Điều đó được giải thích như sau: Tín hiệu đầu ra của bộ điều khiển tích phân:
𝑢(𝑡) = ∫ 𝑒𝑡2 (𝑡)𝑑𝑡
𝑡1 (2.10)
sẽ tăng cho đến khi bằng giá trị tương ứng với lúc tốc độ biến thiên của tác động chủ đạo x(t), lúc đó sai số sẽ bằng 0.
Trong thực tế người ta có thể làm cho sai số bằng 0 nếu ta đưa vào bộ điều khiển một thành phần hoạt động tích phân lý tưởng. Như vậy ta thấy rằng thêm khâu tích phân đã tăng thêm bậc vô sai tĩnh của hệ thống lên 1 đơn vị. Từ hình 2.12 cho thấy trong chế độ quá độ đường cong tích phân chậm sau so với sự biến thiên của tín hiệu sai số. Điều đó dẫn đến giảm chất lượng của đặc tính quá độ.
Do đó mặc dù điều khiển tích phân đơn độc trừ khử được sai lệch tĩnh nhưng ngược lại nó cũng làm ảnh hưởng tới đáp ứng quá độ và rất dễ gây nên mất ổn định cho hệ thống. Trong thực tế bộ điều khiển tích phân hầu như khơng sử dụng vì những nhược điểm như trên.
2.3.1.4. Bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân (PI)
Trong thực tế khơng bao giờ dùng luật điều khiển I độc lập vì chỉ dùng thành phần tích phân sẽ kéo dài thời gian điều khiển và hệ thống dễ mất ổn định.
Xuất phát từ quan điểm giảm bớt ảnh hưởng của nhiễu loạn, tăng hệ số khuyếch đại của hệ thống ở vùng tần số thấp nhằm giảm bớt sai số ở chế độ xác lập mà không làm thay đổi đáng kể các đặc tính ở nhiều tần số cao, các bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân đã được sử dụng rất phổ biến và mang lại hiệu quả điều khiển cao. Bộ điều khiển tỉ lệ - tích phân chính là tổ hợp điều khiển tích phân và tỉ lệ.
Sơ đồ của bộ điều khiển được giới thiệu ở hình (2.13a) và đặc tính q độ trên hình (2.13b).
Hàm truyền của bộ điều khiển PI có dạng: 𝐺𝑐(𝑠) =𝑈(𝑠) 𝐸(𝑠) = 𝐾𝑃(1 +𝑇1 𝑖𝑠) = 𝐾𝑃+𝐾𝑃 𝑇𝑖𝑠= 𝐾𝑃+𝐾𝑖 𝑠 (2.11) 𝑈(𝑠) = 𝐾𝑃𝐸(𝑠) + 𝐾𝑖𝐸(𝑠)+ 𝐾𝑖𝐸(𝑠)𝑠 (2.12)
Trong thực tế khi sử dụng bộ điều khiển PI thì việc chọn thơng số điều chỉnh KP, Ti để phù hợp với đối tượng điều khiển nhằm đạt được các chỉ tiêu chất lượng của quá trình quá độ là một vấn đề vô cùng quan trọng. Rất nhiều các tiêu chuẩn để tính chọn các thơng số của bộ điều khiển. Để có được một đáp ứng đầu ra phù hợp với u cầu cơng nghệ, về tính chất của luật tỉ lệ thì có đáp ứng tốt xong sai số tĩnh lớn; và khi tăng hệ số KP cao thì đạt được sai số tĩnh nhỏ xong quá trình quá độ lại dao động, chất lượng của quá trình quá độ sẽ xấu đi. Và khi đặt một giá trị K tối ưu thì chất lượng đáp ứng của hệ thống lúc này chỉ phụ thuộc vào thời gian tích phân. Khi thời gian tích phân Ti lớn có nghĩa là tín hiệu u(t) có giá trị rất nhỏ, sự ảnh hưởng của thành phần tích phân đến đáp ứng quá độ rất ít nên lúc này bộ điều khiển Ti hoạt động như một bộ điều khiển tỉ lệ. Nghĩa là đáp ứng đầu ra ổn định nhưng sai số vẫn còn lớn so với yêu cầu điều khiển. Khi thời gian Ti giảm nhỏ (Ti <<1) thì thành phần tích phân có tác động tích cực, đáp ứng q độ vẫn chưa có dao động nhưng sai số xác lập bằng 0. Khi ta giảm nhỏ giá trị Ti tới một giá trị nào đó thì q trình q độ khơng cịn đơn điệu nữa mà nó có thể trở nên một q trình dao động. Như vậy thơng số Ti ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng của quá trình quá độ. Việc chọn đặt giá trị Ti khơng phù hợp sẽ làm cho q trình q độ xấu đi và đôi khi hệ thống trở nên mất ổn định.
2.3.1.5. Bộ điều khiển tỉ lệ - vi phân (PD)
Như đã trình bày ở phần trên, bộ điều khiển PI có thể dùng để cải thiện đáp ứng ổn định của một bộ điều khiển. Khi ta muốn cải thiện tính năng q độ có thể dùng bộ điều khiển tỉ lệ - vi phân (PD). Điều khiển vi phân có ích lợi vì nó đáp ứng được với tốc độ thay đổi của sai số e(t), nó có thể tạo ra một sự sửa chữa đáng kể trước khi biên độ của sai lệch điều khiển số e(t)trở nên lớn.
Bộ điều khiển tỉ lệ - vi phân được giới thiệu trên hình 2.14a và đặc tính quá độ của bộ điều khiển được giới thiệu trên hình 2.14b.
Hình 2.14: a, Hệ thống điều khiển với bộ điều khiểnPD; b, Đặc tính quá độ
Hàm truyền đạt của bộ điều khiển PD có dạng:
𝐺𝑐(𝑠) =𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠) = 𝐾𝑃(1 + 𝑇𝑑𝑠) = 𝐾𝑃+ 𝐾𝑃𝑇𝑑𝑠 = 𝐾𝑃+ 𝐾𝑑𝑠 (2.13)
Tác động vi phân có ích trong các hệ thống khi có tốc độ vào đột biến hoặc thay đổi phụ tải. Một điều quan trọng cần chú ý là bộ điều khiển vi phân D không thể dùng đơn độc được vì nó khơng đáp ứng được sai số ở chế độ xác lập. Nó cần được sử dụng với tổ hợp các dạng điều khiển tỉ lệ hoặc tỉ lệ - tích phân.
2.3.1.6. Bơ điều khiển tỉ lệ - tích phân - vi phân (PID)
Hình 2.15: a, Hệ thống điều khiển với bộ điều khiển PID; b, Đặc tính quá độ
Mặc dù điều khiển tỉ lệ - tích phân hoặc tỉ lệ - vi phân đã đáp ứng được đầy đủ yêu cầu chất lượng trong nhiều trường hợp, nhưng còn những nhược điểm mà chúng ta đã phân tích ở trên. Để thoả mãn yêu cầu chất lượng điều khiển trong thực tế người ta sử dụng điều khiển tỉ lệ - tích phân - vi phân gọi tắt là PID. Bộ điều khiển PID được áp dụng rộng rãi trong các hệ thống điều khiển tự động vì nó có hàm trễ lớn, đồng thời nó mang tất cả những ưu điểm của bộ điều khiển P, PI, PD.
Hàm truyền đạt của bộ điều khiển PID có dạng:
𝐺𝑐(𝑠) =𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠) = 𝐾𝑃(1 +𝑇1
𝑖𝑠+ 𝑇𝑑𝑠) = 𝐾𝑃 +𝐾𝑖
𝑠 + 𝐾𝑑𝑠 (2.14)
Trong thực tế bộ điều khiển PID có thể được tạo ra bằng cách mắc nối tiếp hai bộ điều khiển PI và PD, lúc này bộ điều khiển có cấu trúc:
𝐺𝑐(𝑠) = 𝐾𝑃(1 + 1
𝑇𝑖𝑠) (1 + 𝑇𝑑𝑠) (2.15)
(a)
(b)
Hình 2.16:a. Thuật tốn PID, b. Hàm q độ
Bằng cách điều chỉnh 3 hằng số trong giải thuật của bộ điều khiển PID, bộ điều khiển có thể dùng trong những thiết kế có yêu cầu đặc biệt. Đáp ứng của bộ điều khiển có thể được mơ tả dưới dạng độ nhạy sai số của bộ điều khiển, giá trị mà bộ điều khiển vượt lỗ điểm đặt và giá trị dao động của hệ thống.
2.3.2. Bộ điều khiển PID
2.3.2.1. Các phương pháp xác định tham số PID
Chất lượng hệ thống phụ thuộc vào các tham số kp, TI, TD. Muốn hệ
thống có được chất lượng như mong muốn thì phải phân tích đối tượng rồi trên cơ sở đó chọn các tham số cho phù hợp. Hiện có khá nhiều các phương pháp xác
định các tham số kp, TI, TD cho bộ điều khiển PID, song tiện ích hơn cả trong ứng
dụng vẫn là:
- Phương pháp Ziegler – Nichols.
- Phương pháp tối ưu độ lớn và phương pháp tối ưu đối xứng.
a. Phương pháp Ziegler - Nichols
Ziegler và Nichols đã đưa ra hai phương pháp thực nghiệm để xác định tham số bộ điều khiển PID. Trong khi phương pháp thứ nhất sử dụng dạng mơ hình xấp xỉ qn tính bậc nhất có trễ của đối tượng điều khiển:
𝑆(s) = ke
−Ls
1 + Ts (2.16)
thì phương pháp thứ hai nổi trội hơn ở chỗ hồn tồn khơng cần đến mơ hình tốn học của đối tượng. Tuy nhiên, nó có hạn chế là chỉ áp dụng được cho một lớp các đối tượng nhất định.
Phương pháp Ziegler – Nichols thứ nhất:
Trong phương pháp này, hệ số KI và KD lúc đầu được gán bằng không. Hệ số P được tăng cho đến khi nó tiến tới tới hạn, Ku ở đầu ra của vòng điều khiển bắt đầu dao động. Ku và thời gian giao động Pu được dùng để giám sát hệ số sau:
Phương pháp thực nghiệm này có nhiệm vụ xác định các tham số kp, TI, TD
cho bộ điều khiển PID trên cơ sở xấp xỉ hàm truyền đạt S(s) của đối tượng thành dạng (2.17), để hệ kín nhanh chóng trở về chế độ xác lập và độ quá điều chỉnh Δh không vượt quá một giới hạn cho phép, khoảng 40% so với với ℎ∞ = lim𝑡→∞ℎ(𝑡) tức là có |∆ℎ
gian qn tính) của mơ hình xấp xỉ (2.16) có thể được xác định gần đúng từ đồ thị hàm quá độ h(t) của đối tượng. Nếu đối tượng có hàm q độ dạng như Hình 2.18a thì từ đồ thị hàm h(t) đó ta đọc ra được ngay:
Hình 2.18: Xác định tham số cho mơ hình xấp xỉ
- L là khoản thời gian đầu ra h(t) chưa có phản ứng ngay với kích thích 1(t) tại đầu vào.
- k là giá trị giới hạn ℎ∞ = lim𝑡→∞ℎ(𝑡).
- Gọi A là điểm kết thúc thời gian trễ, tức là điểm trên trục hồnh có hồnh độ bằng L. Khi đó T là khoảnh thời gian cần thiết sau L để tiếp tuyến của h(t) tại A đạt giá trị k.
Trường hợp hàm quá độ h(t) khơng có dạng lý tưởng như ở Hình 2.18a, song có dạng gần giống là hình chữ S của khâu quán tính bậc hai hoặc bậc n như ở Hình 2.18b mơ tả, thì ba tham số k, L, T của mơ hình (2.16) được xác định xấp xỉ như sau: Kẻ đường tiếp tuyến của h(t) tại điểm uốn của nó. Khi đó L sẽ là hồnh độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành và T là khoảng thời gian cần thiết để đường tiếp tuyến đi được từ giá trị 0 đến giá trị k.
Như vậy ta có thể thấy, điều kiện để áp dụng được phương pháp xấp xỉ mơ hình bậc nhất có trễ của đối tượng là đối tượng đã phải ổn định, khơng có giao động và ít nhất hàm q độ của nó phải có dạng chữ S.
Sau khi đã có các tham số cho mơ hình xấp xỉ (2.16) của đối tượng Ziegler – Nichols đã đề nghị sử dụng các tham số kp, TI, TD cho bộ điều khiển
như sau:
- Nếu chỉ sử dụng bộ điều khiển khuếch đại R(s) = kp, thì chọn 𝑘𝑝 = 𝑇
- Nếu sử dụng bộ PI với 𝑅(𝑠) = 𝑘𝑝(1 +𝑇1
𝐼𝑠) thì chọn 𝑘𝑝 =0,9𝑇𝑘𝐿 và 𝑇𝐼 =103 𝐿
Mơ hình điều khiển này thích hợp với phương pháp Ziegler -Nichols 1. Từ bảng tra theo Ziegler - Nichols 1 ta cần xác định các tham số sau đây từ thực nghiệm: Hệ số khuếch đại K, hằng số thời T và thời gian chậm trễ τ của đối tượng. Bảng thiết kế theo phương pháp Ziegler - Nichols được biểu diễn trong (Bảng 2-1).
Bảng 2-1: Tổng hợp bộ điều khiển theo Ziegler – Nichols
Luật điều khiển ) (s Gdk Hệ số tỷ lệ P K Hằng số thời giantích phân TI Hằng số thời gian vi phân TD P: KP 𝑇 𝐾. 𝜏 - - PI: 𝐾𝑃(1 + 1 𝑇𝑖𝑠) 0,9 𝑇 𝐾. 𝜏 33 . 0 - PID: 𝐾𝑃(1 + 1 𝑇𝑖𝑠+ 𝑇𝐷𝑠) 12 𝑇 𝐾. 𝜏 5 . 2 0.5
b. Phương pháp tối ưu đối xứng
Phương pháp tối ưu đối xứng được thực hiện theo ý tưởng: Chọn cấu trúc và tham số của bộ điều khiển sao cho module véc tơ đặc tính tần số của hệ kín
|𝑊𝑘(𝑗𝜔)| = 1∀ và được gọi là thiết kế bộ điều khiển sao cho véc tơ đặc tính tần số
của hệ kín là tối ưu.
Theo [1] ta có bộ điều khiển tổng hợp theo phương pháp tối ưu đối xứng như sau:
Giả sử hệ thống có hàm truyền hệ hở là WH(s) hình 2.19. Ta phải tìm khâu hiệu chỉnh WHC(s) sao cho hàm truyền hệ thống kín WK(s) với phản hồi đơn vị (-1) thoả mãn điều kiện chuẩn tối ưu đối xứng sau:
𝑊𝑘(𝑠) = 1+4𝜏𝑠 8𝜏3𝑠3+𝜏2𝑠2+4𝜏𝑠+1 (2.17) Trong đó: 𝑊𝑘(𝑠) = 𝑊0(𝑠) 1+𝑊0(𝑠) (2.18) W0(s) = WH(s).WHC(s) (2.19)
Thay vào ta tìm được :
𝑊𝐻𝐶(𝑠) = 𝑊𝐻(𝑠).8𝜏1+4𝜏𝑠2
𝑠2(1+𝜏𝑠) (2.20)
Hình 2.19: Tổng hợp bộ điều khiển bằng phương pháp tối ưu đối xứng
Để thiết bị hiệu chỉnh đơn giản ta chọn thỏa mãn điều kiện về thời gian quá độ và trùng với hằng số thời gian nhỏ nào đó của WH (bù được khâu có hằng số thời gian lớn).
2.3.2.2. Tối ưu tham số
Có nhiều phương pháp thiết kế bộ điều khiển, nhưng tất cả các phương pháp đó đều chưa khẳng định được các tham số của bộ điều khiển đó đã đạt đến giá trị đáp ứng điều khiển tối ưu hay chưa. Độ ổn định là một yêu cầu căn bản, nhưng ngoài ra, các hệ thống khác nhau, có những yêu cầu khác nhau, và vài yêu cầu lại mâu thuẫn với nhau. Hơn nữa, vài q trình có một mức độ phi tuyến nào đấy khiến các thông số làm việc tốt ở điều kiện đầy tải sẽ khơng làm việc khi q trình khởi động từ khơng tải. Vì vậy, sau khi tính tốn được tham số bộ điều khiển, dựa vào yêu cầu cụ thể của hệ thống chúng ta cần thiết phải tối ưu hóa tham số bộ điều khiển.
Bộ điều chỉnh PID có biểu thức sau: 𝑢(𝑡) = 𝐾𝑝[𝑒(𝑡) +𝑇1
𝐼∫ 𝑒(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑇𝐷𝑑𝑒(𝑡)𝑑𝑡 ] (2.21) Bộ điều chỉnh PID số có biểu thức sau:
𝑢(𝑛) = 𝑘𝑝𝑒(𝑛) +𝑘𝑝𝑇𝑠𝑇
𝐼 ∑ 𝑒(𝑘) +𝑘𝑝𝑇𝐷𝑇
𝑆 (𝑦(𝑛) − 𝑦(𝑛 − 1))
𝑛
𝑛=1 (2.22)
phương pháp thích hợp sẽ phụ thuộc phần lớn vào việc có hay khơng vịng lặp có thể điều chỉnh "offline", và đáp ứng thời gian của hệ thống. Nếu hệ thống có thể thực hiện offline, phương pháp điều chỉnh tốt nhất thường bao gồm bắt hệ thống thay đổi đầu vào từng bước, tín hiệu đo lường đầu ra là một hàm thời gian, sử dụng đáp ứng này để xác định các thông số điều khiển.
Một số phương pháp tối ưu hóa tham số bộ điều khiển hay được sử dụng có thể kể đến như: Điều chỉnh thủ công, Phương pháp Ziegler–Nichols…
2.3.2.3. Phương pháp tối ưu hóa tham số bộ điều khiển a. Điều chỉnh thủ cơng
Nếu hệ thống phải duy trì trạng thái online, một phương pháp điều chỉnh là thiết lập giá trị đầu tiên của TI và TD bằng không. Tăng dần KP cho đến khi đầu ra của vịng điều khiển dao động, sau đó KP có thể được đặt tới xấp xỉ một nửa giá trị đó để đạt được đáp ứng "1/4 giá trị suy giảm biên độ". Sau đó tăng TI đến giá trị phù hợp sao cho đủ thời gian xử lý. Tuy nhiên, KI quá lớn sẽ gây mất ổn định. Cuối cùng, tăng TD, nếu cần thiết, cho đến khi vịng điều khiển nhanh có thể chấp nhận được nhanh chóng lấy lại được giá trị đặt sau khi bị nhiễu. Tuy nhiên, TD quá lớn sẽ gây quá điều chỉnh.
Bảng 2-2: Chỉnh định thông số bộ điều chỉnh theo phương pháp thủ công
Tác động của việc tăng một thông số độc lập
Thông số Thời gian khởi động Quá độ Thời gian xác lập Sai số ổn định Độ ổn định
KP Giảm Tăng Thay đổi
nhỏ Giảm Giảm cấp
TI Giảm Tăng Tăng Giảm đáng kể Giảm cấp
TD Giảm ít Giảm ít Giảm ít Về lý thuyết khơng tác động
Cải thiện nếu KD nhỏ
b. Phương pháp Ziegler – Nichols
Giống phương pháp trên, hệ số KI và KD lúc đầu được gán bằng không. Hệ số P được tăng cho đến khi nó tiến tới tới hạn, Ku, ở đầu ra của vòng điều khiển bắt đầu dao động. Ku và thời gian dao động Pu được dùng để gán hệ số như sau:
Bảng 2-3: Chỉnh định thông số bộ điều chỉnh t heo phương pháp Ziegler–Nichols
Dạng điều khiển KP TI TD
P 0.50Ku - -
PI 0.45Ku 1.2KP/Pu -
PID 0.60Ku 2KP/Pu KP.Pu/8
2.3.2.4. Kết luận
Trong Bộ điều khiển PID nghiên cứu, cấu trúc, nguyên lý làm việc, phạm vi ứng dụng và các phương pháp xác định, hiệu chỉnh tham số bộ điều khiển PID theo các phương pháp khác nhau. Dựa vào tính năng, phạm vị ứng dụng , trên cơ sở sánh đặc điểm của đối tượng cần điều khiển, chúng ta sẽ lựa chọn được bộ điều khiển tương ứng là P, PI, PD hay PID phù hợp.Trên cơ sở của yêu cầu chất