Chƣơng 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.4.2. Kết quả khảo sát
a) Khảo sát giáo viên
Bảng 1.1 dưới đây là kết quả khảo sát 20 giáo viên (các mức độ từ thấp đến cao chia thành 5 bậc, ứng với các số từ mức độ 1 - thấp nhất, đến mức độ 5 - cao nhất) Số
TT
Câu hỏi Mức độ
1 2 3 4 5
I Nội dung phương trình đường thẳng và đường bậc hai ở lớp 10 ở mức độ nào, xét theo từng phương diện sau?
1 Dễ dạy 0 3 10 5 2
2 Dễ học 2 3 8 5 2
3 Hấp dẫn 0 1 12 4 3
4 Quan trọng 0 0 17 2 1
5 Gắn với thực tiễn 0 0 15 3 2
6 Có cơ hội phát triển năng lực biểu diễn toán học cho học sinh
1 5 9 5 0
II Trong dạy học phương trình đường thẳng và đường bậc hai ở lớp 10 sự quan tâm của thầy cô đến các vấn đề sau ở mức độ nào?
7 Sử dụng biểu diễn toán bằng phương trình 0 0 5 13 2 8 Sử dụng biểu diễn toán bằng sơ đồ 0 14 5 1 0 9 Sử dụng biểu diễn trực quan (vật thật, hình
ảnh...)
1 11 9 1 0
10 Sử dụng biểu diễn bằng biểu, bảng 0 2 10 4 4 11 Sử dụng biểu diễn động nhờ phần mềm
toán
Có từ 15 đến 17 thầy cô (trên tổng số 20) cho rằng nội dung phương trình đường thẳng, đường bậc hai ở lớp 10 là nội dung dễ dạy, dễ học và hầu hết các thầy cô (19/20) cho rằng đây là nội dung quan trọng, hấp dẫn và gắn với thực tiễn. Các thầy cô cũng đồng ý rằng dạy học nội dung này có cơ hội phát triển năng lực năng lực biểu diễn toán cho học sinh.
Trong dạy học phương trình đường thẳng, đường bậc hai ở lớp 10, tất cả các thầy cô đều sử dụng biểu diễn toán bằng phương trình và biểu diễn bằng biểu, bảng. Quá nửa số thầy cô được hỏi (12 đến 14 thầy cô) sử dụng biểu diễn toán bằng sơ đồ hoặc biểu diễn động nhờ phần mềm toán.
b) Kết quả khảo sát học sinh
Bảng 1.2 dưới đây là kết quả khảo sát 100 học sinh, (các mức độ từ thấp đến cao chia thành 5 bậc, ứng với các số từ mức độ 1 - thấp nhất, đến mức độ 5 - cao nhất)
Số TT
Câu hỏi Mức độ cao dần
1 2 3 4 5
I Nội dung phương trình đường thẳng và đường bậc hai ở lớp 10 ở mức độ nào?
1 Dễ học 12 32 47 8 5
2 Dễ vận dụng vào giải toán 14 27 45 9 5
3 Hấp dẫn 0 40 32 14 14
4 Quan trọng 0 0 76 15 9
5 Gắn với thực tiễn 0 0 69 12 19
II Trong dạy học phương trình đường thẳng và đường bậc hai ở lớp 10 các thầy cô giáo đã quan tâm đến các cách biểu diễn toán ở mức độ nào?
6 Sử dụng biểu diễn toán bằng phương trình
0 0 51 49 0
7 Sử dụng biểu diễn toán bằng sơ đồ 46 31 23 0 0 8 Sử dụng biểu diễn trực quan (vật thật, 82 10 8 0 0
Số TT
Câu hỏi Mức độ cao dần
1 2 3 4 5
hình ảnh...)
9 Sử dụng biểu diễn bằng biểu, bảng 49 33 10 8 0 10 Sử dụng biểu diễn động nhờ phần mềm
toán
48 52 0 0 0
Như vậy, tất cả học sinh được hỏi đều đồng ý với ý kiến nội dung phương trình đường thẳng, đường bậc hai ở lớp 10 là hấp dẫn, quan trọng và gắn với thực tiễn. Tuy nhiên cũng chỉ có khoang 14% các em cho là nội dung này dễ học và dễ vận dụng.
Khi được hỏi về phương pháp dạy học của các thầy cô, ý kiến của các em khá tập trung vào nhận định là các thầy cô chủ yếu sử dụng biểu diễn toán bằng phương trình hoặc biểu diễn bằng biểu, bảng; Hầu như các thầy cô ít sử dụng biểu diễn toán bằng sơ đồ hoặc biểu diễn động nhờ phần mềm toán.
Ý kiến này phù hợp với ý kiến của giáo viên tự đánh giá về vấn đề này.
Khi trao đổi thêm, đa số học sinh thường chỉ quan tâm đến lời giải bài toán, chưa chú trọng vào việc biểu diễn toán.
Tiểu kết chƣơng 1
Tăng cường biểu diễn toán là một trong những vấn đề đã và đang được quan tâm trong giáo dục Toán học hiện nay. Trong nội dung môn Toán ở lớp 10, nội dung phương trình đường thẳng, đường bậc hai ở lớp 10 có nhiều cơ hội để phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh.
Khảo sát thực tiễn cho thấy hầu hết các thầy cô và học sinh được hỏi đều cho rằng nội dung phương trình đường thẳng, đường bậc hai ở lớp 10 là hấp dẫn, quan trọng và gắn với thực tiễn. Các thầy cô chủ yếu sử dụng biểu diễn toán bằng phương trình hoặc biểu diễn bằng biểu, bảng; ít sử dụng biểu diễn toán bằng sơ đồ hoặc biểu diễn động nhờ phần mềm toán.
Chƣơng 2
BIỆN PHÁP DẠY HỌC PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG BẬC HAI Ở LỚP 10 THEO HƢỚNG PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC BIỂU DIỄN TOÁN CHO HỌC SINH
2.1. Biện pháp 1. Kết hợp biểu diễn đƣờng thẳng, biểu thức, sơ đồ và biẻu diễn nghiệm của phƣơng trình, bất phƣơng trình bậc nhất trong dạy học phƣơng trình đƣờng thẳng
Ví dụ 2.1.1. Lượng nước cần thiết hàng ngày của mọi người tỷ lệ thuận với
trọng lượng cơ thể (với người hoạt động, học tập, làm việc bình thường, không chạy nhảy nô đùa, không lao động nặng nhọc, đặc biệt gì, không ít vận động…).
Biết rằng một người 50 kg thì cần uống 2 lít nước mỗi ngày.
a) Lập công thức tính số lít nước cần uống mỗi ngày theo số kg cân nặng của mỗi người.
b) Một bạn cân nặng là 35 kg, cần phải cung cấp hàng ngày cho cơ thể là bao nhiêu lít?
c) Vẽ đồ thị của hàm số trên hệ trục tọa độ Oxy, với mỗi đơn vị trên trục hoành biểu thị 1 lit và mỗi đơn vị trên trục tung biểu thị 20 kg.
Hướng dẫn
a) Vì lượng nước cần thiết hàng ngày của mọi người tỷ lệ thuận với trọng lượng cơ thể, nên lượng nước cần uống mỗi ngày là y (lit) tính theo số x kg cân nặng của mỗi người được tính theo công thức:
y = ax.
Thay y = 2, x = 50, ta được a = 2: 50 = 0,04.
Vậy hàm số biểu thị lượng nước (lít) theo cân nặng (kg) là y = 0,04x.
Vậy, nếu một bạn cân nặng là 35 kg, cần phải cung cấp hàng ngày cho cơ thể là 1,4 lít.
c) Đồ thị của hàm số là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm có tọa độ (50; 2).
Hình 2.1
c) Khi x = 35 (kg) thì y = 30.35 = 1050 (ml) = 1,050 (lit).
Ví dụ 2.1.2. Đoạn thẳng ở Hình 2.1 biểu diễn số lít xăng mà xe ô tô tiêu thụ
theo số kilômét đi được. Mỗi đơn vị trên trục Ox biểu thị một lít, mỗi đơn vị trên trục Oy biểu thị mười kilômét.
a) Lập phương trình đường thẳng biểu thị số lít xăng tiêu thụ trên số kilômét chuyển động và vex đồ thị hàm số.
b) Ô tô có thể đi được bao nhiêu km nếu bình xăng chứa 4,5 lít xăng?
11 lít xăng?
c) Biết rằng 1 lít xăng có giá 17000 đồng; Số tiền xăng phải trả để đi hết quãng đường dài 120km là bao nhiêu?
Hình 2.2
a) Đường thẳng đi qua gốc tọa độ, nên có phương trình yax ( a0).
Đồ thị của hàm số đi qua điểm có tọa độ (5,5; 50). Thay x = 5,5 và y = 50 vào hàm số y ax , ta được: 50 = 5,5a. Do đó, a 50 : 5,5 100
11
.
Vậy y 100x 11
là hàm số biểu thị số lít xăng tiêu thụ trên số kilômét chuyển động của xe ô tô. b) Khi x = 4,5 thì y 100.4,5 450 11 11 . Khi x = 11 thì y 100.11 100 11 .
Vậy ô tô sẽ đi được 450
11 km nếu trong bình có 4,5 lít xăng và 100km nếu trong bình có 11 lít xăng.
c) Thay y = 120 vào hàm số, ta có: 120 100x 11
. Suy ra x = 13,2. Do đó, để đi hết quãng đường dài 120km thì ô tô cần 13,2 lít xăng. Số tiền xăng phải trả là 13,2 . 17000 = 224400 (đồng).
Ví dụ 2.1.3. Một ô tô con chuyển động thẳng đều, từ A đến B trên đoạn đường
AB dài 100 km, với vận tốc 120 km/ giờ. Cùng lúc, một ô tô tải chạy từ B đến A với vận tốc 80 km/giờ.
a) Biểu diễn bài toán bằng sơ đồ và biểu thức/ phương trình
b) Sau bao nhiêu thời gian hai ô tô gặp nhau? Vị trí hai ô tô gặp nhau cách A bao nhiêu km?
Hướng dẫn
a) Biểu diễn bài toán bằng sơ đồ và biểu thức/ phương trình
b) Gọi C là điểm gặp nhau của hai ô tô. Đặt đoạn AC = x. Thời gian ô tô con đi đoạn AC là t1 = x/ 120 (giờ).
Thời gian ô tô tải đi đoạn BC là t2 = (100 – x )/ 80 (giờ). Thời gian t1 và t2 bằng nhau, nên
Tính được x = 60 (km), t1 = t2 = 1/2 giờ.
Vậy sau 30 phút hai ô tô gặp nhau và vị trí gặp nhau cách A là 60 km.
Ví dụ 2.3.4. Một công ty taxi X như sau: Giá mở cửa 11 000 đồng (đ) trong 1
km đầu; Từ ki-lô-mét tiếp theo đến ki-lô-mét (km) thứ 30, giá 15 000 đ/ km; Từ km thứ 31 trở đi giá 12 000 đ/ km.
a) Hãy biểu diễn bằng đồ thị bảng giá trên. b) Hãy biểu diễn giá tiền bằng biểu thức.
c) Gia đình bạn A dự định đi taxi hãng trên với đoạn đường 35 km, không có thời gian chờ, không có phí cầu đường, phà và bến bãi. Hỏi gia đình bạn A sẽ phải trả bao nhiêu tiền? (Hình 2)
Hình 2.3. Bảng giá hãng taxi B
a) Hãy biểu diễn bằng đồ thị bảng giá trên.
Hình 2.4
b) Biểu diễn bằng biểu thức:
Gọi x là số km xe đã đi, y là số tiền phải trả (nghìn đồng), ta có hàm số
{
( ) ( )
c) Gia đình bạn A dự định đi taxi hãng trên với đoạn đường 35 km, số tiền phải trả là:
11 + 15.24 + 12.5 = 506 (nghìn đồng)
Từ điểm mở cửa xe đến 0,8 km số tiền phải trả là 14,000 nghìn đồng; Từ trên 0,6 km đến không quá 25 km, số tiền phải trả là 16,300 nghìn đồng/ km; Từ km thứ 26 trở đi số tiền phải trả 13,300 nghìn đồng/ km.
Nếu người khách đi 30 km thì phải trả bao nhiêu tiền ? (Hình 1)
Hình 2.5. Bảng giá hãng taxi A Phân tích
+ Biểu diễn bằng bảng (như hình 1 ở trên) + Biểu diễn bằng lời
Bảng giá này được xét the ba trường hợp:
- Nếu khách đi quãng đường trong phạm vi 0,8 km thì giá phải trả là 14,000 nghìn đồng.
- Nếu khách đi quãng đường trên 0,8 km và không quá 25 km thì mỗi km tính 16,300 nghìn đồng. (Số km được tính như sau: Nếu quãng đường không quá 1 km thì tính là 1 km; quãng đường trên 1 km và không quá 2 km thì tính là 2 km….
- Nếu khách đi quãng đường trên 25 km thì từ km 26 trở đi, mỗi km tính 13,300 nghìn đồng.
Gọi x là số km đã đi của khách (x là số nguyên dương), y là số tiền (nghìn đồng) khách phải trả được tính bởi công thức (biểu thức) sau :
{
Một số bài tương tự:
1) Bảng giá cước của công ty taxi Mai Linh được cho như bảng sau: Giá mở cửa 11 000 đ/ 0,8 km; Tiếp theo đến km thứ 29, giá 15 0300 đ/ km; Từ km thứ 30 trở đi giá 12 100 đ/ km. Một khách đi hãng này với đoạn đường 25 km thì mất bao nhiêu tiền? (Hình 3)
2) Bảng giá cước của công ty taxi C được cho như bảng sau: Giá mở cửa 11 000 đ/ 0,8 km; Tiếp theo đến km thứ 29, giá 15 300 đ/ km; Từ km thứ 30 trở đi giá 12 100 đ/ km. Một khách đi hãng này với đoạn đường 10 km, sau khi giải quyết công việc mất 10 phút (taxi chờ, không tính phí) thì quay về ngay (coi như đi tiếp), thì phải trả bao nhiêu tiền? (Hình 3)
3) Taxi Xanh và taxi Vàng là hai hãng taxi ở thành phố Huế. Giá cước của taxi Xanh là 13.500đ/km trong 30km đầu và 11.000đ/km với đoạn đường tiếp theo. Trong khi đó giá cước của taxi Vàng là 14.000đ/km trong 20km đầu và giảm xuống là12.000đ/km từ km thứ 20 đến 30 và giảm còn 11.500đ/km với đoạn đường tiếp theo. Một khách du lịch muốn tham quan thành phố Huế bằng xe taxi của một trong hai hãng này. Theo em thì vị khách đó nên chọn hãng taxi nào để đi thì rẻ tiền hơn?
Ví dụ 2.1.6. Một phân xưởng có hai mày đặc chủng M1 và M2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là I và II. Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại
I phải dùng máy M1 trong 3 giờ, Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại II phải
dùng mày M2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai
ngày chỉ làm việc không quá 4 giờ. Hãy đặt kế hoạch sản xuất sao cho tổng
só tiền lãi cao nhất. [10, tr. 97]
Phân tích
+ Biểu diễn bằng biểu thức toán
Bài toán này dẫn đến việc tìm giá trị lớn nhất của biểu thức L = 2x + 1,6y
trong đó x, y lần lượt là số sản phẩm loai I, loại II sản xuất trong một ngày; x và y thỏa mãn hệ { .
Dựa vào phương trình đường thẳng, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình trên như sau:
+ Biểu diễn bằng hình ảnh, đồ thị
Hình 2.6. Trong SGK Đại số 10, trang 97 + Vận dụng kiến thức toán
Giá trị lớn nhất của biểu thức tính lãi L = 2x + 1,6y đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác OAIC ở hình trên. Kết quả:
L(A) = L(2; 0) = 4 L(I) = L(1; 3) = 6,8 L(C) = L(0; 4) = 6,4.
Vậy để có số tiền lãi lớn nhất, ta chọn L(I), mỗi ngày cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 3 tấn sản phẩm loại II.
Ví dụ 2.1.7. Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất hai loại sản phẩm I và
II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong mỗi nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bẳng sau:
Mỗi đơn vị sản phẩm loại I lãi 3 nghìn đồng, mỗi đơn vị sản phẩm loại II lãi 5 nghìn đồng. Hãy lập phương án để việ sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất. [SGK ĐS 10, tr. 100]
Phân tích
+ Bài toán đã cho đã được biểu diễn dưới dạng bảng + Biểu diễn bằng biểu thức toán
Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm loai I, loại II sản xuất trong một ngày; ta cần tìm giá trị lớn nhát của biểu thức
L = 3x + 5y (nghìn đồng) Theo giả thiết:
Nhóm B cần 2y máy; Nhóm C cần 2x + 4y máy. Ta có hệ: { + Biểu diễn bằng đồ thị, hình vẽ
Dựa vào phương trình đường thẳng, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình trên như sau:
Hình 2.7
Miền nghiệm của hệ là ngũ giác OABCD. L(O) = L(0; 0) = 0
L(A) = L(0; 2) = 10 L(B) = L(2; 2) = 16 L(C) = L(4; 1) = 17 L(D) = L(5; 0) = 15.
Vậy để có số tiền lãi lớn nhất, ta chọn L(C), mỗi ngày cần sản xuất 4 tấn sản phẩm loại I và 1 tấn sản phẩm loại II.
Ý nghĩa: Biện pháp này nhằm giúp HS thấy được có thể có nhiều cách để biểu diễn cùng một vấn đề.
2.2. Biện pháp 2. Khai thác và sử dụng những tình huống thực tiễn biểu diễn đƣờng bậc hai trong quá trình dạy Toán 10 diễn đƣờng bậc hai trong quá trình dạy Toán 10
“Trong đời sống hàng ngày chúng ta chững ta thường gặp những hình ảnh
của parabol, như khi ta ngắm các đài phun nước, hoặc chiêm ngưỡng cảnh