1.3. Đại số mệnh đề và hệ toán mệnh đề
1.3.2. Hệ toán mệnh đề
1.3.2.1.Khái quát về hệ hình thức và xây dựng hệ toán mệnh đề
Như trên đã khẳng định, một trong những nguyên nhân quan trọng làm cho logic toán xuất hiện và phát triển là sự lan truyền rộng rãi phương pháp tiên đề trong việc xây dựng các lý thuyết toán học. Vấn đề cốt lõi của việc trình bày bất kì một lý thuyết toán học nào dưới dạng một hệ hình thức là việc chứng minh tính phi mâu thuẫn của hệ hình thức đó. Trong toán học, lý thuyết tập hợp là cơ sở của việc chứng minh tính phi mâu thuẫn của các hệ tiên đề. Tuy nhiên, khi trong bản thân lý thuyết tập hợp xuất hiện nghịch lý, tức là bản thân nó chứa đựng mâu thuẫn thì nó không còn đáng tin cậy để làm cơ sở chứng minh cho tính phi mâu thuẫn của các lý thuyết toán. D. Hilbert và trường phái của ông đã đề xuất một phương pháp mới là xây dựng tất cả các lý thuyết toán học như là những lý thuyết cú pháp trong đó tất cả các tiên đề được mô tả bằng những công thức theo một bảng chữ cái xác định và các quy tắc suy luận từ công thức này đến các công thức khác được chỉ ra một cách chính xác. Ông cũng đề xuất một lý thuyết toán học nghiên cứu về các lý thuyết cú pháp đó gọi là lý thuyết chứng minh hay siêu lý thuyết. Trong siêu lý thuyết cơ sở cho các chứng minh là các quy luật của logic học và phương pháp của toán học. Do đó, logic mệnh đề tham gia vào các lý thuyết cú pháp như một bộ phận cấu thành. Và từ đó nảy sinh vấn đề trình bày logic mệnh đề như một lý thuyết cú pháp hay còn gọi là một hệ hình thức. Hệ toán mệnh đề trở thành một trong những hệ toán logic đơn giản nhất và nằm trong nhiều hệ toán logic khác như một bộ phận cấu thành.
Việc thiết lập một hệ hình thức được tiến hành theo các bước như sau: trước hết là mô tả các kí kiệu của hệ hình thức ấy dưới dạng một tập hợp hữu hạn các kí hiệu. Thứ hai là các quy tắc thành lập các công thức từ hệ thống
các kí hiệu đó. Thứ ba là một hệ tiên đề (các công thức hằng đúng và không được chứng minh trong hệ hình thức đó). Thứ tư là một số hữu hạn các quy tắc dẫn xuất, biểu thị mối quan hệ nhất định giữa các công thức.
Hệ toán mệnh đề thực chất và việc trình bày đại số mệnh đề dưới dạng một hệ hình thức. Bởi vậy, hệ toán mệnh đề cũng được xác định theo bốn bước như trên.
Các kí hiệu của hệ toán mệnh đề hay còn gọi là ngôn ngữ của hệ toán mệnh đề. Các ký hiệu loại một là một tập hợp đếm được các chữ cái Latinh in hoa A, B,….., X, Y, Z và các chữ cái đó với chỉ số: A1, A2,… các ký hiệu loại hai có tên gọi chung là các phép toán logic. Có bốn ký hiệu cơ bản nhất là
, , ,
tên gọi của chúng lần lượt là: hội, tuyển, kéo theo và phủ định.
Ký hiệu loại 3 là ( ) dấu ngoặc. Hệ toán mệnh đề không có ký hiệu nào khác ngoài những ký hiệu đã nêu.
Các công thức của hệ toán mệnh đề là các dãy hữu hạn các ký hiệu thuộc các loại nêu trên. Những dãy này có thể viết dưới dạng các dòng. Để kí hiệu các công thức, ta thường dùng những chữ cái Latinh in đậm A, B, …
những chữ này không phải là ký hiệu của hệ toán, chúng chỉ là những ký hiệu rút gọn theo quy ước của các công thức. Không phải mọi dòng ký hiệu đều là công thức. Định nghĩa đầy đủ của công thức sẽ có tính chất đệ quy: Chỉ ra một số công thức ban đầu nào đó, rồi các quy tắc cho phép ta từ các công thức lập ra các công thức mới.
1. Mỗi ký hiệu mệnh đề đơn A, B, C, ... là một công thức mệnh đề sơ cấp. 2. Nếu A và B là các công thức, thì A, A B , A B , A B ,
đều là những công thức.
3. Chỉ có những biểu thức được định nghĩa ở các mục 1, 2 mới gọi là công thức.
Bước tiếp theo trong việc mô tả của hệ toán mệnh đề là việc tách ra một lớp công thức nào đó mà ta gọi là hằng đúng hoặc dẫn được trong hệ toán mệnh đề. Định nghĩa các công thức đúng cũng có tính chất đệ quy như định nghĩa công thức. Trước tiên xác định các công thức đúng ban đầu, sau đó xác định các quy tắc cho phép lập các công thức đúng mới từ các công thức đúng đã có. Ta gọi quy tắc này là quy tắc dẫn xuất, còn các công thức đúng ban đầu là các tiên đề. Sự thành lập công thức đúng từ các công thức ban đầu hay các tiên đề bằng cách dùng quy tắc dẫn xuất gọi là dẫn xuất của công thức đã cho từ các tiên đề.
Các tiên đề của hệ toán mệnh đề, được chia làm 4 nhóm gồm 11 công thức, đây là những công thức hằng đúng (luật logic) tách ra được từ một số công thức khái quát nhất (nhờ trực giác) tạo thành hệ tiên đề của logic mệnh đề.
Nhóm I 1.ABA . 2.ABCAB AC . Nhóm II 1.A B A . 2. A B B 3.ABAC A B C Nhóm III 1.A A B 2.B A B 3.ACBCA B C Nhóm IV 1.ABBA 2.AA
Như vậy, trong 4 nhóm tiên đề trên, ta dễ dàng nhận thấy, nhóm tiên đề I chỉ chứa phép kéo theo, nhóm II ngoài phép kéo theo còn có các tích logic, nhóm III có các tổng logic và nhóm IV có các phủ định.
Quy tắc dẫn xuất hay còn gọi là các quy tắc suy luận của hệ toán mệnh đề. Từ các công thức hằng đúng trong hệ tiên đề của hệ toán mệnh đề, thông qua các công thức dẫn xuất, chúng ta sẽ thiết lập được các công thức mới và chứng minh tính dẫn được của chúng. Có hai quy tắc dẫn xuất cơ bản là quy tắc thế và quy tắc suy diễn.
Thứ nhất: Quy tắc thế
Giả sử A là công thức chứa A. Khi đó nếu A là công thức đúng trong hệ toán mệnh đề, thì sau khi thay mọi A bằng một công thức B bất kì ta vẫn nhận được công thức đúng.
Quy tắc này được viết dưới dạng công thức
A
B
A
S A
Thứ hai: Quy tắc suy diễn (Modus ponen)
Nếu A và A B là các công thức đúng trong hệ toán mệnh đề, thì B
cũng là công thức đúng. Quy tắc này được viết dưới dạng công thức là Mp(A,A B) = B hoặc A, A B
B
Bằng cách chỉ ra các tiên đề và quy tắc dẫn xuất ta hoàn toàn xác định được khái niệm công thức đúng hay dẫn được trong hệ toán mệnh đề. Dùng các quy tắc dẫn xuất ta có thể đi từ các tiên đề xây dựng các công thức đúng mới và do đó nhận được mỗi công thức đúng.
Ví dụ 1.8: Chứng minh A B B A là công thức đúng trong hệ toán mệnh đề
Ta có tiên đề 3 nhóm IIABAC A B C
Thực hiện phép thế thay AB vào A ta nhận được
Tiếp tục thực hiện phép thế thay C bằng A ta được công thức
A B BA B A A B B A ta được công thức đúng
Ta lại thấy rằng giả thiết của phép kéo theo nàyA B B là tiên đề 2 thuộc nhóm II do đó áp dụng quy tắc suy diễn thu được công thức
A B A A B B A là công thức đúng. Giả thiết của công
thức này A B A lại là tiên đề 1 của nhóm 2, do đó áp dụng quy tắc suy diễn ta có A B B A là công thức đúng trong hệ toán mệnh đề.
Ngoài những quy tắc cơ bản là quy tắc thế và quy tắc suy diễn, hệ toán mệnh đề còn một số quy tắc khác để biến đổi các công thức đúng, chúng được thiết lập từ hai quy tắc cơ bản trên và là sự áp dụng nhiều lần hai quy tắc cơ bản trên. Tuy nhiên, việc dẫn ra các công thức đúng trong hệ toán mệnh đề bằng cách dùng trực tiếp các quy tắc dẫn xuất tương đối phức tạp. Có thể sử dụng cách khác là áp dụng những định lý về tính dẫn được trong đó đặc biệt là định lý suy diễn, (đây là định lý về hệ toán mệnh đề, không phải là định lý của bản thân hệ toán). “Định lý này đã được Herbran phát biểu và chứng minh năm 1930” [30, Tr 48] Trong khuôn khổ của luận văn, tác giả chỉ dẫn lại mà không chứng minh.
Định lý suy diễn: Giả sử là tập công thức, A và B là các công thức, nếu , A B, thì (AB). Trường hợp riêng nếu A B thì (AB)
1.3.2.2.Một số quy tắc cơ bản của hệ toán mệnh đề
- Định lý 1: AB BC AC Chứng minh: Ta xây dựng các dẫn xuất sau:
1. AB (Giả thiết) 2.BC (Giả thiết) 3. A (Giả thiết)
4. Từ 1 và 3 theo quy tắc suy diễn ta suy ra B
5. Từ 1 và 4 theo quy tắc suy diễn ta suy ra C
Vậy từ 1-5 ta có: AB,BC,A C
Theo định lý suy diễn ta có: AB,BC, C
Từ đó ta có quy tắc bắc cầu: A B,B C A C ( trong đó A, B, C là các công thức) - Định lý 2: ABCBAC Chứng minh: Ta xây dựng dẫn xuất như sau:
1.ABC (Giả thiết) 2. B (Giả thiết) 3. A (Giả thiết) 4. Từ 1 và 3 áp dụng quy tắc suy diễn ta cóBC
5. Từ 2 và 4áp dụng quy tắc kết luận ta có C Vậy từ 1-5 ta có: ABC ,B,A C
Theo định lý suy diễn: ABC , B AC Từ đó ta có quy tắc hoán vị giả thiết:
A B C B A C -Định lý 3: AB A B Từ đó ta có quy tắc A,B AB và A B A,B
1.3.2.3. Các tính chất cơ bản của hệ toán mệnh đề
Tính chất không mâu thuẫn: Bất kì một hệ hình thức nào cũng phải thỏa mãn tính chất đầu tiên là tính không mâu thuẫn. Ta gọi một hệ logic là không mâu thuẫn nếu trong đó không thể dẫn được hai công thức bất kì nào mà công thức này là phủ định của công thức kia.
Hệ toán mệnh đề có tính chất không mâu thuẫn có nghĩa là không thể tồn tại đồng thời công thức Avà A là đồng nhất đúng trong hệ toán mệnh đề. Nói cách khác, từ các tiên đề đã cho của hệ toán mệnh đề (4 nhóm tiên đề) và hai quy tắc dẫn xuất cơ bản là quy tắc thế và quy tắc suy diễn, ta không thể đồng thời dẫn được hai công thức Avà A. Nếu tồn tại Avà A thì có nghĩa là hệ toán mệnh đề ta đã xét ở trên không có giá trị gì cả, bởi vì nó không có khả năng phản ánh sự khác nhau giữa đúng và sai.
Mỗi công thức trong hệ toán mệnh đề đồng thời có thể khảo sát như một công thức của đại số mệnh đề. Bởi vậy, chứng minh tính phi mâu thuẫn của hệ toán mệnh đề có thể được thực hiện thông qua việc chứng minh mọi công thức dẫn được trong hệ toán mệnh đề và được khảo sát như công thức đúng của đại số mệnh đề đều là những công thức đồng nhất đúng, nghĩa là nhận giá trị đúng với mọi giá trị của các biến. Khi đó rõ ràng nếu công thức A
dẫn được trong hệ toán mệnh đề thì công thức A là không thể dẫn được vì rằng A là công thức đồng nhất đúng khi đó A là công thức đồng nhất sai, do đó nó nhận giá trị sai với mọi giá trị các biến.
Ta dễ dàng kiểm tra trực tiếp rằng các tiên đề của hệ toán mệnh đề là các công thức đồng nhất đúng. Giả sử có công thức A (A) chứa biến A là đồng nhất đúng. Thực hiện phép thế công thức B vào mọi vị trí của biến A ta nhận được công thức A (B) là đồng nhất đúng (theo quy tắc phép thế).
Ta chứng minh rằng nếu các công thức A và A B đồng nhất đúng, thì công thức B cũng đồng nhất đúng. Nếu A đồng nhất đúng thì nó luôn nhận giá trị đúng, vì A B cũng đồng nhất đúng nên theo tính chất của phép kéo theo, B không thể nhận giá trị sai mà chỉ có thể nhận giá trị đúng. Bởi vì A
đúng, mà B sai thì A B sẽ nhận giá trị sai. Do vậy, B là công thức đồng nhất đúng.
Tính chất đầy đủ của hệ toán mệnh đề. Hệ toán mệnh đề là sự trình bày đại số mệnh đề dưới dạng một hệ hình thức. Bởi vậy nó phải thỏa mãn tính đầy đủ. Tính chất đầy đủ của hệ toán mệnh đề hiểu theo nghĩa rộng là số lượng các tiên đề đã được chọn và các quy tắc dẫn xuất đã đầy đủ hay chưa để dẫn ra một công thức bất kì mà công thức này là đồng nhất đúng theo nghĩa về mặt nội dung. Ở phần trên, ta thấy rằng mọi công thức dẫn được trong hệ toán mệnh đề là đồng nhất đúng nếu khảo sát nó như là công thức của đại số mệnh đề. Vậy, tính đầy đủ của hệ toán mệnh đề theo nghĩa rộng là mọi công thức đồng nhất đúng của đại số mệnh đề đều dẫn được trong hệ toán mệnh đề. Tính đầy đủ hiểu theo nghĩa hẹp là khi ta thêm một công thức nào đó không dẫn được trong hệ toán vào các tiên đề của nó thì sẽ dẫn tới mâu thuẫn.
Tính độc lập của các tiên đề trong hệ toán mệnh đề: Tính độc lập của một hệ hình thức bất kì biểu hiện ở chỗ ta không thể dẫn được một tiên đề nào đó từ các tiên đề còn lại bằng cách dùng các quy tắc trong hệ toán đã cho. Nếu có thể dẫn được một tiên đề nào đó từ các tiên đề còn lại trong hệ đã cho thì rõ ràng có thể loại bỏ khỏi hệ tiên đề đó và do đó hệ hình thức này không đầy đủ.
Hệ toán mệnh đề là độc lập theo nghĩa trong 11 các tiên đề thuộc 4 nhóm đã chọn, không tồn tại một tiên đề nào được rút ra từ các tiên đề còn lại nhờ hai quy tắc dẫn xuất cơ bản là quy tắc kết luận và quy tắc thế. Phương pháp kiểm tra tính độc lập của các tiên đề trong hệ toán mệnh đề có thể thực hiện bằng cách dẫn ra từng tiền đề và chứng minh chúng không đẳng trị với bất kì tiên đề còn lại nào, hoặc chứng minh bằng cách dẫn ra một tiên đề A bất kì trong hệ tiên đề và chọn một tính chất P nào đó và sau đó chứng minh mỗi tiên đề khác A đều có tính chất P; nếu B và C là hai công thức có tính chất P, thì công thức D dẫn từ B và C theo MP cũng có tính chất P; và cuối cùng là A không có tính chất P.
Tiểu kết: Qua những trình bày ở trên có thể khẳng định sự ra đời của logic mệnh đề nói riêng và logic toán nói chung nhằm giải quyết trực tiếp hai yêu cầu: yêu cầu xây dựng ngôn ngữ kí hiệu cho logic học và yêu cầu xây dựng cơ sở logic cho các lý thuyết toán. Hai yêu cầu riêng đối với mỗi khoa học này lại xuất phát từ những yêu cầu chung của quá trình nhận thức khi cả logic học và toán học đều đóng vai trò là những bộ công cụ của nhận thức. Xét về mặt nội dung, logic mệnh đề thuộc logic học, khi nó tiếp tục đặt ra và giải quyết các vấn đề trong phạm vi và đối tượng nghiên cứu của khoa học