Nghĩa của logic mệnh đề đối với việc khắc phục những hạn chế

và hiện đại hóa lôgíc truyền thống.

Logic truyền thống được xây dựng từ thời Aristotle bên cạnh những đóng góp to lớn không thể phủ nhận thì nó cũng có những hạn chế thường bộc lộ ra từ chính sự phát triển của khoa học tự nhiên và logic học. Các hướng cải cách logic học Aristotle do các nhà triết học, logic học trước đó thực hiện đã cho thấy yêu cầu phải khắc phục những hạn chế của nó để đáp ứng yêu cầu phát triển của khoa học tự nhiên và sự phát triển nội tại của logic học. Logic mệnh đề xuất hiện như là kết quả của các cải cách đó, cho nên nó đóng góp một vai trò không nhỏ đối với việc khắc phục những hạn chế của logic học truyền thống. Đồng thời, nó cũng góp phần quan trọng vào quá trình hiện đại hóa, chính xác hóa các nội dung của logic học truyền thống.

Đầu tiên, dễ nhận thấy logic truyền thống sử dụng ngôn ngữ tự nhiên nên trong quá trình suy luận không thể tránh khỏi sự nhầm lẫn thuật ngữ, đánh tráo thuật ngữ, dẫn đến sai lầm trong quá trình suy luận. Điển hình nhất là đối với tam đoạn luận nhất quyết đơn. Francis Bacon đã chỉ ra rằng: tam đoạn luận được cấu thành từ các câu, còn các câu lại được cấu thành từ các từ mà từ thực chất là các kí hiệu của các khái niệm, vì thế cho nên nếu như các khái niệm trong khi cấu thành nền tảng của tất cả mà bị lẫn lộn hoặc được trừu tượng một cách không đúng từ các sự vật thì tất cả những gì xây dựng trên cơ sở của chúng đều không vững chắc.

Như vậy, có thể nhận thấy rằng để đảm bảo tính chính xác trong luận ba đoạn thì đầu tiên là các thuật ngữ (tức các khái niệm) phải được trừu tượng hoá đúng, hơn nữa trong một tam đoạn luận chỉ được có ba thuật ngữ. Tuy nhiên, trong ngôn ngữ tự nhiên do hiện tượng từ đồng âm khác nghĩa hoặc do việc sử dụng các khái niệm ở những phạm vi khác nhau dẫn đến đồng nhất hai khái niệm khác nhau nhưng biểu hiện bởi cùng một từ, hoặc là một khái niệm được hiểu ở nghĩa không tập hợp và tập hợp biểu thị toàn bộ đối tượng hay một phần tử hoặc một số phần tử của đối tượng. Từ đó, suy luận có nhiều hơn ba thuật ngữ nhưng lầm tưởng là tuân thủ đúng quy tắc ba thuật ngữ.

Ví dụ 2.1: Ta có luận ba đoạn: “Vật chất tồn tại vĩnh viễn. Quyển vở này là vật chất. Nên quyển vở này tồn tại vĩnh viễn”. Luận ba đoạn này thực chất có bốn thuật ngữ do khái niệm “vật chất” được hiểu trong quan hệ tập hợp toàn bộ đối tượng ở tiền đề lớn bị đồng nhất với khái niệm vật chất được hiểu theo nghĩa là một phần tử (một dạng của vật chất) ở tiền đề nhỏ. Do vậy, kết luận của luận ba đoạn này không chân thực.

Logic mệnh đề đã sử dụng ngôn ngữ kí hiệu, điều đó cho phép mô hình hoá các phương thức của luận ba đoạn và kiểm tra giá trị chân lý của các luận ba đoạn bằng các quy tắc cho thuật ngữ, cho tiền đề và cho từng phương thức suy luận sẽ dễ dàng và chính xác hơn. Đồng thời sự ra đời của lý thuyết tập hợp làm đơn giản đi nhiều việc phân tích quan hệ ngoại diên giữa các khái niệm. Từ đó, trên cơ sở tam đoạn luận nhất quyết đơn, các nhà logic học tiếp tục mở rộng xây dựng và phát triển các loại hình tam đoạn luận phức.

Cũng cần phải lưu ý thêm rằng, việc phân chia thành bốn loại hình và kiểu của từng loại hình cũng như các quy tắc của nó đã được đặt ra từ thời Aristotle và được tiếp tục hoàn thiện bởi Teophrast, C. Galen, Leibniz,... Những hạn chế trên của logic truyền thống không được khắc phục triệt để ở logic mệnh đề mà phải đến logic vị từ, bởi vì logic mệnh đề không nghiên cứu

cấu trúc cụ thể của mệnh đề mà chỉ chú ý đến giá trị chân lý của chúng. Nói cách khác, logic vị từ trên cơ sở sự mở rộng của logic mệnh đề đã khắc phục được cơ bản hạn chế của tam đoạn luận trong logic truyền thống do sử dụng ngôn ngữ tự nhiên - điều mà F. Bacon, R. Descartes và nhiều nhà triết học khác đã từng mong muốn.

Một ví dụ khác về những sai lầm dễ mắc phải trong quá trình suy luận khi sử dụng ngôn ngữ tự nhiên - giai thoại “Einstein không biết chữ”. “Một lần Einstein vào quán ăn. Nhưng ông quên không mang kính nên đã phải nhờ người hầu bàn đọc giùm thực đơn. Người hầu bàn ghé vào tai ông già thì thầm: Xin ngài thứ lỗi. Tôi rất tiếc cũng không biết chữ như ngài.” [6, tr 134]. Sai lầm này khó nhận biết và khắc phục trong logic truyền thống, nhưng sẽ dễ dàng hơn khi dùng các quy tắc của logic mệnh đề. Nếu kí hiệu A là mệnh đề “người không biết chữ”, B là mệnh đề “không biết đọc thực đơn”. Ta có mệnh đề kéo theo A B là ‘nếu người không biết chữ thì không biết đọc thực đơn”. Tương tự như vậy mệnh đề “Einstein không biết đọc thực đơn nên là người không biết chữ” là BA. Trong logic mệnh đề đây là mệnh đề đảo của mệnh đề A B và chúng không cùng giá trị chân lý. Do vậy, nếu A B là đúng thì BA là sai và kết luận trong trường hợp này là sai.

Thứ hai: Cũng do sử dụng ngôn ngữ tự nhiên, nên đối với logic truyền thống khi thực hiện những suy luận phức tạp hoặc phép chứng minh thường rất khó khăn, thường dễ rơi vào luẩn quẩn, làm chậm quá trình tư duy, lập luận; đồng thời khó xác định được giá trị chân lý của các phán đoán phức các suy luận phức tạp. Hạn chế này đã được khắc phục một phần nhờ ưu thế của logic mệnh đề thông qua hệ thống các kí hiệu và các phép toán.

Ví dụ 2.3: Đối với suy luận diễn dịch trực tiếp có tiền đề là các phán đoán phức, ta có phán đoán xuất phát: “Nam là sinh viên hoặc đảng viên” là phán đoán chân thực. Trong ngôn ngữ tự nhiên, diễn dịch trực tiếp đối với phán

đoán này được hiểu là tìm những cách diễn đạt khác sao cho giá trị của nó không đổi. Việc thực hiện này là rất khó khăn. Tuy nhiên, sẽ dễ dàng hơn khi sử dụng ngôn ngữ đã được hình thức hóa của logic mệnh đề. Ta kí hiệu “Nam là sinh viên” là A và “Nam là đảng viên” là B. Phán đoán trên sẽ có dạng

AB và có giá trị chân lý là 1. Các quy tắc của logic mệnh đề cho phép chúng ta thực hiện các phép biến đổi tương đương sau:

A  B  AB  B A  AB

Kết quả nhận được là phán đoán “Nam là sinh viên hoặc đảng viên” sẽ tương đương với các phán đoán sau:

- “Nếu Nam không là sinh viên thì là đảng viên”. - “Nếu Nam không là đảng viên thì là sinh viên”

- “Không thể có chuyện Nam không là sinh viên và không là đảng viên” Logic mệnh đề sử dụng ngôn ngữ kí hiệu, quá trình suy luận được thực hiện như những phép toán trên mệnh đề cho nên nó làm đơn giản hóa quá trình tư duy, làm cho quá trình suy luận được chính xác hơn, sâu sắc hơn. Đồng thời, các quy luật của logic mệnh đề cho phép dễ dàng xác định tính giá trị chân lý của phán đoán phức dựa vào giá trị của các phán đoán thành phần và các phép toán được thực hiện trên chúng, do đó cũng dễ dàng hơn cho việc xác định tính hằng đúng, hằng sai của một công thức hay suy luận phức tạp.

Một số ví dụ khác về sử dụng phương pháp của logic mệnh đề, có thể giải một số bài toán suy luận phức tạp một cách dễ dàng và chính xác hơn.

Ví dụ 2.4. Thầy giáo vừa đưa bốn học sinh Hùng, Dũng, Vinh, Cường đi thi đấu cờ vua về đến trường. Mọi người đều hỏi thăm, thầy trả lời: Một bạn trong đội chúng ta đạt giải nhất. Các em đoán xem bạn đó là ai

Bạn Nam đoán: Hùng hoặc Dũng đạt giải nhất. Bạn Hoa đoán: Dũng hoặc Vinh nhất

Bạn Lan nói: Các bạn đều đoán sai, theo em chỉ có Vinh hoặc Cường là được giải nhất.

Thầy mỉm cười: chỉ có Lan đoán đúng còn hai bạn đều đoán sai. Vậy ai là người đạt giải nhất?

Giải: Kí hiệu A: Hùng đạt giải nhất B: Dũng đạt giải nhất C: Vinh đạt giải nhất D: Cường đạt giải nhất

Nam đoán sai có nghĩa là (AB) 0 AB1

  A B 1 (luật De Morgan) A 1 B 1        (1)

Tương tự, do Hoa đoán sai nên ta có: B 1

C 1       (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra D1. Vậy Cường đạt giải nhất.

Ví dụ 2.5. Câu đố suy luận logic của Raymond Smullyan: Ở một hòn đảo có hai loại người sinh sống. Một là loại hiệp sĩ luôn nói thật, còn loại thứ hai, hoàn toàn đối ngược lại, là những kẻ bất lương luôn nói dối. Một lần bạn gặp hai người A và B. Hãy cho biết A và B là loại người nào, nếu A nói: “B là hiệp sĩ” và B nói “Hai chúng tôi thuộc hai loại người đối ngược nhau”.

Giải: Giả sử p và q lần lượt là hai mệnh đề “A là hiệp sĩ” và “B là hiệp sĩ”. Do đó p biểu diễn mệnh đề “A là kẻ bất lương” và q biểu diễn mệnh đề “B là kẻ bất lương”.

Trước hết ta xét khả năng A là hiệp sĩ, có nghĩa là p đúng. Nếu A là hiệp sĩ thì anh ta nói thật khi B là hiệp sĩ, vậy mệnh đề q cũng đúng. Nghĩa là A và B cùng loại. Nhưng nếu B là hiệp sĩ thì câu nói của B là “Hai chúng tôi thuộc hai loại người

đối lập nhau” tức là mệnh đề pq  pq đúng. Nhưng điều này không thể vì cả A và B là hiệp sĩ, do vậy, A không phải là hiệp sĩ, tức mệnh đề p sai.

Nếu A là kẻ bất lương, suy ra câu nói của A: “B là hiệp sĩ” là nói dối, như vậy q sai. Do đó B cũng là kẻ bất lương. Hơn nữa nếu B là kẻ bất lương thì câu nói của anh ta rằng A và B là hai người đối ngược nhau là câu nói dối và điều này nhất quán với việc A và B đều là kẻ bất lương. Vậy kết luận A và B đều là kẻ bất lương.

Qua những ví dụ trên có thể thấy để giải những bài toán suy luận, có nhiều phương pháp khác nhau trong đó có phương pháp của logic mệnh đề. Đối với những suy luận phức tạp, các công cụ của logic mệnh đề tỏ ra chính xác hơn so với giải chúng bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Thứ ba: Ý nghĩa của logic mệnh đề còn được biểu hiện rõ trong chứng minh. Chứng minh là giai đoạn phát triển cao của tư duy lý tính, đồng thời cũng là thao tác không thể thiếu trong mọi khoa học đặc biệt là khoa học tự nhiên. Phần lớn những tri thức con người có được trừ những tri thức được khái quát bằng trực giác do thao tác tư duy mà nhờ đó trên cơ sở một số tri thức chân thực, người ta xác lập tính chân thực hay giả dối của tri thức mới. Một phép chứng minh bất kì thường có cấu tạo gồm ba phần là: luận đề, luận cứ và luận chứng. Vai trò của logic mệnh đề được thể hiện đặc biệt trong phần luận chứng, phần mà các nhà logic học chưa thực sự tin tưởng và nghi ngờ về tính hiệu quả của logic truyền thống. Xương sống logic của luận chứng là quan hệ kéo theo. Nếu luận đề được rút ra một cách logic từ luận cứ thì điều đó có nghĩa là luận đề đó có cơ sở đầy đủ. Ở đây, các luật đã được chứng minh của logic mệnh đề có vai trò vô cùng quan trọng.

Đối với hình thức chứng minh phản chứng (chứng minh gián tiếp), đây là hình thức mà các luận cứ được tổ chức để luận chứng cho tính chân thực của luận đề bằng cách luận chứng cho tính giả dối của phản đề. Điều này dựa trên

cơ sở của quy luật loại trừ cái thứ ba. Sử dụng công thức logic mệnh đề, chúng ta có thể biểu thị một cách ngắn gọn của các bước chứng minh gián tiếp là: AB  ABA hay ABB A .

Ví dụ 2. 6. : Cho , ,a b c là các số thỏa mãn các điều kiện

0 (1) 0 (2) 0 (3)             a b c ab bc ca abc

Hãy chứng minh rằng , ,a b c là các số dương.

Trước hết ta nhận thấy a b c, , 0, giả sử a0 khi đó từ (3) ta suy ra 0



bc .

Từ (2) ta lại có: ab ac  bc do đó ab ac 0 hay a b c   0

Do a0 nên b c 0, từ đó ta có a b c  0 (4) điều này mâu thuẫn với (1), vậy a0. Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được b0 và c0.

Như vậy, trong chứng minh bài toán trên, giả sử A là kí hiệu công thức 0



a . Thì A là a0. Từ mệnh đề A ta suy ra được hai mệnh đề B là 0

  

a b c và B là a b c  0. Áp dụng luật loại trừ cái thứ ba suy ra A

đúng (tức a0).

Đối với chứng minh phân liệt (loại thứ hai của chứng minh gián tiếp), đây là cách chứng minh bằng cách đưa ra một mệnh đề tuyển có chứa luận đề, sau đó loại bỏ các khả năng ngoại trừ khả năng của luận đề. Thực chất đây là một tam đoạn luận lựa chọn. Có thể khái quát là:

1 2 1 2

  

A B B ,B B A

Thứ tư: Logic mệnh đề có ý nghĩa quan trọng đối với việc hiện đại hóa logic truyền thống. Điều đó được biểu hiện ở chỗ trước hết nó là kết quả của sự xâm nhập của ngôn ngữ kí hiệu và các phép toán vào nội dung của logic

học. Hơn nữa, ngay từ thời Aristotle, nhiều vấn đề đặt ra đối với logic truyền thống chưa được giải quyết một cách thỏa đáng thì đến logic mệnh đề, nó đã tìm được phương thức biểu hiện một cách chính xác hơn. Các suy luận trong logic truyền thống được chứng minh bằng các công thức và phương pháp của toán một cách chặt chẽ và chính xác. Từ đó, logic mệnh đề đã phát huy được thế mạnh to lớn của logic cổ điển với tư cách là một bộ công cụ hữu hiệu đối với quá trình nhận thức khoa học.

Thời cổ đại, nhiều vấn đề trong logic truyền thống đã được Aristotle và các nhà logic học bằng cách này hay cách khác phát hiện ra hoặc đề cập đến, tuy nhiên chưa định hình một cách rõ ràng hoặc chưa tìm thấy phương thức biểu đạt một cách chính xác. Ví dụ khi trình bày về tam đoạn luận, Aristotle đã nhận thấy là từ những tiền đề chân thực, nếu tuân thủ đúng các quy tắc của tam đoạn luận thì không thể nhận được kết quả giả dối, nhưng từ những tiền đề giả dối lại có thể nhận được những kết luận chân thực. Ông cũng đã sử dụng một cách chưa rõ ràng quy luật đảo ngược hai phán đoán có điều kiện: Khi hai đối tượng có quan hệ với nhau sao cho nếu có một cái thì tất yếu có cái kia, khi đó nếu không có cái thứ hai thì không có cái thứ nhất.

Tư tưởng này của ông được được chứng minh trong logic mệnh đề khi giá trị của phép kéo theo được xác định thông qua bảng giá trị chân lý. Trong đó phán đoán điều kiện (hay phép kéo theo) AB chỉ sai trong một trường hợp duy nhất là A có giá trị chân lý là 1 và B có giá trị chân lý là 0. Và từ

AB chắc chắn suy ra được nếu không có B thì sẽ không có A:

ABBA

Hơn nữa, việc sử dụng các phép toán cho phép từ những mệnh đề điều kiện, chúng ta có thể xác định giá trị chân lý của các mệnh đề đảo, phản đảo và nghịch đảo của nó. Ta có mệnh đề kéo theo AB, mệnh đề đảo là