logic vị từ
Hạn chế của logic mệnh đề đòi hỏi tiếp tục được bổ sung bằng sự ra đời của logic vị từ. Những hạn chế này là: tách rời đối tượng lập luận với hành vi lập luận, không quan tâm đến nội dung của các phán đoán mà chỉ quan tâm đến mối quan hệ chuyển đổi giữa các phán đoán. Một số mệnh đề không thuộc phạm vi nghiên cứu của logic mệnh đề. Hơn nữa đối tượng nghiên cứu của logic mệnh đề chỉ là các mệnh đề lưỡng trị, nó không nghiên cứu các quá trình hình thành khái niệm cũng như cấu trúc của các mệnh đề sơ cấp. Hệ thống kí hiệu của logic mệnh đề còn nghèo nàn và không cho phép biểu thị những mối quan hệ bản chất giữa các thành phần của mệnh đề.
Nếu như logic mệnh đề chỉ giúp chúng ta rút ra kết luận từ những mệnh đề đã có thông qua các phép toán logic, mà không xét nội dung của bản thân các mệnh đề đó thì logic vị từ được coi là sự phát triển của logic mệnh đề,
theo nghĩa những mệnh đề sơ cấp được xét như những đại lượng nhận một trong hai giá trị đúng sai, từ đó áp dụng các phép toán cũng như công thức của logic mệnh đề lên nó. Hai khái niệm vị từ và lượng từ đóng vai trò mở rộng chính trong logic vị từ và được xây dựng chi tiết để biểu diễn đa số các mệnh đề và suy luận. Do đó, logic vị từ có thể biểu hiện cấu trúc nội tại của một mệnh đề sơ cấp. Logic vị từ cho phép thực hiện các phép biến đổi chính xác và chặt chẽ đối với các phán đoán và khái niệm, do đó nó không chỉ chính xác hóa cơ sở logic của hệ thống phán đoán mà còn hoàn thiện cơ sở logic của hệ thống khái niệm. Cùng với logic mệnh đề nó cấu thành logic toán.
Ý nghĩa của logic mệnh đề đối với sự hình thành và phát triển của logic vị từ trước hết được thể hiện ở chỗ, logic mệnh đề là nền tảng ban đầu cho sự hình thành của logic vị từ. Nói cách khác, logic vị từ chứa đựng toàn bộ logic mệnh đề bao gồm: những mệnh đề sơ cấp lưỡng trị, mọi phép toán và mọi công thức của nó. Từ đó, logic vị từ là sự mở rộng tiếp theo về đối tượng và phạm vi của logic mệnh đề.
Sự mở rộng của logic vị từ trên cơ sở logic mệnh đề được biểu hiện trên những phương diện cơ bản sau:
Thứ nhất: Bổ sung việc sử dụng khái niệm vị từ
Vị từ hay còn gọi hàm logic, là sự mở rộng của các mệnh đề trong logic mệnh đề gắn với một đối tượng xác định. Giả sử tập M nào đó gồm các vật a, b, c, d,… là những vật xác định thuộc tập hợp này. Khi đó các mệnh đề về các vật này được ký hiệu dưới dạng:
P(a), Q(b), R(c,d),…
P(a) là kí hiệu mệnh đề về vật a, Q(b) là kí hiệu mệnh đề về vật b. R(c,d) là kí hiệu mệnh đề về quan hệ giữa vật c và vật d.
Trong logic vị từ, những mệnh đề có thể đúng hoặc sai nhưng khác với logic mệnh đề các giá trị đúng và sai được đặt tương ứng với một vật hoặc
một nhóm vật xác định, nghĩa là khắc phục hạn chế của logic mệnh đề là tách rời đối tượng lập luận khỏi hành vi lập luận. Ở đây trong đại số vị từ, giả sử chúng ta có mệnh đề R(c,d) là kí hiệu của mệnh đề “số 5 lớn hơn số 3’, trong đó c là ‘số 5”, d là ‘số 3” . Mệnh đề này chỉ mối quan hệ giữa hai số tự nhiên. Các số này là những đối tượng xác định. Và mệnh đề đã cho có giá trị chân lý bằng 1.
Khái quát lại chúng ta có thể hiểu khái niệm vị từ như sau: Giả sử M là tập hợp bất kì của một số lượng hữu hạn các vật, x là một vật bất kì trong tập hợp đó. F(x) là kí hiệu một mệnh đề sẽ trở thành xác định khi x được thay thế bởi một vật xác định trong tập M. Khi đó chúng ta kí hiệu là F(a), F(b),… với a, b là các phần tử thuộc M, và F(a), F(b) là những mệnh đề xác định. Mỗi một mệnh đề đã xác định hoặc chưa xác định này đều chỉ có thể nhận hai giá trị 1 hoặc 0 (như trong đại số mệnh đề). Cho nên, ta có thể nói rằng biểu thức F(x) thuộc M có nghĩa là mỗi vật trong M được đặt tương ứng với một trong hai giá trị 1 hoặc 0, hay hàm F(x) xác định trên tập M chỉ nhận hai giá trị 1 hoặc 0. Tương tự như vậy đối với các mệnh đề xác định tính chất hoặc quan hệ của hai, ba vật,… ta có các hàm tương ứng với hai, ba biến G(x, y); H( x, y, z),… Trong đó các biến x, y, z,… chạy trong tập M và các hàm nhận một trong hai giá trị 1 hoặc 0. Ta gọi các mệnh đề chưa xác định này (các hàm) gọi là hàm logic hay các vị từ và tập M được gọi là trường.
Cũng nên lưu ý rằng, Aristotle đã đưa ra khái niệm vị từ nhưng đó là vị từ một biến biểu hiện tính chất của một vật xác định. Trong đại số vị từ, khái niệm vị từ được hiểu theo nghĩa rộng hơn, có thể là một hoặc nhiều biến, chúng không chỉ biểu hiện tính chất của một vật mà còn biểu thị quan hệ của hai hay nhiều vật.
Trong một trường M nhất định, các phần tử không xác định được gọi là “biến tử” kí hiệu là các chữ cái in thường ở cuối bảng chữ La tinh: x, y, z,…
Những phần tử xác định của trường được gọi là “hằng tử” được kí hiệu bằng các chữ La tinh in thường ở đầu bảng: a,b, c,…
Các mệnh đề không đổi hoặc các biến mệnh đề như đã được khảo sát trong đại số mệnh đề được kí hiệu bằng các chữ cái La tinh in hoa: A, B, X, Y… cùng với các biểu thức F(a), G(a, b);… trong đó F, G là các vị từ và a, b là các vật xác định đều được gọi là mệnh đề sơ cấp. Trong đại số vị từ, các phép toán trên mệnh đề trong đại số mệnh đề vẫn tiếp tục được áp dụng, bao gồm: phép phủ định, phép hội, phép tuyển, phép kéo theo.
Ví dụ 2.8: Cho F(x): x là số chẵn F(x): x không là số chẵn
Sự mở rộng của đại số vị từ thông qua việc sử dụng vị từ nhiều biến đã đem đến một ý nghĩa lớn đối với toán học. Trong mọi hệ tiên đề của các bộ môn toán, có những tiên đề không biểu diễn được bằng các vị từ một biến. Nhưng nhờ các vị từ nhiều biến được mở rộng ở đây, cho phép mọi tiên đề đó đều có thể được diễn tả.
Thứ hai: Trong logic vị từ có sự bổ sung việc sử dụng các lượng từ. Hai khái niệm mới xuất hiện trên các vị từ mà chưa xuất hiện trong logic mệnh đề là lượng từ toàn thể và lượng từ tồn tại.
Lượng từ toàn thể: Cho M là một trường, x là biến tử của trường đó. P(x) là một vị từ xác định trên M. Ta có biểu thức xP x là một mệnh đề và đọc là: ‘mọi x, x có tính chất P”. Mệnh đề này đúng khi P(x) đúng với mỗi phần tử x của trường M, và sai trong trường hợp ngược lại. Nói cách khác P(x) đúng khi mọi phần tử thuộc trường M đều có tính chất P, và sai khi có ít nhất một phần tử thuộc trường M không có tính chất P. Như vậy, P(x) không phụ thuộc vào x mà chỉ phụ thuộc vào trường M. Dấu “” được gọi là lượng từ toàn thể.
Lượng từ tồn tại (lượng từ bộ phận): Với Q(x) là vị từ xác định trên trường M. Ta có công thức: xQ(x) và đọc là “Tồn tại x, x có tính chất Q”. Mệnh đề này đúng nếu có một phần tử của trường M sao cho Q(x) đúng và sai trong trường hợp ngược lại. Dấu “” gọi là lượng từ tồn tại hay bộ phận.
Trong các công thức xP x và xP(x) lượng từ “” và “ “ liên quan đến biến x hay nói cách khác biến x bị ràng buộc bởi lượng từ tương ứng. Trong logic vị từ các biến không bị ràng buộc bởi lượng từ nào gọi là biến tự do. Ví dụ: x A1( ( x P x x x2 ( ,1 2, 3)), trong công thức này x3 là biến tự do.
Thứ ba: Sự mở rộng các công thức và sự bổ sung các tiên đề trong hệ tiên đề của hệ toán vị từ.
Tính chất của các công thức trong logic vị từ cũng là sự mở rộng của logic mệnh đề. Mọi công thức hằng đúng trong logic mệnh đề đều là công thức hằng đúng trong logic vị từ. Ngoài ra, logic vị từ còn một số công thức với các lượng từ, đây là những công thức mang tính chất đặc thù:
xP(x) xP(x) x(F(x) G(x)) ( xF(x) xG(x) x(F(x) G(x)) x(F(x) G(x))
Tương tự như vậy, đối với các công thức đồng nhất bằng nhau. Hai công thức đồng nhất bằng nhau trên trường M bất kì thì ta gọi chúng là đồng nhất bằng nhau và cũng như trong đại số mệnh đề các công thức đồng nhất bằng nhau có thể thay thế cho nhau. Mọi sự đồng nhất bằng nhau trong đại số mệnh đề cũng được chuyển qua logic vị từ:
Ví du 2.9: Trong đại số mệnh đề, ta có: A B A B Chuyển qua đại số vị từ ta sẽ có:
Ngoài ra, trong logic vị từ còn có một số công thức đồng nhất bằng nhau mà logic mệnh đề không có vì nó liên quan đến lượng từ. Đó là quy luật về mối liên hệ giữa lượng từ với dấu phủ định.
Ví dụ 2.10: Ta xét biểu thức: xA(x) , giả sử biểu thức trên đúng có nghĩa là xA(x) là sai, điều đó tương đương với có tồn tại một phần tử x sao cho A(x) là sai, ta viết xA(x) là sai, mệnh đề lại tương đương với tồn tại một phần tử x sao cho x không có tính chất A, được viết là: x A(x) . Từ đó ta có xA(x) xA(x).
Tương tự ta có cặp đồng nhất thức xA(x) xA(x).
Như vậy, trong logic vị từ mối quan hệ giữa phép phủ định và hai lượng từ biểu hiện: dấu phủ định có thể đưa vào dưới dấu lượng từ, sau khi thay lượng từ bằng đối ngẫu với nó (lượng từ toàn thể đối ngẫu với lượng từ tồn tại và ngược lại; tương tự như trong logic mệnh đề phép toán hội đối ngẫu với phép toán tuyển và ngược lại).
Nếu trong logic mệnh đề, các công thức có thể được đưa về dạng chuẩn hội hoặc chuẩn tuyển nhờ phép biến đổi tương đương thì trong logic vị từ, áp dụng các luật chung và luật đặc thù, chúng ta có thể biến đổi các công thức về dạng dấu phủ định chỉ liên quan tới vị từ sơ cấp, dạng này chúng ta cũng gọi là dạng chuẩn tắc của các công thức.
Mặt khác, đại số vị từ cũng giống như đại số mệnh đề khi được trình bày dưới dạng một hệ tiên đề thì được gọi là hệ toán vị từ. Các bước trình bày hệ toán vị từ cũng giống như các bước trình bày của một hệ hình thức nói chung và hệ toán mệnh đề nói riêng. Hệ tiên đề của hệ toán vị từ giống như 4 nhóm hệ toán mệnh đề, ngoài ra có thêm nhóm thứ 5. Các quy tắc dẫn xuất cũng tương tự, trong đó có hai quy tắc cơ bản là quy tắc thế mà quy tắc suy diễn. Điểm khác
trong các quy tắc dẫn xuất này là ngoài thế mệnh đề, còn có thế vị từ. Hệ toán vị từ cũng có các tính chất: tính phi mâu thuẫn, tính đầy đủ và tính độc lập.
Sự ra đời của logic vị từ trên cơ sở logic mệnh đề đã góp phần khắc phục những hạn chế của logic mệnh đề và góp phần khắc phục triệt để hơn những hạn chế của logic truyền thống. Qua những trình bày trên, có thể khẳng định rằng, nếu không có logic mệnh đề sẽ không có logic vị từ, sự mở rộng và phát triển của lý thuyết logic tiếp theo phải trên nền tảng của lý thuyết đã xuất hiện trước, đồng thời logic vị từ có phạm vi và đối tượng rộng hơn logic mệnh đề, nên các công thức và phép toán của nó cho phép giải quyết được nhiều vấn đề đặt ra đối với logic học nói riêng và khoa học nói chung mà logic mệnh đề chưa khắc phục hết được. Ví dụ như tính không chắc chắn của các kết luận trong luận ba đoạn nhất quyết đơn trong logic truyền thống do nhầm lẫn khái niệm (đã trình bày ở trên - mục 2.1.1). Hai khái niệm lượng từ toàn thể và lượng từ tồn tại đã khắc phục triệt để sự nhầm lẫn việc hiểu khái niệm ở hai phạm vi toàn thể và bộ phận được đồng nhất làm một. Hoặc các mệnh đề trong logic vị từ gắn liền với đối tượng xác định cho nên nó phản ánh đầy đủ hơn thế giới khách quan, bởi vì nhiều suy luận trong thực tế, không tuân theo luật logic mệnh đề nhưng chúng ta vẫn thu được kết luận đúng, do tính đúng đắn của suy luận không chỉ phụ thuộc vào mối quan hệ chân lý giữa các mệnh đề thành phần trong suy luận mà còn phụ thuộc vào cấu trúc bên trong của mệnh đề đó. Ví dụ nói về tính đúng sai của phán đoán phức “nếu A thì B” sẽ chưa đầy đủ nếu chỉ đề cập đến tính đúng sai của các phán đoán thành phần A và B mà không quan tâm gì đến mối liên hệ về mặt nội dung có tính chất nhân quả giữa A và B.