Chƣơng 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
2.2. Biện pháp 2 Khai thác và sử dụng những tình huống thực tiễn biểu diễn
diễn đƣờng bậc hai trong quá trình dạy Toán 10
“Trong đời sống hàng ngày chúng ta chững ta thường gặp những hình ảnh
của parabol, như khi ta ngắm các đài phun nước, hoặc chiêm ngưỡng cảnh bắn pháp hoa muôn màu, muôn sắc. Những công trình kiến trúc cũng được tạo dáng theo hình parabol, như cây cầu, vòm nhà, cổng ra vào.... Điều đó
không chỉ bảo đảm tính bền vững mà còn tạo nên vẻ đẹp của công trình.”
(SGK Đại số 10, trang 49) [10]
Hình 2.8. Hình ảnh đài phun nước (SGK Đại số 10, trang 49) [10]
Ví dụ 2.2.1. Hình 2.2.1 vẽ đường parabol biểu diễn hình dạng một tia nước. Tia nước xuất phát từ vị trí A, vị trí cao nhất của nó là C, tia nước đi qua vị trí B. Biết rằng AB song song với mặt đất và AB = 2, góc ACB bằng 1200. Hãy biểu diễn bằng phương trình parabol này.
Hình 2.9. Hình dạng của một tia nước Hướng dẫn
Lập hệ tọa độ vuông góc với gốc A, trục hoành đi qua B (hình 2.2.2); Trong hệ tọa độ này ta có:
A(0; 0), B(2; 0), C( √ ) Parabol có dạng y = ax2
+ bx + c. Lần lượt thay tọa độ A, B, C vào phương trình trên ta được:
c = 0
4a + 2b = 0, hay 2a + b = 0 (1)
a + b = √ (2)
Lấy (1) – (2), ta được a = – √ , suy ra b = √ .
Vậy phương trình parabol là: y = – √ x2 + √ x.
Ví dụ 2.2.2. “Cổng Hình Vòm” là một trong những địa điểm thu hút khách du
lịch của thành phố St. Louis (Pháp). Chiều cao của cổng parabol này là 192m và chiều rộng của nó cũng là 192m. (Hình 2.2.3)
Lập hàm số và vẽ đồ thị của nó có thể mô phỏng cổng này.
Hình 2.10 Hướng dẫn
Lập hệ tọa độ vuông góc với gốc O là đỉnh parabol, trục tung song song với đường nằm ngang, trục hoành vuông góc với đường nằm ngang.
Trong hệ tọa độ này hai chân cổng có tọa độ C(± 96; – 192) Parabol có dạng y = – ax2
. Thay tọa độ C vào phương trình trên ta được: – 192 = – a.962
Suy ra a =
. Vậy phương trình parabol là: y = –
x2.
Ví dụ 2.2.3. Một đường hầm nhân tạo có mặt cắt hình parabol như hình 2.2.4 và chỉ cho phép lưu thông một chiều. Biết rằng vị trí C là đỉnh parabol, đoạn AB = 3 m và song song với đường nắm ngang, tam giác ABC cân tại C; khoảng cách từ C đến mặt đất là 5 m, từ A đến mặt đất là 4 m. (Hình)
Hình 2.11
a) Lập phương trình parabol biểu diễn cửa hầm này.
b) Một xe tải chở hàng với chiều cao được tính từ mặt đường đến nóc thùng xe là 4,5 m và bề ngang thùng xe là 2 m. Hỏi xe tải có qua được hầm không?
Hướng dẫn
Lập hệ tọa độ gốc A, phương trình parabol có dạng y = ax2 + bx. Thay tọa độ B(3; 0) và C(1,5; 1) vào phương trình ta được: 9a + 3b = 0 (1)
2,25a + 1,5b = 1 (2) Giải hệ (1), (2) ta được a = – , b = . Phương trình parabol là y = – x2 + x.
b) Xe tải có chiều cao là 4,5 m nên từ điểm cao nhất của thùng xe đến đoạn AB là 0,5 m.
Thay y = 0,5 vào phương trình ta được: – x2 + x = 0,5. Suy ra: 40x2 – 120x + 44,5 = 0. |x1 – x2|2 = |x1 + x2|2 = 4x1x2 = 4,55. |x1 – x2|≈ 2,1 > 2.
Vậy với bề ngang thùng xe là 2 m, xe tải sẽ qua được hầm.
Ví dụ 2.1.4. Trong trận bóng đá, một cầu thủ đá quả bóng từ mặt đất lên độ cao h mét trong thời gian t giây.
Hình 2.12
Các số liệu được thống kê trong bảng sau:
Tại thời điểm t (giây) 0,2 0,5
Chiều cao của quả bóng so với mặt đất h (m) 4,0 2,5
Biết rằng đường đi của quả bóng được sút lên là đường parabol, thủ môn bắt được bóng tại thời điểm t = 0,5giây.
a) Vẽ đường đi của quả bóng, từ lúc được cầu thủ đá cho đến khi thủ môn bắt được bóng.
b) Hãy lập phương trình đường đi của quả bóng đó, với chiều cao h là hàm số của thời gian t, từ sau khi cầu thủ sút bóng đến khi thủ thành bắt được.
c) Tại thời điểm nào quả bóng đạt chiều cao lớn nhất?
Hướng dẫn
a) Đường đi của quả bóng:
Hình 2.13
b) Hãy lập phương trình đường đi của quả bóng đó, với chiều cao h là hàm số của thời gian t, từ sau khi cầu thủ sút bóng đến khi thủ thành bắt được.
Phương trình parabol có dạng: y = ax2 + bx
Thay x = 0,2 và y = 4 vào phương trình ta được 4 = 0,04a + 0,2b, hay 200 = 2a + 10b (1)
Thay x = 0,5 và y = 2,5 vào phương trình ta được 2,5 = 0,25a + 0,5b, hay 10 = a + 2b (2)
Giải hệ (1) và (2) ta được a = – 50. Suy ra:
b) Tại thời điểm nào quả bóng đạt chiều cao lớn nhất?
Chiều cao quả bóng lớn nhất tại đỉnh parabol: x =
.
Vậy tại giây thứ 0,3 quả bóng ở vị trí cao nhất.
Ví dụ 2.1.5. Ta biết rằng mặt trăng chuyển động quanh trái đất theo một quỹ
đạo là đường elip mà trái đất là một tiêu điểm. Elip có độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 769266 và 768106 km. Tính khoảng cách ngắn nhất và khoảng cách dài nhất từ trái đất đến mặt trăng, biết rằng các khoảng cách đó đạt được khi khi trái đất đến mặt trăng nằm trên trục lớn của elip. (BT trang 94 HH 10) [24]
Hình 2.14
Phương trình elip là
Theo giả thiết
2a = 760266 nên a = 384633 2b = 768106 nên b = 384053
c2 = a2 + b2 = 445837880, suy ra c ≈ 21115 (km)
Khoảng cách ngắn nhất từ mặt trăng đến trái đất là a – c ≈ 363518. Khoảng cách xa nhất từ mặt trăng đến trái đất là a + c ≈ 405748.
Ví dụ 2.1.6. Lực F của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với
bình phương vận tốc v của gió. Biết rằng khi vận tốc gió bằng 2m/s thì lực tác động lên cánh buồm của một con thuyền bằng 120N (Niu-tơn).
a) Xác định hàm số F.
b) Khi v=10m/s thì lực F bằng bao nhiêu?
c) Con thuyền có thể đi trong gió bão với vận tốc gió 90km/h hay không? Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là 12000N.
Hướng dẫn
a) Hàm số F có dạng F = av2 .
Khi v = 2 m/s thì F = 120 N, nên 120 = 4a, suy ra a = 30. Ta có F = 30v2 .
b) Khi v =10m/s thì lực F = 30.100 = 3000 N. c) Khi F = 12000N thì
v2 = 12000 : 30 = 400, suy ra v = 20 m/s = 0,02.3600 km/h = 72 km/h. Vậy con thuyền có thể đi trong gió bão với vận tốc gió 90km/h.
Ý nghĩa: Biện pháp này nhằm giúp HS thấy được ý nghĩa thực tiễn của những nội dung được học.