, được sự giúp sức bởi các công cụ của toán học, đối tượng và phạm vi của logic học ngày càng được mở rộng, có nhiều hệ thống logic học phi cổ điển như các hệ thống logic đa trị, logic trực giác, logic và các phép tính kiến thiết, logic khẳng định, logic giảm trừ mâu thuẫn… Sự ra đời của các hệ thống logic phi cổ điển nhằm thỏa mãn những yêu cầu sau: Yêu cầu nội tại từ sự phát triển bản thân của logic học, trực tiếp nhất là những hạn chế của logic mệnh đề nói riêng và logic cổ điển nói chung; Yêu cầu đáp ứng sự phát triển của khoa học và thực tiễn đời sống xã hội, phản ánh sự vận động sáng tạo của các quá trình tư duy và quá trình vận động sáng tạo đó trên cơ sở nguyên tắc kế thừa những thành tựu của các hệ thống đã có từ trước.

Ý nghĩa của logic mệnh đề đối với sự ra đời và phát triển của các hệ thống logic phi cổ điển được biểu hiện trên những phương diện cơ bản sau:

Thứ nhất: Điểm xuất phát và cơ sở chung để xây dựng các hệ thống logic phi cổ điển mà trực tiếp nhất là hệ thống logic đa trị là từ sự mở rộng logic mệnh đề. Sự xuất hiện logic tam trị của Lukasiewicz là do mở rộng logic mệnh đề cổ điển, hệ Pn là tổng quát của logic mệnh đề cổ điển, hoặc hệ Go là sự phát triển

của hệ Pn. Cũng như vậy, các hệ thống logic thao tác lại là sự mở rộng của những hệ thống logic đã có trước đó, đặc biệt là logic mệnh đề cổ điển…

* Logic tam trị, tứ trị của Lukasiewicz

Trong logic mệnh đề, các mệnh đề chỉ nhận một trong hai giá trị đúng hoặc sai. Lukasiewicz nhận thấy rằng trong thực tế, có những mệnh đề trong tương lai có thể xác định được giá trị chân lý của chúng là đúng hoặc sai, nhưng vào thời điểm hiện tại thì giá trị chân lý của chúng khó xác định. Ví dụ mệnh đề “Năm 2016 tôi sẽ ra nước ngoài làm việc”. Mệnh đề này chúng ta không thể xác định tính đúng sai của chúng vì hiện tại sự kiện được phản ánh trong mệnh đề chưa xảy ra. Dễ dàng nhận thấy rằng những loại mệnh đề như thế này không thuộc phạm vi của logic mệnh đề. Nói cách khác, các nội dung và quy luật của logic mệnh đề không bao quát hết được tất cả các trường hợp của tư duy. Do vậy để đáp ứng yêu cầu phát triển của tư duy nhằm phản ánh đầy đủ hơn thế giới hiện thực thì cần phải có một hệ thống logic khác, hệ thống logic này bao quát các mệnh đề có giá trị chân lý thứ ba. Lukasiewicz đã bắt đầu xây dựng logic tam trị từ điểm xuất phát như vậy, từ đó ông đã xây dựng logic tam trị trên cơ sở định nghĩa các khái niệm mệnh đề có giá trị đúng, mệnh đề có giá trị sai, và mệnh đề có giá trị chân lý thứ ba. Các phép toán trên mệnh đề của logic tam trị cũng được thực hiện trên cơ sở các phép toán của logic mệnh đề, các quy luật logic của tư duy vẫn được áp dụng, tất nhiên riêng quy luật loại trừ cái thứ ba - quy luật yêu cầu mệnh đề chỉ nhận hai giá trị đúng hoặc sai trong logic cổ điển không thể áp dụng ở đây.

Lukasiewicz xây dựng hệ thống logic đa trị của mình vào năm 1920. Theo tác giả Vũ Văn Viên trong bài báo Logic học phi cổ điển và ý nghĩa của nó (Tạp chí triết học, số 12 năm 2004) thì những nội dung cơ bản trong logic tam trị mà Lukasiewicz xây dựng như sau :

Trước hết, ông định nghĩa các mệnh đề với ba loại giá trị chân lý. Gọi R1 là tập hợp tất cả các sự kiện mà bản thân nó đang tồn tại, hoặc nguyên nhân cho sự xuất hiện của nó đang tồn tại. Gọi R0 là tập hợp tất cả các sự kiện mà sự kiện đối lập với nó thuộc R1. Gọi R1/2 là tập hợp tất cả các sự kiện mà bản thân nó hoặc đối lập với nó không thuộc R1.

Các mệnh đề mô tả các sự kiện thuộc R1 là các mệnh đề đúng, chúng thuộc lớp K1. Các mệnh đề mô tả các sự kiện thuộc R0 là các mệnh đề sai, chúng thuộc lớp K0 và các mệnh đề mô tả các sự kiện thuộc tập R1/2 là các mệnh đề có giá trị chân lý thứ ba, chúng thuộc lớp K1/2. Kí hiệu mệnh đề có giá trị chân lý đúng - 1; giá trị chân lý sai - 0 ; giá trị chân lý thứ ba -1/2.

Các phép toán logic cũng được ông định nghĩa như sau :

+ Phép phủ định, kí hiệu Nx. Giá trị chân lý được biểu hiện ở bảng 2.1. 1 0

1/2 1/2 0 1

(Bảng 2.1. Giá trị chân lý của phép phủ định trong Logic tam trị)

Khái quát: Nx = 1-  X

+ Phép kéo theo kí hiệu Cxy. Giá trị chân lý thể hiện ở bảng 2.2 X/Y 1 1/2 0

1 1 1/2 0 1/2 1 1 1/2

0 1 1 1

(Bảng 2.2. Giá trị chân lý của phép kéo theo trong Logic tam trị)

Như vậy: XY = 1 nếu XY ; XY = 1  [(X) + (Y)] nếu X > Y Tổng quát: XY = min [1, 1  (X) + (Y)]

+ Phép hội kí hiệu Kxy . Giá trị chân lý được thể hiện ở bảng 2.3. X/Y 1 1/2 0

1 1 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 0 0 0 0

Giá trị chân lý của phép hội được xác định là giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị của các thành phần tạo nên phép hội. Tổng quát ta có Kxy = min [(X); (Y)].

+ Phép tuyển kí hiệu Axy. Giá trị chân lý được thể hiện ở bảng 2.4. X/Y 1 1/2 0

1 1 1 1 1/2 1 1/2 1/2

0 1 1/2 0

(Bảng 2.4. Giá trị chân lý của phép tuyển trong Logic tam trị)

Giá trị của phép tuyển là giá trị lớn nhất của trong số các giá trị của các thành phần. Tổng quát Axy = max [(X), (Y)].

Tất cả các hằng đúng của logic Lukasiewicz đều là các hằng đúng của logic lưỡng trị, bởi nếu bỏ giá trị 1/2 thì trong logic Lukasiewicz và logic lưỡng trị các thao tác hội, tuyển, kéo theo, và phủ định sẽ tương ứng trùng nhau. Nhưng vì trong logic Lukasiewicz có cả giá trị chân lý thứ 3 là 1/2, cho nên không phải mọi hằng đúng của logic lưỡng trị đều là hằng đúng trong logic Lukasiewicz. Ba quy luật cơ bản của logic lưỡng trị là quy luật đồng nhất, quy luật mâu thuẫn và quy luật lí do đầy đủ vẫn áp dụng. Tuy nhiên, quy luật loại trừ cái thứ ba không có tác dụng vì trong hệ thống logic này xuất hiện giá trị chân lý thứ ba.

Từ logic tam trị, Lukasiewicz tiếp tục phát triển và xây dựng logic tứ trị bằng cách thực hiện toán tử giao giữa hai lớp giá trị của logic mệnh đề và hai ba lớp giá trị của logic tam trị. Ông loại bỏ hai tập hợp rỗng, giữ bốn tập hợp còn lại. Bốn tập hợp mệnh đề được xác định tương ứng với các giá trị chân lý là: 0, 1/3, 2/3, 1. Từ đó hình thành logic tứ trị. Ở đây, các phép toán trên mệnh đề, các suy luận cũng tiếp tục được thực hiện trên cơ sở sự mở rộng của logic tam trị.

Ngoài logic tam trị của Lukasiewicz, còn có nhiều hệ thống logic tam trị khác như logic tam trị của Heyting, logic tam trị của Bochvar, của Reikhenbach… Tuy nhiên, logic tam trị của Lukasiewicz là sơ đẳng và điển hình nhất, đồng thời cũng là sự mở rộng, phát triển trực tiếp nhất từ logic mệnh đề cổ điển.

+ Logic n giá trị (Pn) của Post.

Trong hệ thống logic n giá trị của Post các mệnh đề nhận các giá trị chân lý là 1, 2,… n (với n 2), trong đó n – số hữu hạn. Như vậy, có thể xem hệ Pn là sự khái quát của logic lưỡng trị, bởi với trường hợp với n = 2 ta nhận được logic lưỡng trị với tư cách là một trường hợp riêng của nó.

Đối với hệ thống logic này, các quy luật logic là những công thức mà luôn tiếp nhận giá trị i sao cho 1 i  S, trong đó 1  S  n – 1.

Post đưa vào 2 kiểu phủ định (N1x và N2x), tương ứng được gọi là phủ định tuần hoàn (chu kỳ) và phủ định đối xứng. Chúng được xác định bằng cách lập bảng và nhờ các đẳng thức:

Phủ định kiểu thứ nhất được định nghĩa bằng hai đẳng thức: 1) N1x [x] 1 với [x] n 1  .

2) N1n 1.

Phủ định kiểu thứ hai được định nghĩa bằng một đẳng thức:

2 n

N  n [x] 1

Giá trị chân lý của hai dạng phủ định trên được biểu hiện ở bảng 2.5 X 1 x N N 2x 1 2 n 2 3 n-1 3 4 n-2 4 5 n-3 … n-1 n 2 n 1 1

Điểm đặc thù của 2 dạng phủ định ở hệ n trị của Post là, với n = 2 thì các phủ định này trùng với nhau và với phủ định của logic lưỡng trị, là điều xác nhận luận điểm rằng: hệ thống đa trị của Post là kết quả sự khái quát của logic lưỡng trị.

Hội và tuyển được định nghĩa tương ứng là số lớn nhất và nhỏ nhất trong số các giá trị chân lý thành phần. Với các định nghĩa đã nêu của phủ định, của hội và của tuyển thì với giá trị x > 2, các quy luật phi mâu thuẫn và bài trung cũng như phủ định của các quy luật đó đều không tác động.

Trên cơ sở hệ n trị của Post, người ta lại tiếp tục mở rộng và xây dựng được hệ logic vô hạn trị, kí hiệu là Go. Hệ này được xem như là sự tổng hợp, mở rộng hệ đa trị Pn, và suy đến cùng là sự mở rộng logic mệnh đề, vì các giá trị đúng là 1, sai là 0 và các giá trị chân lý khác nằm trong khoảng (0,1).

“Ngoài logic đa trị, logic phi cổ điển còn có nhiều hệ thống logic khác như logic dạng thức, logic quan hệ, logic thời gian,... Đây là những hệ thống logic học nghiên cứu các mệnh đề tình thái - giá trị chân lý của các mệnh đề tuân theo tính quy định hoặc nhiên” [51, tr. 50]. Đồng thời, để đáp ứng yêu cầu sự phát triển của toán học còn có nhiều hệ thống logic khác như logic trực giác, logic kiến thiết..v.v.

Như vậy, qua sự trình bày cụ thể về một số nội dung cơ bản của logic tam trị và logic n trị (theo công trình nghiên cứu của tác giả Vũ Văn Viên) cho phép chúng ta có thể khẳng định rằng: logic mệnh đề có ý nghĩa trực tiếp đối với sự xuất hiện của một số hệ thống logic phi cổ điển.

Thứ hai: Logic mệnh đề (cùng với logic truyền thống) và logic phi cổ điển với những phạm vi và đối tượng riêng đã chứng minh tính tương đối và

tuyệt đối của chân lý. Logic mệnh đề nói riêng và logic cổ điển nói chung gắn liền với quyết định luận chặt chẽ, nó phản ánh tính chính xác của tư tưởng và tính tương đối của chân lý trong những mối quan hệ cụ thể. Tuy nhiên, quyết định luận chặt chẽ chỉ đúng trong một phạm vi nhất định, ứng với trình độ phản ánh giới tự nhiên trong tính bộ phận. Sự ra đời của logic phi cổ điển đã cho thấy yêu cầu tư duy của con người phải phản ánh giới tự nhiên trong sự vận động toàn vẹn của nó. Và do đó, khoa học không thể dừng lại ở quyết định luận chặt chẽ mà phải hướng tới quyết định luận biện chứng.

Sự phát triển của các hệ thống logic phi cổ điển trên cơ sở khắc phục những hạn chế và mở rộng phạm vi của logic cổ điển trong đó trực tiếp là logic mệnh đề là kết quả phát triển tất yếu của logic học trong mối quan hệ với sự phát triển của khoa học nói chung. Nó biểu hiện tính chủ động và sáng tạo của tư duy trong quá trình hướng tới phản ánh đúng đắn và đầy đủ thế giới khách quan. Tất nhiên, mỗi một hệ thống logic khác nhau, trong đó có cả logic mệnh đề đều được phát huy vai trò trong những phạm vi tác động nhất định của nó. Và sự ra đời của logic phi cổ điển không có nghĩa là phủ định tầm quan trọng và giá trị của logic cổ điển nói chung và logic mệnh đề nói riêng. Ngược lại, sự phát triển liên tục của logic học đã mang lại cho tư duy những công cụ ngày càng sắc bén và đầy đủ hơn trong quá trình nhận thức thế giới. Đồng thời, con người trong hoạt động tư duy trừu tượng của mình vẫn phải lấy logic cổ điển làm công cụ chính cho quá trình tư duy, còn các học thuyết logic phi cổ điển về thực chất chỉ là các công cụ phụ trợ cho tư duy trong những tình huống, phương diện cụ thể mà thôi.

2.2. Ý nghĩa nhận thức của logic mệnh đề đối với sự phát triển của toán học

Toán học là công cụ của nhận thức duy lý. Chính vì vậy, nghiên cứu ý nghĩa của logic mệnh đề đối với sự phát triển của toán học cũng có nghĩa là gián tiếp chỉ ra ý nghĩa của nó đối với nhận thức khoa học.

2.2.1. Ý nghĩa của logic mệnh đề đối với việc giải quyết cuộc khủng hoảng cơ sở của toán học

Logic mệnh đề ra đời xuất phát từ yêu cầu phát triển nội tại của chính bản thân logic học nhưng đồng thời cũng xuất phát từ yêu cầu phải xem xét lại cơ sở của toán học. Nó là kết quả của sự xâm nhập giữa ngôn ngữ kí hiệu của toán học, các phép toán vào nội dung của logic học. Tuy nhiên, khi logic mệnh đề ra đời cũng đã góp phần quan trọng thúc đẩy sự phát triển của nhận thức nói chung và toán học nói riêng với tư cách là một công cụ quan trọng của nhận thức duy lý.

Thực chất, sự ra đời của logic mệnh đề nói riêng và logic toán nói chung là kết quả trực tiếp của việc ứng dụng rộng rãi phương pháp tiên đề trong toán học. Phương pháp tiên đề được Euclid sử dụng từ thời cổ đại khi xây dựng cơ sở của hình học sơ cấp, tuy nhiên công việc trình bày hình học như một hệ tiên đề của Euclid không thành công. Theo Novicop “Sự phát triển của phương pháp tiên đề có thể chia làm hai giai đoạn. Giai đoạn thứ nhất là từ Lobasepki đến các công trình của Hilbert về cơ sở toán học, giai đoạn thứ hai là từ các công trình đó của Hilbert cho đến nay. Giai đoạn thứ hai này là sự hợp nhất các quan điểm vượt ra ngoài hình học với bộ môn phát triển song song thường gọi là logic kí hiệu hay logic toán” [31, tr. 5].

Sự ứng dụng rộng rãi của phương pháp tiên đề trong toán học được quy định bởi bản chất và đối tượng của toán học. Toán học ra đời từ yêu cầu của thực tiễn, các kiến thức toán học đầu tiên của loài người như số học, hình

học,… đều ra đời từ nhu cầu đo đếm của con người trong quá trình lao động sản xuất. Tuy nhiên, mặc dù ra đời từ thực tiễn nhưng khác với các khoa học khác, toán học là khoa học có tính trừu tượng rất cao, tính trừu tượng này không phải là sự thoát ly khỏi cơ sở thực tiễn mà bị quy định bởi chính đối tượng nghiên cứu của nó. Đối tượng nghiên cứu của toán học là quan hệ về số lượng và hình dạng của các vật thể trong không gian, vì vậy muốn cho việc nghiên cứu này được thuận tiện và đạt kết quả sâu sắc thì phải bỏ qua các đặc