Nội dung cơ bản của toán học bao gồm các khái niệm và các đ nh lí toán học, làm nền tảng cho việc rèn kĩ n ng toán học, đặc biệt là khả n ng suy luận và chứng minh, phát triển n ng lực trí tuệ chung, rèn luyện tƣ tƣởng, phẩm chất đạo đức. Việc dạy các đ nh lí hình học cần đạt các yêu cầu:
Học sinh nắm đƣợc hệ thống đ nh lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó có khả n ng vận dụng các đ nh lí vào hoạt động giải toán cũng nhƣ các ứng dụng khác.
Làm cho học sinh thấy đƣợc sự cần thiết của việc chứng minh đ nh lí (tuy nhiên phải phù hợp với nhận thức của HS THCS).
Hình thành và phát triển n ng lực chứng minh toán học cho học sinh.
Có 2 con đƣờng dạy học đ nh lí là con đƣờng có khâu suy đoán và con đƣờng suy diễn nhƣng trong khóa luận này em xin ph p ch trình bày con đƣờng có khâu suy đoán đó là tạo tình huống có vấn đề để giúp học sinh dự đoán, phát hiện ra đ nh lí, từ đó tìm ra cách chứng minh, phát biểu và củng cố đ nh lí. Con đƣờng có khâu suy đoán bao gồm các bƣớc:
i) Gợi động cơ học tập đ nh lí: Xuất phát từ nhu cầu trong thực tiễn hoặc trong nội bộ toán học.
ii)Dự đoán và phát biểu đ nh lí: Có thể dựa vào quy nạp không hoàn toàn, lật ngƣợc vấn đề, tƣơng tự hóa, khái quát hóa một đ nh lí đã biết, nghiên cứu trƣờng hợp suy biến, x t mối liên hệ và phụ thuộc,...
iii) Chứng minh đ nh lí: Đặc biệt chú ý gợi động cơ chứng minh và gợi cho học sinh những phƣơng pháp suy luận, chứng minh thông dụng và những quy tắc kết luận logic thƣờng dùng và tùy theo yêu cầu của chƣơng trình, trong những trƣờng hợp nhất đ nh việc chứng minh một số đ nh lí có thể không đặt ra cho chƣơng trình. iv) Vận dụng đ nh lí: Vận dụng đ nh lí vừa tìm đƣợc để giải quyết, kh p kín vấn đề đặt ra khi gợi động cơ.
v) Củng cố đ nh lí: Khâu này thƣờng đƣợc thực hiện b n các hoạt động: Nhận dạng và thể hiện đ nh lí, hoạt động ngôn ngữ, khái quát hóa, đặc biệt hóa và hệ thống hóa những đ nh lí.
Để HS có khẳng đ nh chắc chắn GV cho hình vẽ di động, mặc dù vậy nhƣng các tính chất đó của hình vẽ vẫn không thay đổi. Điều này làm cho HS có một niềm tin chắc chắn vào sự đúng đắn của đ nh lí.
mADC = 53.58°
mDCB = 134.50°
mABC = 74.59°
mDAB = 97.34°
mDAB + mABC + mDCB + mADC = 360.00°
Nhƣng dạy học chứng minh đ nh lí trƣớc hết cần cho HS thấy r ng: những điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ thật ra ch là một hoặc một vài hình vẽ mà thôi. Vấn đề đặt ra là tính chân thực của mệnh đề tổng quát không thể thử trực tiếp trên vô số trƣờng hợp nhƣ các khoa học thực nghiệm khác, vì vậy ta cần phải chứng minh nó b ng suy luận lập luận toán học logic.
Do đó sử dụng phần mềm GSP là ch giúp HS tiếp cận và hình thành đ nh lí, chứ không thể thay thế cho việc chứng minh đ nh lí. Tuy vậy nhƣng khi sử dụng GSP vào dạy tính chất của các hình em thấy thật thú v , nhất là HS có nhiều hứng thú trong học tập, các em tập trung quan sát sự di chuyển của các hình vẽ để phát hiện ra tính chât của các đối tƣợng hình học một cách chủ động, tinh tƣờng và đầy sáng tạo, tự bản thân các em rút ra tính chất hoặc đ nh lý b ng nhìn thấy trên hình vẽ, chứ không phải ch đọc sách giáo khoa trả lời nhƣ trƣớc đây.
Ví dụ 2.6: Khi dạy đ nh lí “ Tổng các góc của một tứ giác”chúng ta tiến hành nhƣ sau:
Bƣớc 1 : Gợi động cơ học tập đ nh lí.
Giáo viên đặt câu hỏi cho cả lớp cùng suy nghĩ, tổng 3 góc trong một tam giác là b ng o
180 , c n tổng 4 góc trong một tứ giác b ng bao nhiêu độ ? Bƣớc 2 : Dự đoán và phát biểu đ nh lí.
Vẽ trực tiếp một tứ giác ABCD trên cửa sổ màn hình GSP.
Đo các góc của tứ giác b ng menu ph p đo .
Cho HS tính tổng số đo các góc của tứ gác ABCD b ng cách chọn menu Number chọn Caculate. A B C D Hình 2.12
GV di chuyển một đ nh của tứ giác, lúc này các góc của tứ giác ABCD cũng thay đổi theo, tất nhiên số đo các góc cũng thay đổi và hiển th trên màn hình. GV cho
mDAB + mABC + mDCB + mADC = 360.00°
mADC = 62.46°
mDCB = 80.15°
mABC = 75.63°
mDAB = 141.76°
HS cộng lại 2 hoặc 3 lần khi tứ giác thay đổi. Kết quả tổng các góc của tứ giác vẫn không thay đổi (b ng 360o).
A B
C
D
Hình 2.13
GV cho HS nhận x t, rút ra đ nh lí: Tổng các góc của tứ giác b ng 360o. Bƣớc 3: Chứng minh đ nh lí.
Việc chứng minh đ nh lí phải thực hiện theo bài ? 3 (SGK, trang 65, hình học lớp 8 tập 1). A B C D Hình 2.14
Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại đ nh lí về tổng 3 góc của một tam giác. Dựa vào đ nh lí tổng 3 góc của một tam giác, hãy tính tổng : A B C D. Bƣớc 4: Vận dụng đ nh lí.
Giáo viên yêu cầu học sinh giải đáp câu hỏi đã đặt ra ở bƣớc gợi động cơ. Học sinh trả lời: Tổng 4 góc trong một tứ giác b ng o
360 . Bƣớc 5: Củng cố đ nh lí.
m CB = 5.24 cm
m DE = 2.62 cm
mABC = 80.83°
mADE = 80.83°
Ví dụ 2.7: Khi dạy đ nh lí “Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba. ” chúng ta sẽ tiến hành nhƣ sau:
Bƣớc 1: Gợi động cơ học tập đ nh lí.
Giáo viên đặt câu hỏi, cả lớp suy nghĩ trả lời: Giữa hai điểm B và C có chƣớng ngại vật (Hình 2.16 ). Biết DE = 50m, ta có thể tính đƣợc khoảng cách giữa hai điểm B và C ? D E B C A Hình 2.15 Bƣớc 2: Dự đoán và phát biểu đ nh lí.
Giáo viên trình bày trên màn hình Sketch hoạt động ?2 (SGK trang 77):
Vẽ tam giác ABC bất kì rồi lấy trung điểm D của AB, trung điểm E của AC. Kiểm tra r ng: ADEB và 1
DE BC 2 . E D B C A Hình 2.16
Giáo viên sử dụng menu Measure chọn Angle để đo các góc A ED và B, chọn Lengths để đo độ dài các cạnh DE và BC.
Từ đó kết luận: ADEB và 1
DE BC
2 .
Bƣớc 3: Chứng minh đ nh lí.
Giáo viên hƣớng dẫn học sinh chứng minh đ nh lí trên bảng. Bƣớc 4: Vận dụng đ nh lí.
Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi ở phần gợi động cơ. Bƣớc 5: Củng cố đ nh lí.
Giáo viên yêu cầu học sinh làm bài 20 (SGK trang 79).
Tìm x trong hình sau : 50 50 10 cm x 8 cm 8 cm I K A B C Hình 2.17
Ví dụ 2.8: Khi dạy đ nh lí Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai .
Bƣớc 1: Gợi động cơ học tập đ nh lí.
Cho hình thang ABCD (AB/ / DC ). Qua trung điểm E của AD kẻ đƣờng thẳng song song với hai đáy, đƣờng thẳng này cắt AC ở I, cắt BC ở F (Hình 2.19). Có nhận x t gì về v trí của điểm I trên AC, điểm F trên BC?
I F E A D B C Hình 2.18
m DF = 3.85 cm
m FC = 3.85 cm
m DF = 2.20 cm
m FC = 2.20 cm
Bƣớc 2: Dự đoán và phát biểu đ nh lí.
Vẽ hình thang ABCD trực tiếp trên màn hình GSP, vẽ trung điểm E của cạnh AB b ng menu dựng hình. Chọn cạnh BC và điểm E, vẽ đƣờng thẳng đi qua E song song với BC, nó cắt DC tại một điểm, đặt tên cho điểm đó là F.
Ẩn đoạn thẳng DC, vẽ FD và FC (Hình 2.20) lấy số đo hai đoạn FD và FC cho HS nhận x t chúng có b ng nhau không? F E A D B C Hình 2.19
Di chuyển các đ nh của tứ giác (Hình 2.21) cho HS quan sát và nhận x t số đo của hai đoạn FD và FC, từ đó cho HS rút ra nhận x t: Đƣờng thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai . F E A D B C Hình 2.20 Bƣớc 3: Chứng minh đ nh lí.
Giáo viên hƣớng dẫn học sinh học chứng minh đ nh lí đã trình bày trong sách giáo khoa.
Bƣớc 4: Vận dụng đ nh lí.
Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi đã đặt ra ở bƣớc gợi động cơ. Bƣớc 5: Củng cố đ nh lí.
Giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập 22 (SGK trang 80).
DC = 1.93 cm EF = 3.52 cm AB = 5.11 cm E M A B C D Hình 2.21
Ví dụ 2.9: Khi dạy đ nh lí “Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy”, chúng ta sẽ tiến hành nhƣ sau:
Bƣớc 1: Gợi động cơ học tập đ nh lí.
Giáo viên trình chiếu hình vẽ đã chuẩn b trên màn hình Sketchpad với yêu cầu: Tính x trong hình (Hình 2.23) dƣới đây:
24 m x 32 m B E D H A C Hình 2.22 Bƣớc 2: Dự đoán và phát biểu đ nh lí.
Đo độ dài đƣờng trung bình EF và độ dài hai cạnh đáy AB và CD b ng menu ph p đo (Hình 2.24). F E C B D A Hình 2.23
DC = 3.23 cm
AB = 3.23 cm
BC = 5.69 cm
AD = 5.69 cm
Cho HS so sánh độ dài đƣờng trung bình EF và tổng độ dài của hai đáy AB và CD, rồi rút ra nhận x t: Đƣờng trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và b ng nửa tổng hai đáy .
Bƣớc 3: Chứng minh đ nh lí.
Giáo viên hƣớng dẫn học sinh học chứng minh đ nh lí trong sách giáo khoa. Bƣớc 4: Vận dụng đ nh lí.
Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi đặt ra ở bƣớc gợi động cơ, sau khi học xong đ nh lí về đƣờng trung bình của hình thang, chúng ta có thể dễ dàng tính đƣợc x dựa vào đ nh lí trên.
Bƣớc 5: Củng cố đ nh lí.
Giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập 23 ( SGK trang 80).
Tìm x trên hình sau (Hình 2.25). 5 cm x I K P Q M N Hình 2.24
Ví dụ 2.10: Khi dạy “tính chất của hình bình hành”, chúng ta tiến hành nhƣ sau: Bƣớc 1: Gợi động cơ học tập đ nh lí.
Giáo viên đặt câu hỏi: Hình thang cân cần điều kiện gì để trở thành hình bình hành? Bƣớc 2: Dự đoán và phát biểu đ nh lí.
Đo các cạnh đối b ng menu ph p đo rồi yêu cầu học sinh so sánh số đo các cạnh đối (Hình 2.26).
C
A D
B
DC = 3.23 cm AB = 3.23 cm BC = 3.86 cm AD = 3.86 cm
GV di chuyển điểm C (Hình 2.27) để hình bình hành thay đổi hình dạng, tiếp tục cho HS theo dõi, so sánh rồi rút ra nhận x t về các cạnh đối của hình bình hành:
Hình bình hành có các cạnh đối bằng nhau . C A D B Hình 2.26
Đo các góc đối b ng menu ph p đo rồi so sánh (Hình 2.28).
mCDA = 115.99° mDCB = 64.01° mCBA = 115.99° mDAB = 64.01° C A D B Hình 2.27
GV di chuyển điểm C để hình bình hành thay đổi hình dạng, tiếp tục cho HS theo dõi, so sánh rồi rút ra nhận x t về các góc đối của hình bình hành (Hình 2.29).
mCDA = 131.27° mDCB = 48.73° mCBA = 131.27° mDAB = 48.73° C A D B . Hình 2.28
Đo các khoảng cách từ giao điểm của hai đƣờng ch o đến các đ nh của hình bình hành b ng menu ph p đo rồi so sánh (Hình 2.30).
m DO = 2.84 cm m OC = 5.07 cm m OB = 2.84 cm m AO = 5.07 cm O C A D B Hình 2.29
GV di chuyển điểm C (Hình 2.31) để hình bình hành thay đổi hình dạng, tiếp tục cho HS theo dõi, so sánh rồi rút ra nhận x t về giao điểm hai đƣờng ch o của hình bình hành. m DO = 2.84 cm m OC = 3.19 cm m OB = 2.84 cm m AO = 3.19 cm O C A D B Hình 2.30 Bƣớc 3: Chứng minh đ nh lí.
Giáo viên hƣớng dẫn học sinh học chứng minh đ nh lý trong sách giáo khoa trang 90.
Bƣớc 4: Vận dụng đ nh lí.
Giáo viên yêu cầu học sinh suy nghĩ trả lời câu hỏi đặt ra ở bƣớc gợi động cơ. Bƣớc 5: Củng cố đ nh lí.
Giáo viên yêu cầu học sinh làm bài tập 46 (SGK trang 92).
Các câu sau đúng hay sai?
a)Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành. b)Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành. c) Tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau là hình bình hành. d)Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành.