Chƣơng 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
2.3. Biện pháp 3 Rèn luyện cho học sinh biểu diễn động thông qua phần mềm
mềm động.
Như đã trình bày ở chương 1, có ba dạng biểu diễn: Biểu diễn cụ thể dựa trên vật thật; Biểu diễn biểu tượng dựa trên hình ảnh: Biểu diễn tưởng tượng dựa trên tư duy (Bruner, 1966) [40]. Trong quá trình dạy về phương trình đường thẳng, giáo viên có thể vận dụng cách biểu diễn biểu tượng dựa trên hình ảnh động (bieur diễn động) để học sinh hiểu rõ ý nghĩa của một số dạng phương trình đường thẳng.
Cách 1. Biểu diễn gián tiếp từ thay đổi của thời gian đến chuyển động của M: E K M.
Hình 2.15. Đồ thị hàm số s = 5x/4.
Cách 2: Biểu diễn trực tiếp chuyển động của M theo thời gian.
Dựng đoạn AB với A trùng gốc toạ độ trục thời gian là trục hoành, điểm B có hình chiếu trên trục hoành ứng với t = 40 (phút) (Hình 2). Khi đó AB tạo với Ox góc α với tanα =
4 3
. Phương trình chuyển động của ô tô là:
t y t x 4 3 (0t40).
Có thể xem đây là cách phân tích một chuyển động trên đoạn AB thành hai chuyển động thành phần (trên Ox và trên Oy), tương tự như phân tích lực
OF OE
Hình 2.16
Cách 3. Biểu diễn AB là đoạn chắn, với OB là thời gian, AB là quãng đường.
Chọn B(40; 0) và A(0; 30). Chiếc ô tô chuyển động thẳng đều được biểu diễn bởi điểm M và hành trình của ô tô là đoạn thẳng AB. (Hình 4)
Đường thẳng AB đi qua điểm A(0; 30), có vectơ chỉ phươngAB(40;30), nên có phương trình tham số là: t y t x 30 30 40 ) 1 0 ( t . HÌnh 2.17
Ví dụ 2.3.2. Biểu diễn chuyển động thẳng đều bằng phương trình đường thẳng:
Một ô tô chuyển động thẳng đều trên quãng đường dài 120 km, trong 90 phút, từ vị trí A đến vị trí B.
a) Hãy viết phương trình chuyển động, biểu thị quãng đường đi được (km) theo thời gian (phút).
b) Vẽ đồ thị của chuyển động.
c) Sử dụng phần mềm động (GeoGebra) để biểu thị chuyển động của ô tô trên đoạn AB theo thời gian.
Phân tích
Ba câu hỏi trên tương ứng với ba hình thức biểu diễn của bài toán, nhằm góp phần phát triển năng lực BDT cho học sinh.
a) Phương trình chuyển động thẳng đều là s = vt Khi s = 120 km, t = 90 phút thì v =
(km/phút) Ta có phương trình s = t.
b) Đồ thị hàm số s = t.
Hình 2.18
c) Biểu diễn chuyển động
Thực tiễn cho thấy đã có một số học sinh đã biểu diễn chuyển động nhờ chức năng di chuyển (drag) của một điểm M trên đoạn nối gốc tọa độ O với điểm
P(90; 120) (Hình 1). Đó là cách biểu diễn sai, vì độ dài OP = 150 km, không dung với giả thiết là đoạn đường AB dài 120 km.
Hình 2.19. Biểu diễn chuyển đọng thẳng đều
* Cách 1 - Biểu diễn đúng phải lấy đoạn AB trên trục tung, như sau:
Lấy gốc tọa độ O là diểm A và điểm B(0; 120) trên trục tung. Lấy điểm N trên đoạn [0; 90] thuộc trục hoành; Đường thẳng qua N, vuông góc với trục hoảnh cắt đường thẳng s = 4/3 t tại điểm K; Đường thẳng qua K, vuông góc với trục tung, cắt trục tung tại điểm M.
Khi ta kéo rê (drag) điểm N đi động trên đoạn [0; 90] thì điểm M (biểu diễn cho ô tô) di động theo, trên đoạn AB.
Có thể sử dụng chế độ hoạt hình (animation) của điểm N để thấy điểm M di động lặp đi lặp lại trên đoạn AB. (Hình 2)
Hình 2. 20. Biểu diễn đoạn AB trên trục tung
* Cách 2 - Biểu diễn AB bằng đoạn chắn:
Ta có thể biểu diễn đoạn AB là đoạn chắn, với A(0; 80) và B(90; 0) (khi đó đoạn AB ≈120) như sau:
Lấy điểm N trên đoạn OB; Đường thẳng qua N, vuông góc với trục hoảnh cắt đoạn AB tại điểm K.
Khi ta kéo điểm N đi động trên đoạn OB thì điểm K (biểu diễn cho ô tô) di động theo, trên đoạn AB. Có thể sử dụng chế độ hoạt hình (animation) của điểm N để thấy điểm M di động lặp đi lặp lại trên đoạn AB. (Hình 3)
Hình 2.21. Biểu diễn bằng đoạn chắn
Ta có thể biểu diễn A là gốc tọa độ, B(90; 80). Khi đó đoạn AB ≈120.
Lấy điểm N trên đoạn OB; Đường thẳng qua N, vuông góc với trục hoảnh cắt đoạn AB tại điểm K.
Khi ta kéo điểm N đi động trên đoạn OB thì điểm K (biểu diễn cho ô tô) di động theo, trên đoạn AB. Có thể sử dụng chế độ hoạt hình của điểm N để thấy điểm M di động trên đoạn AB. (Hình 4)
Hình 2.22. Cách biểu diễn thứ ba
Ví dụ 2.3.3. Biểu diễn sự phản xạ ánh sáng của đèn pha ô tô
Đèn pha ô tô được cấu tạo dạng paraboloit (hình tạo bởi một parabol quay một vòng xung quanh trục của nó). Tính chất của loại đèn pha này là: Mọi tia sáng phát ra từ tiêu điểm đều có tia phản xạ song song với trục chính của parabol, nên đèn chiếu được xa. Nguyên tắc phản xạ là tia sáng xuất phát từ tiêu điểm F, gặp gương tại điểm M sẽ có tia phản xạ Mt sao cho góc nhọn tạo bời Mt với tiếp tuyến (d) tại M của (P), tức (d) là đường thẳng chỉ có một điểm chung duy nhất với parabol tại M, bằng góc của đường thẳng FM với (d).
Phương trình đường parabol là y2
= 2px, có tiêu điểm F(p/2; 0).
a) Hãy mô hình hóa toán học vấn đề thực tiễn về đèn pha ô tô nói trên. b) Hãy biểu diễn động vấn đề trên.
Hình 2.23. Hình đèn pha trong SGK [24], trang 124-125 Hướng dẫn
a) Mô hình hóa toán học vấn đề đèn pha ô tô ta có bài toán Xét parabol có phương trình y2
= 2px (P), tiêu điểm F(p/2; 0). Gọi (d) là đường thẳng chỉ có một điểm chung duy nhất với parabol tại (x0; y0) thuộc (P). Gọi Mt là đường thẳng tạo với (d) một góc bằng góc của đường thẳng FM với (d).
Ta cần chứng minh Mt // Ox.
Đường thẳng qua điểm M(x0; y0) thuộc (P) với hệ số hệ số góc k có phương trình y = k(x – x0) + y0 (d).
Hệ phương trình (P) và (d) có nghiệm duy nhất khi phương trình hoảnh độ: [k(x – x0) + y0]2 = 2px, hay k2x2 – 2x[k(kx0 – y0) + p] + (kx0 – y0)2 có Δ’ = 0. Δ’ = [k(kx0 – y0) + p]2 – k2(kx0 – y0)2 = 2pk(kx0 – y0) + p2 = p(2x0k2 – 2ky0 + p) Δ’ = 0 khi k2y0 2 – 2pky0 + p2 = (ky0 – p)2. k = . Vậy phương trình (d) là y = ( ) .
Giả sử (d) cắt trục Ox tại điểm N, có tung độ y = 0, nên
( ) Suy ra p(x – x0) = – y0
2 , hay p(x – x0) = – 2px0
x = – x0. Vậy N(– x0; 0). ΔFMN có FN = |xF – xN | = . FM2 = ( )2 + y02 = ( )2 + 2px0 = ( )2. Suy ra FM = = FN. Dẫn đến ΔFMN cân tại F.
Vậy các góc MNF, FNM, (d, Mt) bằng nhau. Suy ra Mt // Ox . Ta được điều hải chứng minh. (Hình)
Hình 2.24.
b) Ta có thể biểu diễn động sự phản xạ ánh sáng của đèn pha bằng phần mềm GoeGebra như hình
Hình 2.25. Hình biểu diễn sự phản xạ ánh sáng của đèn pha
Ý nghĩa: Biện pháp này góp phần phát triển năng lực sử dụng công cụ phương tiện cho HS.
Tiểu kết chƣơng 2
Một số biện pháp dạy học phương trình đường thẳng, đường bậc hai ở lớp 10 theo hướng phát triển năng lực biểu diễn toán cho học sinh được đề xuát như sau:
+ Kết hợp biểu diễn đường thẳng, biểu thức, sơ đồ và biẻu diễn nghiệm của phương trình, bất phương trình bậc nhất trong dạy học phương trình đường thẳng.
+ Khai thác và sử dụng những tình huống thực tiễn biểu diễn đường bậc hai trong quá trình dạy Toán 10.
+ Rèn luyện cho học sinh biểu diễn động thông qua phần mềm động.
Những biện pháp trên được minh họa bằng 16 ví dụ cụ thể phù hợp với nội dung dạy học phương trình đường thẳng, đường bậc hai ở lớp 10 THPT.